专题03 集合充分条件·必要条件·全程量词·存在量词题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题03 集合充分条件·必要条件·全程量词·存在量词题型突破（六大题型） 考点01 充分与必要的判断 考点02 根据充分不必要条件求参数 考点03 根据必要不充分条件求参数 考点04 根据充要条件求参数 考点05全称命题考点 考点06 特称命题考点 考点01 充分与必要的判断 1．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．“”的一个充分不必要条件是“” D．设，，则“”是“且”的充分不必要条件 【答案】ABC 【详解】对于A，由，得不出，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，则，， 所以一元二次方程有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于C，若，则；所以“”是“”的充分条件， 若，由，得，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”的一个充分不必要条件是“”，故C正确； 取，满足，但不满足且， 所以“”是“且”的不充分条件； 由且，得， 所以“”是“且”的必要条件； 所以“”是“且”的必要不充分条件，故D错误. 2．使或成立的一个充分不必要条件是（ ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】由题意可得只需满足所选条件组成的集合是集合或的真子集即可，因为集合是集合或的真子集，故C正确. 3．“集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据真子集个数求出集合元素个数，确定参数的充要范围，再利用集合间的包含关系判断充分性与必要性. 【详解】若一个集合的元素个数为，则它的真子集个数为. 因为集合恰有个真子集，所以集合中只有个元素， 因为，，则有当，时，；当，时，；当，时，， 则的取值范围为． 充分不必要条件要求选项对应的的范围应该是集合的真子集. 选项，：与集合相等，为充要条件，错误； 选项，：是集合的真子集，为充分不必要条件，正确； 选项，：包含集合，为必要不充分条件，错误； 选项，：与集合相交，互相不包含，为既不充分也不必要条件，错误. 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以“”是“”的必要不充分条件. 5．“”是“或”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】分析充分性，由加法运算可直接得出充分性成立，分析必要性，举个例子可说明必要性不成立. 【详解】分析充分性： 若成立，若，则，若，则， 所以一定能说明和至少有一个成立，即或成立，充分性成立； 分析必要性： 若或，即和二者至少一个成立， 举例：，，此时，所以必要性不成立. 所以“”是“或”的充分不必要条件. 6．设则“是”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】因为由可以得出，所以充分性满足； 但由得不出， 如当时，满足，但不满足， 所以必要性不满足； 所以“是”的充分不必要条件. 7．（多选）下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D正确. 8．下列命题正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的必要不充分条件 【答案】A 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D错误. 9．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，满足，但， 若，因为， 所以成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 10．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“”是“”的充分非必要条件（其中）；③“”是“”的充分非必要条件；④是的必要非充分条件，其中真命题的序号是______. 【答案】② 【详解】①取，此时，而，故“”不是“”的充要条件， 命题①为假命题． ②在时，若，则，充分性满足； 取时，，而，必要性不满足， 故“”是“”的充分非必要条件，命题②为真命题． ③取，有，但，故不是的充分条件，命题③为假命题； ④可推出，故是的充分条件，命题④为假命题． 考点02 根据充分不必要条件求参数 11．已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)， (2)选择①或选择②或选择③， 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得； （2）选不同条件，都可得，分为空集、为非空集合两种情况，列不等式组求解的范围． 【详解】（1）已知， 当时，． 因为，所以， . （2）选条件①：因为，所以． 当时，满足，即，解得． 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为． 选条件②：因为，所以． 当时，满足，即，解得． 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为 选条件③：因为是的充分条件，所以． 当时，满足，即，解得． 当时，需满足： ，解得：． 综上，实数的取值范围为. 12．已知集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）∵ ，∴. 又 ， ∴ ，. （2）∵ “”是“”成立的充分不必要条件， ∴ . 当时，满足，此时，解得. 当时，若满足，则需， 解得. 综上，实数的取值范围为. 13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先解绝对值不等式得到集合，把充分不必要条件转化为集合是的真子集，列出区间端点满足的不等式组求解参数范围． 【详解】由，得， 设集合，， 由题意可知，集合是集合的真子集， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 14．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求出集合，利用并集的定义即可求解； （2）分析可知，集合是的真子集，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，           又，           所以． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，           又因为，， 所以，解得， 故实数的取值范围是． 15．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】将命题对应区间转化为集合，利用充分不必要条件等价于集合的真包含关系，列不等式组求解实数的取值范围. 【详解】设命题对应的集合为，命题对应的集合为， 因为是成立的充分不必要条件，所以，需满足不等式组， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 因此实数的取值范围是. 16．（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】BCD 【详解】令，. “”是“”的充分不必要条件， 真包含于， ，即． 结合选项知，的值可以是，，． 17．若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将充分非必要条件转化为对应集合的真包含关系，列不等式组求解参数的取值范围. 【详解】设条件对应的集合为，条件对应的集合为. 由是的充分非必要条件，可得真包含于. 首先为非空数集，因此，解得. 再由真包含关系列不等式组： ， 解第一个不等式得，解第二个不等式得. 取所有不等式解集的交集，得， 验证可知此时是的真子集，满足充分非必要条件. 故的取值范围是. 18．（多选）已知p：x<1，q：x<m，要使q为p的充分条件，则m的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【详解】因为，，且为的充分条件， 则命题若，则为真， 所以{x|x<m}⊆{x|x<1}，可得m≤1. 故选ABC. 19．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解，得，由题意可得，求解后再验证即可. 【详解】若，则不等式无解，不符合题意； 若，由，得， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是， 所以，等号不同时成立，解得， 当时，由，得， 因为为的真子集， 则是不等式成立的充分不必要条件，符合题意，所以， 故整数的最小值为. 20．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）通过代入得到集合的范围，通过并集和交集的概念计算即可 （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围， （3）根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可． 【详解】（1）当时，，因为， 则；. （2）若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 时，实数的取值范围为或． （3）若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故． 综上，实数的取值范围为． 考点03 根据必要不充分条件求参数 21．已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，即. （2）由题可得是的真子集， 当时，则； 当时，，则（等号不同时成立），解得 综上，实数的范围为． 22．命题：，命题：，若命题的必要不充分条件是，则的取值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分条件和必要条件的判定方法，转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】由命题：，命题：，设集合 因为命题的必要不充分条件是，可得是的真子集，所以， 结合选项，可得的取值可以为. 23．已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合A，先根据，列出相应不等关系，求出的取值范围，进而求解即可； （2）由题意可判断B是A的真子集，由此列出相应不等关系，即可求得答案. 【详解】（1）集合，而， 若，故当时，，即； 当时，或，解得. 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为. （2）命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得； 当时，或，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 24．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，， 因为，所以； （2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 若是空集，则，得； 若不是空集，则，得， 则实数的取值范围为或 25．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 是的必要不充分条件， 是的真子集， 又， ， 则，解得． 26．已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意，将命题的关系转化为集合之间的关系，利用集合之间的关系即可求解. 【详解】根据题意，设集合，集合，其中， 因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 所以且（等号不同时成立），所以， 综上所述，实数的取值范围为. 27．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，或， (2) 【详解】（1）当时，，结合， 则，，或，； （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 28．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 29．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 30．若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 考点04 根据充要条件求参数 31．若“”是“”的充要条件，则________． 【答案】4 【详解】由，得， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得． 32．设集合，命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由条件，p是q的充要条件，得A=B，即解得，所以实数m的值是. （2）由p是q的充分条件，得， 所以 所以 综上实数m的取值范围是. 33．已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． (1)是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）根据充要条件关系判断集合相等，根据方程的根和集合相等的概念，列出方程求出参数值； （2）根据必要不充分条件的关系判断集合的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】（1）存在满足条件的． 因为“”是“”的充要条件，所以， 可知方程的两个不同的实数根为， 所以，解得． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集． 则必须满足，解得， 即的取值集合为． 34．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 35．已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 36．已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在， 若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 37．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 38．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 39．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 40．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 考点05全称命题考点 41．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B． C．若，则或 D． 【答案】AC 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件，以及全称命题和存在性命题的真假判定方法，即可求解. 【详解】对于A，若，则成立，所以充分性成立； 反之：若，则不一定成立，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，所以A正确； 对于B，因为恒成立，所以不存在实数使， 所以为假命题，所以B不正确； 对于C，由，则或，所以C正确； 对于D，当时，，所以命题不成立，该命题为假命题，不正确. 42．（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．， B．所有大于的平方数都是合数 C．， D．在任意一组勾股数中，至少有一个偶数 【答案】ABD 【详解】对于A选项，命题“，”为全称量词命题， 因为，，所以，A正确； 对于B选项，命题“所有大于的平方数都是合数”为全称量词命题， 所有大于的平方数都是合数，不妨取正整数， 则至少有三个约数、、，故为合数，B正确； 对于C选项，命题“，”为存在量词命题，C错误； 对于D选项，命题“在任意一组勾股数中，至少有一个偶数”为全称量词命题， 假设、、是任意一组勾股数，且， 假设、、都是奇数，则、、都是奇数，为偶数，等式不成立， 即假设不成立，故、、中至少有一个是偶数， 即在任意一组勾股数中，至少有一个偶数，D正确． 43．（多选）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】分类求出不等式的解集，再结合存在量词命题、全称量词命题的意义逐项判断. 【详解】不等式，当时，恒成立，则，B正确； 当时，；当时，， 因此，，，A错误，C正确； 取，，D错误. 44．已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】依题意，集合，， 所以是的非空真子集， A中，取，则且，故存在，，A正确. B中，因为是的非空真子集，对任意都有，不存在使，B错误. C中，取，而，故"，"不成立，C错误. D中，取，而，故"，"不成立，D错误. 45．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的关系即可求解. 【详解】对于A，例如，满足且，故A正确； 对于B，因为集合中的元素都在集合中，所以不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，属于集合，但不属于集合，故D错误． 46．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则实数的取值范围是. 47．已知集合，，且． (1)当时，求. (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将代入集合的表达式，确定集合的区间范围，再根据并集的定义合并两个集合的区间即可求解； （2）将全称真命题转化为集合是集合的子集，结合非空的前提，列出不等式组求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以； （2）由命题：“，”是真命题，得，且，需同时满足以下不等式 ，得， 故实数的取值范围是. 48．已知集合，，． (1)若，求实数的取值集合； (2)若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【详解】（1）解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． （2）由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 49．已知，集合，集合. (1)判断的子集是否有且只有一个，并说明理由； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求的取值范围． 【答案】(1)若有，则，则，显然不成立，所以不存在． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 50．若“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题可转化为，进而可得出答案. 【详解】因为“，”是真命题， 所以， ，所以. 考点06 特称命题考点 51．（多选）下列结论正确的是（   ） A． B．所有能被10整除的数都是偶数 C．， D．， 【答案】AB 【分析】A 直接解二元一次方程组；B 根据整除与偶数的定义判断；C 可取特殊值举反例；D 利用一元二次方程的判别式判断是否存在实数解． 【详解】A：由方程组解得 ，故该方程组的解集为 ，A 正确； B：设整数 能被 整除，则存在整数 ，使 ，所以 为偶数，B 正确； C：取 ，则 ，故 C 错误； D：方程 的判别式 ，所以该方程无实数解，D 错误． 52．（多选）下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．若是偶数，则能被4整除 D．直线上的点可用集合表示 【答案】BC 【分析】对于A，取判断；对于B，根据判别式判断；对于C，令代入判断；对于D，根据集合点集的表示方法判断. 【详解】对于A选项，取，，存在反例，故错误； 对于B选项，，二次函数开口向上，，故正确； 对于C选项，若是偶数，设，则，可被4整除，故正确； 对于D选项，直线上的点用集合表示，故错误. 53．（多选）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【详解】由于集合，，则，所以，，故A正确； 对于B，由于中所有元素都属于，故B不正确； 对于C，取，则，，所以C不正确； 对于D，由，即中所有元素都属于，所以D正确. 54．下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】A：当时不成立； B：； C：当时不成立； D：时成立．真命题是D． 55．已知命题p：，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设集合，若，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分和两种情况分类讨论，结合命题为假命题求得实数a的取值集合A； （2）利用交集的结果，结合集合包含关系分类求解即可. 【详解】（1）命题，为假命题， 当时，方程为，解得，此时命题为真命题，不符合题意； 当时，，为假命题等价于一元二次方程无实根， 所以，解得． 故实数的取值集合． （2）由，得，即． 因为，所以． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，实数的取值集合为或． 56．设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，由题设可得是的真子集，进而结合包含关系求解即可； （2）将问题转化为，假设，分、两种情况讨论求解，进而得到实数的取值范围． 【详解】（1）由， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为命题“，”是真命题，所以， 若，则时，，即； 时，由或，无解. 综上所述，若，则， 则时，，即实数的取值范围为． 57．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出此命题是真命题时的范围，再根据条件关系选择即可. 【详解】由题意可以得到，此命题为真命题时， 时，， 即，∵需要求一个必要不充分条件， 即的范围比此范围大就行，∴满足题意. 58．设全集，集合，集合 (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先化简集合，根据必要条件的逻辑关系得，分为空集、非空集两种情况列不等式求解； （2）命题为真等价于，先求的范围再取补集即可得. 【详解】（1）解不等式，得，即，故. 因为“是的必要条件”等价于，分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，要使，则，，解得. 综上所述，当时，或. 因此实数的取值范围为或. （2）命题“”为真命题等价于，先求的取值范围： ① 当时，由（1）知，满足； ② 当时，，若，则或， 即或，解得或. 或 综上，时，的取值范围是或， 取补集得时，的取值范围为. 因此实数的取值范围为. 59．已知，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将题设问题转化为集合A是集合B的真子集，进而根据包含关系求解即可； （2）将题设问题转化为，先求出时的取值范围，进而得到时的取值范围． 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是； （2）因为“，”是真命题，所以， 当时，因为，所以或，解得或， 所以的取值范围是． 60．已知集合，非空集合． (1)若，使得，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，使得的条件可得到A，B交集不为空，结合B非空列出不等式组，最后解不等式组求出的取值范围； （2）由必要条件推出，结合B非空列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）已知集合，非空集合， 因为，使得， 所以，   所以， 解得，即实数的取值范围是． （2）已知集合，非空集合， 因为“”是“”的必要条件， 所以，    因为， 所以， 所以，     解得， 所以实数的取值范围是． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合充分条件·必要条件·全程量词·存在量词题型突破（六大题型） 考点01 充分与必要的判断 考点02 根据充分不必要条件求参数 考点03 根据必要不充分条件求参数 考点04 根据充要条件求参数 考点05全称命题考点 考点06 特称命题考点 考点01 充分与必要的判断 1．（多选）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．“”的一个充分不必要条件是“” D．设，，则“”是“且”的充分不必要条件 2．使或成立的一个充分不必要条件是（ ） A．或 B．或 C． D．或 3．“集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“或”的________条件. 6．设则“是”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的充分不必要条件 8．下列命题正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的必要不充分条件 9．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“”是“”的充分非必要条件（其中）；③“”是“”的充分非必要条件；④是的必要非充分条件，其中真命题的序号是______. 考点02 根据充分不必要条件求参数 11．已知集合． (1)当时，求； (2)请在下列三个条件中任选一个，求实数的取值范围． ①；②；③是的充分条件． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 12．已知集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________． 14．已知集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15．已知命题，命题，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是______. 16．（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 17．若“条件：”是“条件：”的充分非必要条件，则的取值范围是__________． 18．（多选）已知p：x<1，q：x<m，要使q为p的充分条件，则m的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 19．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 考点03 根据必要不充分条件求参数 21．已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 22．命题：，命题：，若命题的必要不充分条件是，则的取值可以为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 24．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 25．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 27．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 28．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 29．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 30．若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 考点04 根据充要条件求参数 31．若“”是“”的充要条件，则________． 32．设集合，命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 33．已知集合，，其中，是关于的方程的两个不同的实数根． (1)是否存在实数，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值集合． 34．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 35．已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 36．已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 37．设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 38．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 39．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 40．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 考点05全称命题考点 41．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B． C．若，则或 D． 42．（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．， B．所有大于的平方数都是合数 C．， D．在任意一组勾股数中，至少有一个偶数 43．（多选）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 44．已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 45．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 46．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（          ） A． B． C． D． 47．已知集合，，且． (1)当时，求. (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 48．已知集合，，． (1)若，求实数的取值集合； (2)若“，都有”为真命题，求实数的值． 49．已知，集合，集合. (1)判断的子集是否有且只有一个，并说明理由； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求的取值范围． 50．若“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点06 特称命题考点 51．（多选）下列结论正确的是（   ） A． B．所有能被10整除的数都是偶数 C．， D．， 52．（多选）下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．若是偶数，则能被4整除 D．直线上的点可用集合表示 53．（多选）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 54．下列命题是真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 55．已知命题p：，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设集合，若，求实数的取值集合． 56．设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 57．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 58．设全集，集合，集合 (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围： (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围 59．已知，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求m的取值范围． 60．已知集合，非空集合． (1)若，使得，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $