专题12 不同函数增长的差异·二分法·函数模型的应用问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题12 不同函数增长的差异·二分法·函数模型的应用问题题型突破（六大题型） 考点01 指数、对数、幂函数模型的增长差异 考点02 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 考点03 二分法求方程近似解的过程 考点04 二分法求函数零点的过程 考点05 利用给定函数模型解决实际问题 考点06 建立拟合函数模型解决实际问题 考点01 指数、对数、幂函数模型的增长差异 1．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该校的要求？ 2．（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．已知正数满足，则的最小值为4 B．已知函数的定义域为，则的定义域为 C．函数在区间单调递减，则的取值范围是 D．，使得时，恒成立 3．（多选）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 4．在上，随着x的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度． 5．已知函数是单调递增的指数函数，设函数，且，则函数在上（   ） A．只存在最小值 B．只存在最大值 C．同时存在最大值和最小值 D．存在最大值或最小值 6．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 8．（多选）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 9．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 10．有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 考点02 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 11．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 12．有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 13．根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 14．若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（    ） x 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 15．已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 16．以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知，则对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 17．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 18．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 (1)求函数的解析式; (2)求函数的解析式； (3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异. 0 5 10 15 20 万元 20 30 40 50 60 万元 20 40 80 19．四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 20．（多选）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 考点03 二分法求方程近似解的过程 21．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 23．用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 24．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 25．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 27．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 28．（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 29．若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 30．（多选）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，均有” B．二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 C．函数的最小值为 D．若对数有意义，则实数的取值范围为 考点04 二分法求函数零点的过程 31．已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 32．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 33．（多选）给出下列结论，其中正确的结论是（    ） A．函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．若，则的值为 34．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 35．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 36．用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 37．某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为______． 38．已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 39．已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 40．用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点05 利用给定函数模型解决实际问题 41．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 42．在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：h）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数．某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为和．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 （2.5，2.6］ （2.6，2.7］ （2.7，2.8］ （2.8，2.9］ 参考数据：． A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 43．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 44．某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整．经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为．已知当广告费用投入为6万元时，产品的年订购量为19万件．该厂家每生产1万件该产品，需投入12万元．另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护．规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和． (1)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (2)假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和．若该厂家年收入为年生产成本的2倍，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润最高？最高利润为多少万元？（年利润=年收入－年总成本） 45．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 46．某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 47．某无人机执行巡航任务，其电池能耗率R（单位：W）与飞行高度h（单位：）、飞行速度v（单位：）满足关系式：，若该无人机巡航时以匀速飞行，记，，则当高度由提升到时，提升前与提升后能耗率的比值为（    ） A． B． C． D． 48．某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 49．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.14 B．1.15 C．1.16 D．1.17 50．某工厂生产一种产品，固定成本为万元，每生产一百件产品，成本增加万元．已知销售总收入（万元）与产量（百件）的关系为 (1)请将该产品的利润（万元）表示成产量（百件）的函数（利润总收入总成本） (2)若要求利润不低于万元，求产量的取值范围 考点06 建立拟合函数模型解决实际问题 51．某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上围挡．学校准备了45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米． (1)求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）； (2)能否建造米的活动场地？请说明理由； (3)若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用） 52．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 53．某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价/（元/件） 45 60 售价/（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 54．某电脑公司计划在2006年5月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司5月1日至5月10日的平均日销售量是______________台． 55．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米．容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元． (1)写出总造价关于沼气池的长的函数关系式； (2)请问设计沼气池的长为多少时，能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 56．某空调生产企业为了激励某地区销售公司多卖某款空调，在1月份推出的激励政策如下：若该款空调当月销售量不超过200台，则当月该款空调的进价为3000元/台；若该款空调当月销售量超过200台但不超过300台，则进价在3000元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低1元；若该款空调当月销售量超过300台，则进价在2900元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低2元．根据市场调查，该销售公司每月销售该空调最多400台且每月都有销量． (1)设当月该款空调的销售量为台，实际进价为元/台，求与的函数关系式； (2)已知该款空调的销售价为3500元/台，若销售公司当月销售该款空调的利润为18万元，试问销售公司当月销售了多少台该款空调？ 57．2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 58．据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示： 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. 59．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表： 年份（年） 2023 2024 2025 新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250 (1)假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式； (2)2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：） 60．数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的（，），另一个是同学乙提出的（，），记一月底测量时间x的值为1． (1)请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 不同函数增长的差异·二分法·函数模型的应用问题题型突破（六大题型） 考点01 指数、对数、幂函数模型的增长差异 考点02 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 考点03 二分法求方程近似解的过程 考点04 二分法求函数零点的过程 考点05 利用给定函数模型解决实际问题 考点06 建立拟合函数模型解决实际问题 考点01 指数、对数、幂函数模型的增长差异 1．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该校的要求？ 【答案】模型 【详解】借助工具作出函数的图象. 观察图象可知，在区间上，的图象都有一部分在直线的上方， 只有的图象始终在和的下方， 这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求. 2．（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．已知正数满足，则的最小值为4 B．已知函数的定义域为，则的定义域为 C．函数在区间单调递减，则的取值范围是 D．，使得时，恒成立 【答案】ACD 【分析】对A，利用基本不等式求解判断；对B，根据抽象函数求定义域判断；对C，根据复合函数单调性求解判断；对D，取，根据指数函数､幂函数､对数函数增长速度的差异即可判断. 【详解】对于A，因为，且， 则， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，若函数的定义域为，则，故， 所以的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，故B错误； 对于C，因为在区间单调递减，又是增函数， 所以在单调递减，所以，所以的取值范围是，故C正确； 对于D，对于任意，比较指数函数、幂函数和对数函数的增长速度可知， 当足够大时，一定有， 所以存在，使得时，恒成立，故D正确； 故选：ACD. 3．（多选）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【答案】ABC 【分析】作出函数 的图象，数形结合，结合函数的增长趋势，一一判断各选项，即得答案. 【详解】作出函数 的图象，如图所示： 由图象知，对任意的 ，，A，B选项正确， 由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后的函数值将会超过的函数值，并一直持续， 即一定存在 ，当时，总有 ，C正确； 对于选项，当时， 与 的图象有一个交点， 当时 与 的图象有2个交点，一共有3个交点，D错误， 故选：ABC 4．在上，随着x的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度． 【答案】正确 【分析】由指数函数与幂函数的图象与性质判断即可. 【详解】由指数函数与幂函数的图象与性质可知，的增长速度会超过并远远大于的增长速度. 故答案为：正确 5．已知函数是单调递增的指数函数，设函数，且，则函数在上（   ） A．只存在最小值 B．只存在最大值 C．同时存在最大值和最小值 D．存在最大值或最小值 【答案】D 【分析】因为指数函数单调递增，故当时，指数函数呈爆炸性增长，根据幂函数与指数函数的增长速度可知.易知存在使得.分和两类讨论，结合极限思想即可求解. 【详解】因为指数函数单调递增，故当时，指数函数呈爆炸性增长，根据幂函数与指数函数的增长速度可知.易知存在使得. 若，则存在常数，使得时，，则； 又在上必有最大值，不妨设为M，则，有且；，. 综上可知，，即时，在有最大值. 同理可得，若，则存在常数，使得时，，则； 又在上必有最小值，不妨设为m，则，有且；，. 综上可知，，即时，在有最小值. 综上，在存在最大值或最小值. 故选；D. 6．四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 7．（多选）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 8．（多选）函数，在区间上（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 【答案】ABC 【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质即得. 【详解】作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误， 故选：ABC. 9．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【分析】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【详解】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A 10．有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C 考点02 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 11．从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解. 【详解】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. A选项：函数在定义域内单调递减，故A错误； B选项：函数的单位增长率恒定不变，故B错误； C选项：满足上述三点，故C正确； D选项：函数在处无意义，D错误. 12．有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系. 故选：D. 13．根据下列表格中的数据选择合适的模型，则的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出散点图，可得出结论. 【详解】作出散点图如下图所示： 由图可知，函数在上单调递减，且递减速度越来越慢，D选项中的函数模型较为合适. 故选：D. 14．若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（    ） x 1 2 0.2 0.2 5 50 25 3.2 10 200 200 102.4 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】将表格中对应的值与函数解析式进行比较即可求解. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以， 故选：. 15．已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 【答案】A 【分析】根据不同函数类型的增长速度，即可得到答案. 【详解】因为，所以函数、、均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以，，，有成立. 故选：A. 16．以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知，则对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 【答案】D 【分析】根据题意，结合结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，一一判断即可. 【详解】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错； 对于选项B，取，此时，故B错误； 对于选项C，当时，结合图象易知知不恒成立，故C错； 对于选项D，当时，结合图象易知，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立，故D正确. 故选：D. 17．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【答案】BD 【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可． 【详解】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 18．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数. 0 5 10 15 20 万元 20 40 万元 20 40 (1)求函数的解析式; (2)求函数的解析式； (3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异. 【答案】(1) (2) (3)表格如下: 0 5 10 15 20 万元 20 30 40 50 60 万元 20 40 80 则图像为: 根据表格和图像可知: 房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例. 【分析】（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可； （2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可； （3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可 【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设, 由,, 可得, 即. （2）因为是按指数增长的房价,设, 由, 可得, 即. （3）由（1）和（2）,当时,； 当时,；当时,, 19．四个因变量随自变量变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 9.907 则关于呈指数型函数变化的变量是___________． 【答案】 【分析】由指数函数的性质即可得出答案. 【详解】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出，四个变量均是从2开始变化，且都是越来越大， 但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快， 可知变量关于呈指数型函数变化. 故答案为：. 20．（多选）设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数的图象，结合图象，即可求解 【详解】画出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数中， 当时，函数增长速度最快，增长速度最慢. 所以选项B正确；选项ACD不正确. 故选：ACD.    考点03 二分法求方程近似解的过程 21．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】计算区间两端点处函数值，根据二分法定义判断. 【详解】，， 取区间，，计算， 取区间，计算， 取区间，，计算， 取区间，，因此零点在区间上，因此二分区间至少4次. 22．用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 23．用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 24．用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 25．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 26．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 27．用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 28．（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 【答案】AC 【分析】根据零点存在性定理，结合函数的性质逐项判断可得. 【详解】对于A，因为函数在内连续，且， 所以函数在内有零点，所以A正确； 对于B，函数，令，则或，所以函数的零点是，所以B错误； 对于C，作函数与的图象，可知，当时，函数与的图象有且只有一个交点. 当时，函数与的图象有两个交点，分别为. 所以函数有三个不同的零点. 所以C正确；    对于D，因为，根据用二分法求函数在区间内的零点近似值方法，知零点近似值在内，又，零点近似值在上，所以D错误. 故选：AC. 29．若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（误差不超过0.05）可以是（    ） A．1.25 B． C．1.34375 D．1.375 【答案】C 【分析】利用零点存在性定理不断缩小零点所在区间，在误差范围内即可得解． 【详解】依题意，方程的一个近似根即函数的一个零点的近似值，该函数的定义域为，故函数在上连续. 因，满足，则该零点在区间内， 但，取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，因，满足，故该零点在区间内， 但，再取，则， 又因区间端点值不作为近似值，故可取为方程的一个近似根. 故选：C. 30．（多选）下列说法正确的有（ ） A．“，使得”的否定是“，均有” B．二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 C．函数的最小值为 D．若对数有意义，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用存在量词命题的否定；对于B，设，求出，，可得，根据二分法得到在内有零点，求出，得到，即在内有零点，从而得解；对于C，令，则，利用对勾函数的单调性得解；对于D，由对数有意义得到计算得解. 【详解】对于A，由存在量词命题的否定知：“，使得”的否定为“，均有”，A正确； 对于B，设，，， ，即在内有零点， 故方程在区间内有实根， ， ，即在内有零点， 故方程在区间内有实根，故B正确； 对于C，令，则， 由对勾函数单调性知：在上单调递增，， 无最小值，C错误； 对于D，若对数有意义，则，解得：， 故实数的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 考点04 二分法求函数零点的过程 31．已知函数，， . (1)证明：； (2)利用二分法证明方程在上有两个实根. 【答案】(1)，， 即.又， ，则，. 又，，. (2)由题意得在内选取二等分点，则. ，∴在区间和内至少各有一个零点. 又最多有两个零点，∴方程在上有两个实根. 【分析】（1）根据已知条件列出不等式，进而证明即可. （2）根据零点存在定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 32．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 33．（多选）给出下列结论，其中正确的结论是（    ） A．函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D．若，则的值为 【答案】ACD 【分析】根据二分法的精确度，代入公式，即可判断A的正误；根据a的范围，可得为减函数，根据的范围，可求得的范围，分别讨论和两种情况，分析即可判断B的正误；根据与互为反函数，即可判断C的正误；根据题意，可求得、的值，根据对数的运算性质，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A选项，二分法精确度为，所以，可得，故至少运算次，A对； 对于B选项，因为，所以为减函数， 因为函数（且）在上是减函数，则，解得， 当时，在上单调递增，故舍去， 当时，在上单调递减，满足题意， 所以实数的取值范围是，B错； 对于C选项，函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，C对； 对于D选项，因为，所以， 因为，所以， 所以，D对. 故选：ACD. 34．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 35．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 36．用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 37．某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为______． 【答案】1.875 【分析】用二分法求函数在区间内的零点，精确到，已知，，通过反复取中点并判断函数值符号，逐步缩小区间，直到零点所在区间的长度小于 ，即可得到精确到 的近似解. 【详解】根据二分法原理，方程的根即函数的零点， 初始区间为（因， 第一个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第二个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第三个值：取区间的中点，计算得：，新区间为； 第四个值：取区间的中点，计算得： ， 由于，新区间为。此时区间长度， 满足精度要求，且区间两端点的值精确到均为，因此得出近似解为 此时区间两端精确到均为，即近似解为. 综上，所取四个值依次为，第三个值为. 故答案为： 38．已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02得，求出. 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以； 故选：C 39．已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由，得.根据题意知方程的两根分别为，由韦达定理可求得的值. （2）根据零点存在性定理，应用二分法求近似解，逐渐缩小近似解所在区间，使区间的长度小于，可得至少需要进行4次函数值的计算；或根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. （3）由题意知，的最大值须不大于的最大值，所以结合函数性质，分别求得的最大值和的最大值，由此列出不等式，可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）由，得，即. 因为的解集为，或所以方程的两根分别为. 由韦达定理可知， ，所以. 当时， 由，得，或， 解得. 所以的解集为或. 综上，的值为. （2）因为函数在上有零点， ，，. 所以函数在上有零点；此时 因为，所以函数在上有零点；此时. 因为， 所以函数在上有零点；此时, 因为， 所以函数在上有零点.此时. 所以用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. 方法二：因为用二分法求零点的近似值，每次二分后，区间的长度均缩小为原来的一半. 所以经过1次二分后，区间的长度为； 经过2次二分后，区间的长度为； 经过3次二分后，区间的长度为； 经过4次二分后，区间的长度为. 故用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. （3）因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，，即的最大值为. 设，且，则. 因为，所以； 因为，所以. 所以，即.所以在上单调递增. 所以当时，的最大值为. 因为，使，所以，即. 所以实数a的取值范围是. 40．用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二分法的特征计算即可. 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 考点05 利用给定函数模型解决实际问题 41．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】根据所给的函数关系可得，，再由对数的运算性质及对数式化为指数式可得. 【详解】设发光强度为级对应的光能为，发光强度为级对应的光能为， 由，得： 当时： ， 当时： 由对数减法运算性质，，即， 将对数式转化为指数形式得. 所以，因此发光强度级的生物释放的光能约是级的倍. 42．在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：h）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数．某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为和．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 （2.5，2.6］ （2.6，2.7］ （2.7，2.8］ （2.8，2.9］ 参考数据：． A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【答案】B 【分析】根据条件，列方程组，求得，再根据对数运算化简，即可判断. 【详解】由题意得，，两式相除得，即，所以， 所以，对应地形为复杂山地． 43．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 【答案】256 【详解】由指对幂函数增长速度可知，应该选取，代入点， ，解得，所以，解得. 44．某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整．经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为．已知当广告费用投入为6万元时，产品的年订购量为19万件．该厂家每生产1万件该产品，需投入12万元．另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护．规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和． (1)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (2)假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和．若该厂家年收入为年生产成本的2倍，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润最高？最高利润为多少万元？（年利润=年收入－年总成本） 【答案】(1) (2)广告费为22万元时，厂家的年利润最高为284万元. 【分析】（1）利用广告费用投入为6万元时，产品的年订购量为19万件，可直接求出值，再根据年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和可列出函数关系式； （2）利用基本不等式即可求出利润最大值和此时广告费用. 【详解】（1）由题，当时，， 厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式为： （2）设年利润为万元，则， 因为， 所以，仅当时等号成立，， 故广告费为22万元时，厂家的年利润最高为284万元. 45．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，根据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系： ．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则实数的值为________，的最小值是________万元． 【答案】 40 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得 . 当且仅当，即时取等号. 46．某科技园引入“光伏+储能”微电网系统.该系统白天利用光伏发电，并将多余的电能储存在储能电池中，供夜间使用.假设储能电池的额定容量为（单位：），该系统每天的“综合调度成本”（单位：元）由两部分组成：一是容量配置与维护成本，与成正比，比例系数为0.2；二是容量不足风险成本（容量不足时需从主网高价购电的期望费用），与成反比，比例系数为800000.若使每天的综合调度成本最低，储能电池的额定容量应设计为__________. 【答案】2000 【详解】由题意可知，容量配置与维护成本为0.2x元，容量不足风险成本为元， 因此每天的综合调度成本. 又， 当且仅当时，等号成立. 故每天的综合调度成本最低时，储能电池的额定容量应设计为. 47．某无人机执行巡航任务，其电池能耗率R（单位：W）与飞行高度h（单位：）、飞行速度v（单位：）满足关系式：，若该无人机巡航时以匀速飞行，记，，则当高度由提升到时，提升前与提升后能耗率的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由飞行速度，代入： ， 因此能耗率公式简化为： 当： ， 当： ， 对化简： ， 对化简： ， 因此能耗率的比值为： . 48．某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义推导参数关系，再代入剩余质量为原质量的条件求解对应时间. 【详解】由半衰期定义，当时，剩余质量， 即，则. 当剩余质量为原质量的时，则， 所以. 由于指数函数为单调函数， 所以，则. 49．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.14 B．1.15 C．1.16 D．1.17 【答案】B 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 50．某工厂生产一种产品，固定成本为万元，每生产一百件产品，成本增加万元．已知销售总收入（万元）与产量（百件）的关系为 (1)请将该产品的利润（万元）表示成产量（百件）的函数（利润总收入总成本） (2)若要求利润不低于万元，求产量的取值范围 【答案】(1)， (2) 【分析】根据利润总收入总成本求出利润的解析式. 【详解】（1）总成本=固定成本+可变成本=（万元）． 利润总成本：， 所以，. （2）令，即，解得或． 结合，得，即产量应在400件到1000件之间． 考点06 建立拟合函数模型解决实际问题 51．某学校要修建一个占地面积为64平方米的矩形体育活动场地，四周要建上围挡．学校准备了45米长的围挡材料（可以不用完）．设矩形地面的边长米，米． (1)求关于的函数关系式（不写自变量的取值范围）； (2)能否建造米的活动场地？请说明理由； (3)若矩形地面的造价为1千元/平方米，侧面围挡的造价为0.5千元/米，建好矩形场地的总费用为80.4千元，求出的值．（总费用地面费用围挡费用） 【答案】(1) (2)不能，理由：把代入，得． 周长为． ∴不能建造米的活动场地 (3)10或6.4 【详解】（1）∵矩形体育场占地面积为64平方米，∴. （2）不能，略 （3）由题意可得活动场地造价为. 整理得，解得，. 经检验，，均为原分式方程的解，且符合题意. 当时，总周长为； 当时，总周长为. 综上可得，的值为10或6.4. 52．国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2) ，当时，取得最小值 【分析】（1）由函数的单调性选择模型②，再代入点的坐标求出相应的函数关系式； （2）结合（1）的结论可得的解析式，再根据其单调性求得最小值及对应的. 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 53．某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价/（元/件） 45 60 售价/（元/件） 66 90 (1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)2 880元 (2)① ②服装店第二次获利不能超过第一次获利． 理由如下：因为， 根据一次函数的性质，可得随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为元， 因为，所以服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【分析】（1）设服装店购进种恤衫件，购进种恤衫件，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）①因为购进种恤衫件，所以购进种恤衫件，根据题意，列出函数关系式； ②由①中的函数解析式，结合一次函数的单调性，求得的最大值，即可得到答案. 【详解】（1）解：设服装店购进种恤衫件，购进种恤衫件， 根据题意，可得，解得， 全部售完获利为元. （2）解：①因为购进种恤衫件，所以购进种恤衫件， 根据题意，可得，解得， 则， 所以与的函数关系式为. ②略． 54．某电脑公司计划在2006年5月1日将500台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔10天平均日销量减少2台，现准备用38天销售完该批电脑，则预计该公司5月1日至5月10日的平均日销售量是______________台． 【答案】16 【详解】设第一个10天每天销售a台，则第二个10天每天销售台， 第三个10天每天销售台，第四个10天每天销售台， 由题意得，，解得， 故预计该公司5月1日至5月10日的平均日销量是16台 55．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米．容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元． (1)写出总造价关于沼气池的长的函数关系式； (2)请问设计沼气池的长为多少时，能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】(1) (2)长为4时，最低总造价是9240元 【分析】（1）依题意建立起关于的函数关系式； （2）利用基本不等式可得答案. 【详解】（1），由题意得：沼气池的宽为， 总造价：， . （2）因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 56．某空调生产企业为了激励某地区销售公司多卖某款空调，在1月份推出的激励政策如下：若该款空调当月销售量不超过200台，则当月该款空调的进价为3000元/台；若该款空调当月销售量超过200台但不超过300台，则进价在3000元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低1元；若该款空调当月销售量超过300台，则进价在2900元/台的基础上，每多售出1台，每台该款空调的进价均降低2元．根据市场调查，该销售公司每月销售该空调最多400台且每月都有销量． (1)设当月该款空调的销售量为台，实际进价为元/台，求与的函数关系式； (2)已知该款空调的销售价为3500元/台，若销售公司当月销售该款空调的利润为18万元，试问销售公司当月销售了多少台该款空调？ 【答案】(1)，其中 (2)300台 【分析】（1）根据条件，分，，，列出分段函数，即可求解； （2）根据（1）的结果，列出利润的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，； 当时，； 当时，． 故，其中． （2）当时，销售该款空调的利润最大为元180000元，不符合题意； 当时，， 解得或不符合题意（舍去）； 当时，[]⋅，不符合题意； 综上，销售公司当月销售了300台该款空调． 57．2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，， (2)该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，再利用待定系数法即得； （2）分和两种情况，结合二次函数以及函数单调性分别求耗电量的最小值，即可得结果. 【详解】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意； 故选①：， 由题意可得：，解得， 所以，. （2）当时，设该车在国道的耗电量为， 则 当且仅当时，等号成立， 当时，设该车在高速的耗电量为， 则， 可知在内单调递增，则； 综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 58．据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示： 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. 【答案】(1)； 散点图如下： (2) (3) 【分析】（1）代入求，再画散点图即可； （2）根据散点图判断，再利用待定系数法求解析式即可； （3）由，再分、两种情况，结合基本不等式及函数单调性求最值即可． 【详解】（1）解：已知第16天的销售价为49元/件， ，解得， 散点图如下： （2）由散点图可知，整体先增后减，故选②， ，解得， 则； （3），， 当时， 则 ， 当且仅当，即，（）时等号成立； 当时，， 则 ， 因为在上单调递减，在上也单调递减，所以在上单调递减。 所以当时，取得最小值，； ， 日销售收入在过去一个月内的最小值为元． 59．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表： 年份（年） 2023 2024 2025 新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250 (1)假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式； (2)2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，所以可用函数（且）来描述，代入点，求得，即可求得解析式； （2）由题可知，从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为，结合（1）中所得解析式，列出相应的不等式，求解即可. 【详解】（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快， 所以可用函数（且）来描述. 代入点，得，解得，. 所以. 2023年的数据，满足， 所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为. （2）设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 由题意知，从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量为； 从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为. 所以，即. 两边取常用对数，得. 因为，， 所以. 所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 60．数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的（，），另一个是同学乙提出的（，），记一月底测量时间x的值为1． (1)请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 【答案】(1)（，）比较合适， (2)6月底 【分析】（1）根据两个函数模型的增长速度即可选择，再利用待定系数法求出函数模型的解析式即可； （2）先求出一月底时水生植物的面积，假设x月底水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，则，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，所以选择同学甲提出的（，）比较合适， 由题意得，解得，所以； （2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设x月底水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上， 即，所以，所以， 因为，所以， 所以自6月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $