专题02 集合中子集个数问题·包含关系·基本运算题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题02 集合中子集个数问题·包含关系·基本运算题型突破（六大题型） 考点01 求集合的子集（真子集） 考点02 根据集合的包含关系求参数 考点03 根据两个集合相等求参数 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 考点05容斥原理的应用 考点06 根据并集结果求集合元素个数 考点01 求集合的子集（真子集） 1．已知，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若集合有且仅有两个子集，则实数的值为_______. 4．已知集合，，则满足⫋ B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 5．若集合，则的真子集个数为（     ） A．3 B．4 C．7 D．15 6．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（     ） A．5 B．8 C．6 D．7 9．设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 10．已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 考点02 根据集合的包含关系求参数 11．已知集合 或， ．若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 14．已知集合，若，则实数的取值是_________ 15．已知集合，，若，则满足条件的实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 16．（多选）已知集合，.若，则的值可以是（   ） A． B．0 C． D． 17．（多选）已知集合，，若，则实数的值（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．设集合，，若，则的取值范围________． 20．设集合，. (1)若 ，求实数a的取值范围 (2)若，求实数a的取值范围 考点03 根据两个集合相等求参数 21．设，，，若，则_______． 22．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．或 23．已知集合，若，则实数的值为___________. 24．已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．-1 C．1 D．±1 25．已知集合，，若，则______． 26．已知实数集合，，若，则_________． 27．已知，若集合，则______． 28．设，，，，若，则（    ） A． B． C．1 D．6 29．设，若集合，则___________． 30．已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 31．已知集合，为全集的子集，，，，则下列选项不正确的为（     ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 32．已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（    ） A．或0 B．或1 C．0或2 D． 33．若，，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．已知、，集合，． (1)若，求、的值； (2)若，求、的值． 35．设全集，集合，若或，则实数a的取值范围为__________ 36．已知集合，，且，则集合的个数为（    ）． A．3 B．6 C．7 D．8 37．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 38．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 39．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 40．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 考点05容斥原理的应用 41．学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为______． 42．某社团开展球类活动，一共名同学喜欢篮球或羽毛球，其中人喜欢篮球，人喜欢羽毛球，则既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为________． 43．某班级共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则，两项公益活动都不参加的有（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 44．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手：既参加了测量又参加了计算的有8人，既参加了测量又参加了绘图的有6人，既参加了计算又参加了绘图的有4人，其中三项工作都参加的有3人．则这支测绘队有________人． 45．某校“十一运动会”上，共有12名男同学参加100米、400米、跳远三个比赛项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“跳远比赛”，“100米比赛和400米比赛”都参加的有4人，“100米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，“400米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有1人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加跳远比赛的有2人 46．（多选）某学校举办运动会，据统计参加跳高、跳远、铅球比赛的同学共有30人，其中只参加跳高比赛的同学有7人，只参加跳远比赛的同学有5人，只参加铅球比赛的同学有8人，且参加跳高、跳远、铅球比赛的同学人数均相等，则（    ） A．至少参加两项比赛的同学有10人 B．同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学至少有2人 C．同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学至少有4人 D．同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学最多有5人 47．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 48．某训练馆安排了散打、乒乓球、篮球三种项目，共有108人参加训练．其中训练散打的有33人，训练乒乓球的有50人，训练篮球的有42人，同时训练散打和乒乓球的有7人，同时训练散打和篮球的有5人，3种项目都训练的有3人，则同时训练乒乓球和篮球的有________人． 49．学校举办了一次趣味运动会，某班共有30位同学积极参加．每位同学可以根据自己的兴趣选择至少一个项目，一共有3个比赛项目，分别为“同舟共济”，“齐心协力”，“旱地龙舟”．已知参加这三个项目的人数分别为14，20，16．同时参加“同舟共济”和“齐心协力”共有10人，同时参加“同舟共济”和“旱地龙舟”共有8人，三个项目都参加共有6人．则同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有（    ） A．8人 B．6人 C．4人 D．2人 50．高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团.已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人.利用韦恩图分析，则三项社团全都参加的人数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点06 根据并集结果求集合元素个数 51．已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 52．若集合，，则中的元素个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 53．已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 54．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 55．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 56．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求．某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有33位学生选修了“足球”课程，有26位学生选修了“篮球”课程，有10位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（　　） A．29 B．39 C．49 D．59 57．设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 58．某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 59．若，，则的最大、最小值分别是（   ） A．12，8 B．20，8 C．20，12 D．20，4 60．已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 集合中子集个数问题·包含关系·基本运算题型突破（六大题型） 考点01 求集合的子集（真子集） 考点02 根据集合的包含关系求参数 考点03 根据两个集合相等求参数 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 考点05容斥原理的应用 考点06 根据并集结果求集合元素个数 考点01 求集合的子集（真子集） 1．已知，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由， 可得，集合中有个元素，故子集个数. 2．已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】集合中的元素个数是2，真子集个数是个. 【详解】集合的真子集个数为：. 3．若集合有且仅有两个子集，则实数的值为_______. 【答案】或 【详解】集合有且仅有两个子集，即集合只有个元素， 即方程只有1个解， 当时，即，，，只有个解，符合要求； 当时，，解得. 综上，或. 4．已知集合，，则满足⫋ B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】B 【详解】因为集合的真子集个数为，所以集合C的个数为 5．若集合，则的真子集个数为（     ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【详解】由题集合，故的真子集个数为. 6．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】因为，若，则， 又， 则集合是集合的非空子集， 且元素和，和，和必须同时出现， 故可把元素和，和，和看成一个元素， 则集合可看成有个元素， 所以集合的个数为. 7．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系判断求解即可. 【详解】由，得集合中一定包含集合中的所有元素且集合是集合的真子集， 所以集合或或. 故满足条件的集合的个数为3个. 8．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（     ） A．5 B．8 C．6 D．7 【答案】B 【详解】必含元素，剩余可选元素为，每个元素可选或不选，共种. 9．设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 【答案】 1536 或 【分析】由写出集合，由集合中的元素个数求得中每个元素在其子集中出现的次数，从而求得的所有子集中的元素之和；讨论集合是否为空集，然后由集合的包含关系建立不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解得，即， 当时，，所以集合中有个元素， 其中每个元素出现在集合的子集中的次数为， 而， 所以的所有子集中的元素之和为. ，当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以当时，的取值范围是或. 10．已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 【答案】 【详解】因为集合满足，可知集合必包含元素，可能包含元素， 则符合条件的集合个数即为集合的子集个数，即为. 考点02 根据集合的包含关系求参数 11．已知集合 或， ．若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按、、分类解出集合，再抓住的闭端点与的端点、比较，得到的范围． 【详解】． 若，则，满足； 若，由得，即， 因其含有端点，故需，即，得； 若，由得，即， 同理需，即，得； 综上的取值范围是． 12．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，进行求解 【详解】当时，由，， 当时，若， 则，， 综上，的取值范围为. 13．已知集合，． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，代入方程求得，代回检验即可； （2）求出方程的判别式，按照，，讨论求解. 【详解】（1），， ，必有，所以，解得； 故. （2）方程的判别式， 当时，，所以，满足； 当时，，不满足； 当时，，集合有两个元素，若，则必有， 所以，反之，时确有； 综上，实数的取值范围为. 14．已知集合，若，则实数的取值是_________ 【答案】或 【分析】先由元素的互异性求出实数满足的条件，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】由题意可知，解得且且， 又因为， 所以或， 由，可得或（舍）； 由，可得或（舍）； 综上，或. 15．已知集合，，若，则满足条件的实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， 且集合，若，则或或， 当时，则； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：满足条件的实数组成的集合为. 16．（多选）已知集合，.若，则的值可以是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】化简集合，分类讨论是否为空集，结合题设可得答案. 【详解】. 若，则； 若，则，则， 由题意可得或，得或. 综上可得：的值可以是. 17．（多选）已知集合，，若，则实数的值（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【详解】方法一：因为集合，，若， 所以，且，故或； 方法二：对于A选项，当时，，，满足，故A正确； 对于B选项，当时，，，满足，故B正确； 对于C选项，当时，，，不满足，故C错误； 对于D选项，当时，，不满足集合的互异性，故D错误； 18．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论集合是否为空集，列出不等式，求得实数的取值范围. 【详解】当时，，解得， 当时，则，解得， 所以. 19．设集合，，若，则的取值范围________． 【答案】 【分析】根据子集的定义结合集合的数轴表示求解的取值范围即可 【详解】在数轴上画出集合，要使，只需即可. 20．设集合，. (1)若 ，求实数a的取值范围 (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据包含关系得到，利用根的判别式和韦达定理进行求解； （2）分，或，三种情况，结合根的判别式进行求解，得到答案 【详解】（1），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. （2）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得，将代入方程得，解得， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. 考点03 根据两个集合相等求参数 21．设，，，若，则_______． 【答案】 【详解】，，且， 根据集合相等条件可得，，即， 所以． 22．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由且集合中的元素互不相同，是两集合的公共元素，故有． 分两种情况： ①且． 因，得； 代入，得． ②且． 则，从而，与矛盾． 所以，从而． 23．已知集合，若，则实数的值为___________. 【答案】0 【详解】，，所以，即，解得或， ，，违反互异性，舍去； ，，符合条件. 24．已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．-1 C．1 D．±1 【答案】C 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果. 【详解】，， 若，则，或， 解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，；当时，， 综上，. 25．已知集合，，若，则______． 【答案】 【详解】由题意得，集合，，， 有意义，， 两个集合都含有元素，故剩余两组元素对应相等，分两种情况讨论： ， 由，得， 代入， ， 此时，，集合元素互异，符合条件， ， 由得，代入， ， 整理得， 若，则，，此时， 出现重复元素，违背集合元素互异性，舍去， 综上，，故. 26．已知实数集合，，若，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，由，分别讨论且和且的情况，得到的值即可. 【详解】已知实数集合，， 若，则集合与集合的元素完全相同， 当且时，由可得或，由可得或， 若，则集合不满足互异性，因此，所以，，此时集合满足互异性且； 当且时，可得，此时集合不满足互异性，故此情况不成立； 综上所述，，， 所以. 27．已知，若集合，则______． 【答案】 【详解】由集合相等得，可得. 28．设，，，，若，则（    ） A． B． C．1 D．6 【答案】B 【详解】由于，当时，，此时，违反元素的互异性，不符合题意， 当时，或，显然结合以上解析不符合题意， 当时，，，要满足，只需， 故. 29．设，若集合，则___________． 【答案】 【详解】由题意得两个集合中的元素相同，故，解得， 所以. 30．已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，. （2）由，则，即， 此时， 因为，所以，解得， 则实数的取值范围为. （3）由，可知，且，即， 此时，则且，所以， 则. 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 31．已知集合，为全集的子集，，，，则下列选项不正确的为（     ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】D 【分析】先确定全集，再拆分集合元素，确定集合，中的元素，再验证选项即可。 【详解】由，得. 集合可以分为“仅属于、不属于”和“既属于也属于”两部分， 因此. 因为，因此则. 集合可以分为“仅属于、不属于”和“既属于也属于”两部分，其中“仅属于”的元素为去掉的部分：， 因此. 选项A：，.正确； 选项B：中有3个元素，则子集个数为.正确； 选项C：，.正确； 选项D：，.错误. 32．已知集合，设，且，则集合中的元素的和为（    ） A．或0 B．或1 C．0或2 D． 【答案】A 【分析】由集合的运算得，即得，分析得出1和2一个是方程的解，另一个是方程的解，然后分类讨论求得值，确定中元素后可得结论. 【详解】因为，所以，所以， 或， 又，所以和不可能都是方程的解， 所以和中的一个是方程的解，另一个是方程的解. 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 若，即，则，，或， 所以，中所有元素和为， 所以只有选项A正确. 33．若，，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的性质及条件可得，再结合数轴可得实数的取值范围. 【详解】由补集的性质知，又因为，所以. 又，，所以. 即实数的取值范围是. 34．已知、，集合，． (1)若，求、的值； (2)若，求、的值． 【答案】(1) 或 (2)①当 时， 为任意实数；②当 时，；③当 时，；④当 时，。 【分析】（1）先求出的两根为和，由得，代入求出，再根据的两种情况分别确定； （2）由得，对的判别式按小于零、等于零、大于零三种情况讨论，分别求出满足条件的． 【详解】（1）由题意： ， 对于集合，方程可化为， 所以方程的解为 若，所以， 所以，由，代入的方程得： 此时的方程为 即 由 ，分两种情况： 若，则，满足； 若，则，需，得， 所以 （2）因为，所以， 对中方程的判别式分类讨论： ①当，即时，，显然，此时为任意实数. ②当时： 若，即，则，需，即，得； 若，即，则，需，即，得； ③当时，方程有两个不同实根，要，只能，即（由 解得），此时需，得. 综上： ①当时，为任意实数； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 35．设全集，集合，若或，则实数a的取值范围为__________ 【答案】 【分析】利用集合之间的关系，列出不等式求解. 【详解】已知全集，集合，因为或，所以, 即， 又因为为连续区间，所以有，解得. 36．已知集合，，且，则集合的个数为（    ）． A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合的运算及集合间的关系，得到，进而求解即可. 【详解】因为，则， 又，所以集合的个数为． 37．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 38．已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 39．已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 40．已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 考点05容斥原理的应用 41．学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为______． 【答案】5 【分析】设出兼报三项比赛的人数和报两项比赛的人数，根据容斥原理，得到和的等量关系，根据，和都是非负整数，可求的最大值. 【详解】设兼报三项比赛的人数为人，报两项比赛的人数为人， 参加比赛的总人数为人， 因为只报名参加一项比赛的有20人，所以由容斥原理得，即， 因为，，所以，即， 因为为整数，所以最大为5，此时， 因此兼报三项比赛的人数最多为5人. 42．某社团开展球类活动，一共名同学喜欢篮球或羽毛球，其中人喜欢篮球，人喜欢羽毛球，则既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为________． 【答案】 【分析】利用韦恩图法求解. 【详解】设既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为，用集合表示喜欢篮球的同学构成的集合， 用集合表示喜欢羽毛球的同学构成的集合，如下图所示： 由题意可得，解得， 所以既喜欢篮球又喜欢羽毛球的人数为. 43．某班级共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则，两项公益活动都不参加的有（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】A 【详解】设，两项公益活动都参加的有人，则，两项公益活动都不参加的有人. 由题意得，解得， 所以，两项公益活动都不参加的有人. 44．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手：既参加了测量又参加了计算的有8人，既参加了测量又参加了绘图的有6人，既参加了计算又参加了绘图的有4人，其中三项工作都参加的有3人．则这支测绘队有________人． 【答案】45 【详解】设集合， 根据三集合的容斥原理，测绘队总人数为三集合并集的元素个数， 所以 即这支测绘队有45人. 45．某校“十一运动会”上，共有12名男同学参加100米、400米、跳远三个比赛项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“跳远比赛”，“100米比赛和400米比赛”都参加的有4人，“100米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，“400米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有1人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加跳远比赛的有2人 【答案】B 【分析】利用Venn图表示参加比赛人数的关系，进而建立方程求解即可. 【详解】参加比赛人数的关系如下图所示，设三项均参加的人数为，仅参加400m的人数为，仅参加100m的人数为，仅参加跳远的人数为. 则，解得.故A错误. ,解得，故C错误 ，解得，故B正确 ，解得，故D错误. 46．（多选）某学校举办运动会，据统计参加跳高、跳远、铅球比赛的同学共有30人，其中只参加跳高比赛的同学有7人，只参加跳远比赛的同学有5人，只参加铅球比赛的同学有8人，且参加跳高、跳远、铅球比赛的同学人数均相等，则（    ） A．至少参加两项比赛的同学有10人 B．同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学至少有2人 C．同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学至少有4人 D．同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学最多有5人 【答案】ABD 【详解】由题意，得至少参加两项比赛的同学有人，A正确； 设同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学人数为， 同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学人数为， 同时参加跳高、铅球两项比赛且不参加跳远比赛的同学人数为）， 同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学人数为，如图所示， 则. 由参加跳高、跳远、铅球比赛的同学人数均相等，可知， 所以，，要使最大，则，，取值最小， 又，，，所以的最小值为0，此时，，， 所以同时参加铅球、跳远两项比赛且不参加跳高比赛的同学至少有2人， 同时参加跳高、跳远两项比赛且不参加铅球比赛的同学至少有3人， 同时参加跳高、跳远、铅球三项比赛的同学最多有5人，B，D正确，C错误. 47．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 48．某训练馆安排了散打、乒乓球、篮球三种项目，共有108人参加训练．其中训练散打的有33人，训练乒乓球的有50人，训练篮球的有42人，同时训练散打和乒乓球的有7人，同时训练散打和篮球的有5人，3种项目都训练的有3人，则同时训练乒乓球和篮球的有________人． 【答案】8 【分析】根据集合的容斥原理列式求解即可. 【详解】设分别表示训练散打、乒乓球、篮球的人数， 所以， ， 根据容斥原理得， 所以，解得. 所以同时训练乒乓球和篮球的有8人. 49．学校举办了一次趣味运动会，某班共有30位同学积极参加．每位同学可以根据自己的兴趣选择至少一个项目，一共有3个比赛项目，分别为“同舟共济”，“齐心协力”，“旱地龙舟”．已知参加这三个项目的人数分别为14，20，16．同时参加“同舟共济”和“齐心协力”共有10人，同时参加“同舟共济”和“旱地龙舟”共有8人，三个项目都参加共有6人．则同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有（    ） A．8人 B．6人 C．4人 D．2人 【答案】A 【详解】设同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有人，图如图所示： 则，解得. 50．高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团.已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人.利用韦恩图分析，则三项社团全都参加的人数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】设三项都参加的人数为，根据容斥原理用表示出只参加两项、只参加一项及未参加的人数，利用总人数为48建立方程，解出即可. 【详解】用韦恩图表示各部分人数：设三项都参加人数为，    则只参加漫画与围棋人数为，只参加漫画与航模人数为， 只参加围棋与航模人数为， 所以只参加漫画人数为， 只参加围棋人数为， 只参加航模人数为， 又因为三项都没参加人数为人，总人数为 ， 所以， 化简得：. 考点06 根据并集结果求集合元素个数 51．已知表示集合中的元素个数，若，，，则（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用容斥原理求解. 【详解】根据容斥原理得：， 所以：，所以 52．若集合，，则中的元素个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为集合，， 所以， 则中有4个元素. 53．已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， ，的元素个数为. 故选：C. 54．设集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）由集合的交、补运算求集合； （2）由题设得，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）当时，， 此时，故或； （2）若，则，且， 若，则，可得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为或. 55．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合运算得，然后利用元素与集合的关系列不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以且， 所以且，所以，即实数的取值范围为. 故选：A 56．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求．某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有33位学生选修了“足球”课程，有26位学生选修了“篮球”课程，有10位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（　　） A．29 B．39 C．49 D．59 【答案】C 【分析】设集合“选修足球课程的学生”，“选修篮球课程的学生”，结合交集、并集的运算法则，即可求解. 【详解】设集合“选修足球课程的学生”，“选修篮球课程的学生”， 因为有33位学生选修了“足球”课程，有26位学生选修了“篮球”课程，有10位学生同时选修了这两门课程， 则， 可得, 即该班学生的人数为人. 故选：C. 57．设集合，，则的元素个数是（   ） A．9 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素． 故选：B. 58．某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________. 【答案】41 【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案. 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 59．若，，则的最大、最小值分别是（   ） A．12，8 B．20，8 C．20，12 D．20，4 【答案】C 【分析】结合交集与并集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 则，即的最大值为20，最小值为12. 故选：C. 60．已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论B是否为空集计算即可； （2）利用补集、并集的概念化条件为，计算即可. 【详解】（1）若，则，即时，此时显然符合题意； 若，则，要满足，则，解得， 综上所述实数a的取值范围为； （2）由题意可知若，则， 所以有，解之得， 则实数a的取值范围. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $