专题10 对数型函数图象过定点问题·参数·比大小·单调性问题题型突破（八大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题10 对数型函数图象过定点问题·参数·比大小·单调性问题题型突破（八大题型） 考点01 求对数型复合函数的定义域 考点02 求对数型复合函数的值域 考点03 对数型函数图象过定点问题 考点04 对数型复合函数的单调性 考点05 根据对数函数的最值求参数或范围 考点06 对数函数最值与不等式的综合问题 考点07 比较对数式的大小 考点08 由对数函数的单调性解不等式 考点01 求对数型复合函数的定义域 1．函数的定义域是_________． 2．函数的定义域为________． 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)求的定义域； (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 5．函数的单调递减区间为__________． 6．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 7．函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 8．若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 考点02 求对数型复合函数的值域 11．已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 12．已知函数的值域为，则实数的值为________. 13．（多选）下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 14．已知，试求的最大值和最小值 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)解关于的不等式：； (3)求函数的值域． 16．已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 17．值域为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 19．已知函数，求在上的值域. 20．已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 考点03 对数型函数图象过定点问题 21．（多选）已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 22．（多选）下列结论中，正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．幂函数是奇函数 C．若，则的最小值为2 D．若函数在上单调递增，则 23．对数函数（且）的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限．( ) 24．（1）已知函数（且）的图象恒过定点，则的值是________． （2）函数的单调增区间是________． 25．已知函数且的图像恒过定点，则______. 26．（多选）已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 27．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 28．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 29．函数（且）过定点，则__________. 30．（多选）下列结论正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．不等式的解集 C．函数的定义域是 D．函数过定点 考点04 对数型复合函数的单调性 31．已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 32．已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．已知函数. (1)求函数的对称中心. (2)解不等式. 34．已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 35．（多选）有下列几个命题，其中正确的是（    ） A．给定幂函数，则对任意，，都有 B．已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数，，则函数的最大值为3 36．已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 38．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 39．已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 40．（多选）已知，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，的取值范围是 D．当时， 考点05 根据对数函数的最值求参数或范围 41．已知函数在（）上的最大值与最小值分别为M和m，则函数，函数图像的对称中心是（     ） A． B． C． D． 42．已知函数，当时有最大值1，求的值． 43．已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 44．已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 45．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 46．设函数，若对定义域内的任意，恒成立，则的最小值为______． 47．已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 49．（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 50．已知函数且在上的最大值和最小值之和为1，函数是奇函数. (1)求和的值； (2)用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性； (3)若，求的取值范围． 考点06 对数函数最值与不等式的综合问题 51．若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 53．已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 54．已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 55．设函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，的最小值为3，求m的值； (3)当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 56．已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 57．已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 58．已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 59．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 60．已知函数，其中，且． (1)求函数的定义域； (2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 考点07 比较对数式的大小 61．设，，，则（    ） A． B． C． D． 62．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 63．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 64．设，，，则（    ） A． B． C． D． 65．设，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 66．（多选）已知，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 67．设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 68．设，，，则（ ） A． B． C． D． 69．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 70．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 考点08 由对数函数的单调性解不等式 71．已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 72．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 73．已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 74．设，，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 75．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 76．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 77．已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 78．已知函数（）是奇函数. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 79．设是自然对数的底数，已知幂函数的图象经过点 ，幂函数的图象经过点 ，则不等式 的解集为_________． 80．已知函数，则不等式的解集为________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 对数型函数图象过定点问题·参数·比大小·单调性问题题型突破（八大题型） 考点01 求对数型复合函数的定义域 考点02 求对数型复合函数的值域 考点03 对数型函数图象过定点问题 考点04 对数型复合函数的单调性 考点05 根据对数函数的最值求参数或范围 考点06 对数函数最值与不等式的综合问题 考点07 比较对数式的大小 考点08 由对数函数的单调性解不等式 考点01 求对数型复合函数的定义域 1．函数的定义域是_________． 【答案】 【详解】由题，即， ，解得， 则函数的定义域是． 2．函数的定义域为________． 【答案】 【详解】由得且，故的定义域为 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以； 由，所以. 所以. 4．已知函数． (1)求的定义域； (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)    根据对数函数的性质，，，解不等式组可得； (2)    不等式对任意的恒成立，转化为求，，根据基本不等式可求其最小值为2，依题意可得，解对数不等式可求. 【详解】（1）因为，， 所以，． 因为，，所以， 所以的定义域为． （2）． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以 综上，的取值范围为. 5．函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 6．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先化简集合和，再根据必要不充分条件对应是的真子集，列不等式求解的取值范围. 【详解】已知，， 由一次函数的单调性可得，故. 不等式等价于， 由于是定义域上的单调递增函数， 因此解得，即，故. 若是的必要不充分条件，则（是的真子集）， 因此需满足：，解第一个不等式得，解第二个不等式得. 综上，实数的取值范围为. 7．函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得或，即函数定义域为. 设， ，在上单调递减. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”规则，的单调增区间为. 8．若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得在上恒成立，进而可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以整数的最小值为. 故选：B. 9．函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. 10．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解析式得，故定义域为. 考点02 求对数型复合函数的值域 11．已知函数，函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1)首先利用对数运算法则化简的解析式，将其转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求得值域. (2)先将恒成立条件转化为，通过换元法将转化为关于的二次函数，求解在上的最小值，再代入不等式求解关于的一元二次不等式，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）由，化简可得 ． ， 因为，所以，即的值域为. （2）因为不等式对任意实数恒成立，所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 12．已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 13．（多选）下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】A.求复合一次函数解析式，采用待定系数法，对比等式两边系数列方程组求解；B.对数函数的值域由真数的取值范围决定，当真数可取全体正实数时，对数值域为； C.抽象函数定义域抓住：括号内整体的取值范围不变；D.复合对数函数单调区间，优先求定义域，再利用 “同增异减”，结合二次函数单调性判断. 【详解】 选项A：设一次函数，则， 与对应系数相等，得，解得或，即或，A正确； 选项B：函数定义域满足，解得或，令， 则的取值范围是，在时值域为，不是，B错误； 选项C：的定义域为，即，得，即的定义域为， 对，需满足，，故的定义域为，C正确； 选项D：函数定义域满足，解得或，令，则是增函数， 根据复合函数“同增异减”，则需找的单调减区间，因为图象开口向上，对称轴为， 结合定义域，则在单调递减，所以函数的单调递减区间是，D正确. 14．已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)解关于的不等式：； (3)求函数的值域． 【答案】(1) (2)当时,不等式的解集为;当时，不等式的解集为 (3)当时，函数的值域为；当时，函数的值域为；当时，函数的值域为. 【分析】（1）根据对数真数大于 0 列出不等式组，取交集，结合定义域非空得到参数范围与函数定义域； （2）化简函数，利用对数函数单调性脱去对数符号，联立不等式，结合定义域筛选得到不等式的解集； （3）化简对数函数后转化为二次函数在开区间上的值域，按二次函数对称轴与定义域的位置关系分类讨论，再还原得到对数函数的值域. 【详解】（1）依题意得，由或，由则， 由，所以且，当时，函数的定义域为空集， 当时，函数的定义域为； （2）， 不等式化为， 则由得或，结合定义域，故， 由化简得，解得， 结合和定义域，需，即当，不等式的解集为； 则当，不等式的解集为. （3）, ， 令， ①当即时，在上单调递减，，即，，函数的值域为； ②当即时，，即, ，函数的值域为, ③当时,，即,，函数的值域为, 综上，当时，函数的值域为； 当时,函数的值域为； 当时，函数的值域为. 16．已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】对于由两函数的乘积构成的函数，利用其单调性及值域的特点，可判断它们的零点重合，推得，代入所求式，计算即得. 【详解】因函数的定义域为， 函数与均为上的增函数，且两函数的零点分别为与， 为使函数的值恒为非负数，则两零点必须重合， 否则在两零点之间，两函数值会出现一正一负，不符合题意. 故. 于是 . 17．值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合对数函数值域及二次函数分段得出函数值域. 【详解】因为， 当时，设，， 当时，单调递增，所以， 所以函数的值域为 18．（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 19．已知函数，求在上的值域. 【答案】 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增，故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 20．已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 考点03 对数型函数图象过定点问题 21．（多选）已知函数，则（    ） A．函数恒过定点 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的单调增区间为 D．函数在上的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据对数函数的定点求解即可；对于B，先判断函数的奇偶性，进而判断即可；对于C，求出函数的定义域即可判断；对于D，整理得到，令，进而结合函数的单调性求解判断即可. 【详解】对于A，函数，恒过定点，故A正确； 对于B，函数，， 而，则函数为偶函数， 其图象关于轴对称，故B正确； 对于C，函数， 由，解得， 则函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数，， 令，则，而函数在上单调递增， 则时，，即函数在上的最大值为，D正确. 22．（多选）下列结论中，正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．幂函数是奇函数 C．若，则的最小值为2 D．若函数在上单调递增，则 【答案】AD 【分析】依次根据对数函数过定点的性质、幂函数的定义与奇偶性、对勾函数的最值规律、分段函数单调递增的条件判断各选项正误. 【详解】 选项A：令得，代入函数得，因此图象恒过定点，A正确； 选项B：幂函数的系数必须为1，故，得，此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称，设， 则，故是偶函数，B错误； 选项C：将函数变形为，令，因为对勾函数在上单调递增，因此时取最小值为，C错误； 选项D：分段函数在上单调递增需满足两个条件：①二次函数在上单调递增，其开口向下，对称轴为，故即；②左段在处的函数值不大于右段在处的极限值，即，解得，综上得，D正确. 23．对数函数（且）的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限．( ) 【答案】正确 【详解】因为，，（且）， 且（且）的定义域为，值域为， 所以对数函数（且）的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限. 24．（1）已知函数（且）的图象恒过定点，则的值是________． （2）函数的单调增区间是________． 【答案】 【详解】（1）函数（且）的图象恒过定点， 则，解得， 则. （2）由，得，则函数的定义域为， 又函数，均为增函数， 根据复合函数的单调性，函数的单调增区间是. 25．已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 26．（多选）已知的定义域为，值域为，则（    ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故解得，故B错误； 对于C，，因为与无关，所以， ，故不恒过定点，故C错误； 对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减， 且，即，解得，故,故D正确. 27．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 28．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 29．函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 30．（多选）下列结论正确的是（   ） A．“，”的否定是“，” B．不等式的解集 C．函数的定义域是 D．函数过定点 【答案】BD 【详解】对A，“，”的否定是“，”，所以A错误； 对B，，所以，整理得且，解得，所以解集为，所以B正确； 对C，函数的定义域是，所以C错误； 对D，令，则 ，与的取值无关，所以函数过定点，所以D正确. 考点04 对数型复合函数的单调性 31．已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】先求出二次内层函数在指定区间的值域，再根据对数底数的范围分单调性两种情况，利用最值差值为1列方程求解参数. 【详解】设，对称轴为直线，定义域为，则在上单调递增， 当，当，得， ，分两种情况讨论对数函数的单调性： ①当，在上单调递增，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 ②当，在上单调递减，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 综上，或. 32．已知，函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用换底公式将不同底对数化为同底，再根据复合函数“同增异减”，转化为系数小于0即可求解． 【详解】， 因为，故在上单调递增， 要使在上单调递减，则， 即，即， 结合得，故只需， 因此可得的取值范围为． 33．已知函数. (1)求函数的对称中心. (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用中心对称的定义求解. （2）由（1）确定复合函数的单调性，再利用对称性等价转化不等式并求解. 【详解】（1）由，得，解得，因此， 函数的定义域为，且， 所以函数图象的对称中心为. （2）由（1）知，的定义域为， 函数在上单调递减，函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，又，即， 则不等式， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 34．已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【详解】函数的定义域为， ，因此函数是奇函数， 函数分别是上的减函数、增函数， 减函数-增函数，则函数在上单调递减. 35．（多选）有下列几个命题，其中正确的是（    ） A．给定幂函数，则对任意，，都有 B．已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数，，则函数的最大值为3 【答案】ABD 【详解】对于A，对任意， 易知，， 由 得恒成立，故A正确； 对于B，由分段函数的单调性可知 则的取值范围为,故B正确． 对于C，易知，在上单调递增， 要有意义需，或， 又，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性知的单调递减区间为，故C错误． 对于D，,定义域为， 函数, , 函数定义域为 , 最大值为3，故D正确． 36．已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 37．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查复合函数单调性，分别计算内外层函数单调性，由同增异减性质确认函数的最终单调性. 【详解】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 38．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性法则，结合对数函数的定义域，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 且函数在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 39．已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】确定函数定义域，判断是否关于原点对称，根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，可以判断选项B、D；化简函数表达式，进而根据复合函数单调性判断的单调性，可以判断选项A、C. 【详解】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. 40．（多选）已知，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，的取值范围是 D．当时， 【答案】BC 【分析】变形已知等式，构造函数，利用单调性得，然后逐项分析判断. 【详解】由得， 设，都是增函数，则是增函数，且已知条件变为， 所以， 对A，不恒成立，A错； 对B，由以上分析可知，由得，则， 又，所以，，B正确； 对C，时，由于，所以，所以， ，解得且，所以，C正确； 对D，由题意，即，又， 所以，即，而，所以，所以，D错. 考点05 根据对数函数的最值求参数或范围 41．已知函数在（）上的最大值与最小值分别为M和m，则函数，函数图像的对称中心是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，构造奇函数，利用奇函数在对称区间上的最值之和为0求出，再将其代入，通过换元识别出奇函数结构，从而确定对称中心． 【详解】 ， 即，所以， 令，则， 所以为上奇函数， 在上的最大值与最小值的和为0， ∴，， 令，则，因为是奇函数，图象关于对称， 令，得，此时，故图象的对称中心为. 42．已知函数，当时有最大值1，求的值． 【答案】或 【分析】首先根据求出函数的最值，再分别讨论时的两种情况. 【详解】， 所以 当时，由单调性可知：，解得，符合； 当时，由单调性可知：，解得，符合； 综上所述：或 43．已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 44．已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合对数函数的定义域与单调性，将对数不等式转化为一元一次不等式求解，注意定义域对解集的限制. （2）将代入函数表达式化简，得到的定值关系，结合基本不等式即可求得的最小值，注意验证等号成立的条件. （3）首先根据对数函数的单调性确定在上的最大值与最小值，将题设不等式转化为关于的恒成立问题，求解对勾函数在上的最大值，再解关于的一元二次不等式，结合的限定条件得到的取值范围. 【详解】（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． （2），所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． （3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 45．已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 46．设函数，若对定义域内的任意，恒成立，则的最小值为______． 【答案】/0.2 【分析】由结合对数的运算性质可得，将代入，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，解得；令，解得；     则当时，，故，所以； 当时，，故，所以， 所以，即有，故， 令，由二次函数的性质得： ，故的最小值为. 47．已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 48．若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 【答案】或 【分析】由是单调函数可确定最值取在区间端点，列绝对值方程求解. 【详解】因为是单调函数，所以是单调函数，其最大值和最小值分别取在区间的两个端点处， 所以，即， 所以或，解得或， 故答案为：或 49．（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】先将函数表达式改写为一次函数形式，再根据的符号分两类讨论单调性，最后结合区间端点的函数值求解a的值即可. 【详解】根据已知条件，函数， 当时，， 在上单调递减， 则，解得，满足条件； 当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件. 故选：BD. 50．已知函数且在上的最大值和最小值之和为1，函数是奇函数. (1)求和的值； (2)用函数单调性的定义判断并证明函数的单调性； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增.    证明如下： ，且，    ，    显然有，则， 又由，得，则，    于是，即，    所以，函数在R上单调递增. (3) 【分析】（1）结合对数函数的单调性，利用最值和为1列式求得，方法一：先利用奇函数性质，求得，再代入检验；方法二：利用奇函数的定义列式求解； （2）结合指数函数性质，利用单调性的定义证明即可； （3）利用奇函数性质将已知式化为，然后利用单调性可得，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， （因为函数且在上单调） 所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得．    所以的定义域为R， 方法一： 因为函数是奇函数，所以， 解得， 当时，， 因为，都有，且 ， 则函数是奇函数，满足题意. 故.    方法二： 因为函数是奇函数，所以，即， 则， 即， 解得. 故. （2）略 （3）由，得，     由函数为奇函数，得，    所以 由函数在上单调递增，得，即，    解得， 故的取值范围为. 考点06 对数函数最值与不等式的综合问题 51．若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 要使条件①成立，则必须保证当时，恒成立， 又在上单调递增，故，. 时，，要使条件②成立，这必须保证在区间有解. 即成立，，又在上单调递增，. 综上，的取值范围是. 52．已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 53．已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明略； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 54．已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据反函数可得的表达式； （2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围； （3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 55．设函数． (1)当时，求的值域； (2)当时，的最小值为3，求m的值； (3)当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数性质确定的取值范围，再结合对数函数单调性求解的值域. （2）先判断函数的单调性，得出其在给定区间上的最小值点，再根据最小值为3求出的值. （3）将函数图象位置关系转化为不等式恒成立问题，通过换元法将函数转化为关于新变量的函数，求该函数的最大值，进一步求解的取值范围. 【详解】（1）因为当时，， 因为．所以， 所以， 所以的值域为. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，的最小值为，所以只需，即， 所以在区间上的最小值为， 又因为当时，的最小值为3， 所以．故. （3）当时，函数，的定义域为， 因为函数的图象恒在直线的下方， 所以在恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 则，即，， 令，， 由二次函数性质可知，当时，， 即，解得， 所以的取值范围为. 56．已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 57．已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 58．已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 59．已知函数（为常数）是奇函数. (1)求的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求出参数的值，再代入检验即可得结果； （2）由（1）可得，则对任意的恒成立，根据对数函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，则， 即，所以，即，解得， 当时，则函数无意义，故舍去； 当时，则，令，解得， 可知函数是定义在内的奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可知，， 则， 若恒成立，即对任意的恒成立， 因为在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围是. 60．已知函数，其中，且． (1)求函数的定义域； (2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当，定义域为；当时，定义域为 (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性，分情况求出函数定义域； （2）先求出，然后参变分离，问题转化成，求出不等式左边的最小值即可. 【详解】（1）设，由题知，即， 根据指数函数的单调性， 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上，当，定义域为；当时，定义域为 （2）时，即，即，解得， 由于，此时， ， 则， 即， 即， 即， 设， 令，则， 此时， 根据对勾函数的单调性，在上递减， 注意到，则在取得最大值，即， 则，此时，则 考点07 比较对数式的大小 61．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取合适的中间值判断各数的取值范围即可. 【详解】， 为增函数，所以，所以， 为增函数，所以，所以，所以. 62．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定函数的单调性，然后比较的大小后可得结论． 【详解】由，， 因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 而， 则，即. 63．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数是定义在上的偶函数，易判断函数在上单调递增，在上单调递减，利用偶函数性质结合对数、指数的运算性质，可判断出，从而得出，，的大小关系. 【详解】当时，，易得在上单调递增， 又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递减， 由题知， 又，所以最大，即最小， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 综上，，所以. 64．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 且，所以. 65．设，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数在上为增函数，所以， 因为对数函数在上为减函数，所以， 因为指数函数在上为减函数，所以，故. 66．（多选）已知，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，则，故C错误； 因为，所以，所以，故D正确． 67．设，，，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 又，所以，所以，即. 所以. 68．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知幂函数在上单调递增，所以，即， 由，则， 综上． 69．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， ，故有. 70．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质，易知，再对其作商，结合及基本不等式进行大小比较即可. 【详解】由对数函数的性质可知，，同理， 因为，所以， 又因为，所以， 因此，. 考点08 由对数函数的单调性解不等式 71．已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明：． 因为，所以． 又，所以，所以， 即，所以，即． 故． (2) 【分析】（1）计算出，并根据单调性比较出大小； （2）由基本不等式得到，从而得到，求出答案 【详解】（1）略 （2）． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以． 综上，的取值范围为． 72．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，又，则． 73．已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，结合函数在上的单调性可得出，再结合绝对值的性质和对数函数的单调性可得出的取值范围. 【详解】因为是定义在上的偶函数，则， 又因为函数在上是减函数，由可得， 所以，则或，解得或. 故原不等式的解集为. 74．设，，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到两个因式的零点，要使乘积恒小于等于，两个零点必须相同，得到约束关系；将二元表达式转化为单变量二次函数，求二次函数最小值. 【详解】由题意得，恒成立， ①分析： 当时，， 当时，， 当时，， ②分析： 当时，， 当时，， 当时，， 要使乘积对恒成立， 两个因式的变号点必须重合，即， 将代入， ， 该式为关于b的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，，取得最小值： ， 故的最小值为. 75．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式化简集合，再根据交集的定义求解. 【详解】因为， 所以， 即. 76．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3)若，则原不等式的解集为；若，则原不等式的解集为；若，则原不等式无解 【分析】（1）根据对数函数的定义，列式即可求出定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断； （3）按照和分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可. 【详解】（1）由函数的解析式可得解得， 所以函数的定义域为. （2）由（1）可知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. （3）可化为，， ①若，则有，即， 因为，， 所以原不等式的解集为， ②若，则有，即， （ⅰ）若，则，原不等式有解，解集为； （ⅱ）若，则，原不等式无解， 综上所述，若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式无解. 77．已知函数，且. (1)求实数和函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，简述理由； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，的定义域为. (2)为偶函数， 由（1）知，的定义域关于原点对称，，， 所以为偶函数； (3) 【分析】（1）先根据计算出，再使对数的真数大于0，即可得解； （2）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断奇偶性即可； （3）结合函数单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以要使函数有意义，则需，解得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为，所以. 因在定义域内单调递增，所以等价于， 解得， 所以的取值范围为. 78．已知函数（）是奇函数. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）先根据复合函数单调性法则判断函数的单调性，再由单调性求解即可. 【详解】（1）设定义域为 因为是奇函数，所以对，恒成立， 所以，即：， 所以，所以， 因为，所以. （2）由（1）， 因为在上单调递减，在定义域上单调递减， 则根据复合函数单调性可得在上单调递增. 又函数是奇函数， 所以由，可得 . 所以，解得：， 所以原不等式的解集为. 79．设是自然对数的底数，已知幂函数的图象经过点 ，幂函数的图象经过点 ，则不等式 的解集为_________． 【答案】 【详解】设幂函数，. 将点代入，得，即，解得. 将点代入，得，两边平方得，解得. 不等式， 即. 令，，则，不等式化为. 令， ， 当时，因，故，，，，则，于是，不满足不等式. 当，因，底数越大指数函数增长越快， 所以越大越大，故在递增， 又因为， ，即，. 80．已知函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据分段函数得到每一段上对应的不等式，利用指、对数函数的单调性求解即得. 【详解】由题意，当时，由可得，解得，故得； 当时，由可得，解得； 综上可得，不等式的解集为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $