专题09 指数式与对数式的互换·对数运算·证明·解析式问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题09 指数式与对数式的互换·对数运算·证明·解析式问题题型突破（六大题型） 考点01 指数式与对数式的互化 考点02 对数的运算 考点03 运用换底公式化简计算 考点04 运用换底公式证明恒等式 考点05对数的运算性质的应用 考点06 求对数函数的解析式 考点01 指数式与对数式的互化 1．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 4．已知，得______. 5．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．利用函数的单调性计算对数小数点后第一位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．实数满足，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 10．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 考点02 对数的运算 11．计算： (1) (2)已知，，求 12．已知，则的溶液的是的溶液的的（    ） A． B．10倍 C．倍 D． 13．（多选）若，，则（     ） A． B． C． D． 14．已知函数则（     ） A． B． C． D． 15．已知，则（   ） A． B． C． D． 16．（多选）设，均为正数，且，则（     ） A． B． C． D． 17．已知函数，求________． 18．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 19．已知，，则（   ） A． B． C． D． 20．（    ） A． B． C． D． 考点03 运用换底公式化简计算 21．已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 22．计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 23．若，则__________． 24．若，则（     ） A． B． C． D． 25．已知，则________（用含的代数式表示）． 26．求值：__________． 27．完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 28．(1)已知，，用，分别表示和； (2)已知，求及的值． 29．_____. 30．若，，则________（用、表示）． 考点04 运用换底公式证明恒等式 31．化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 32．已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 33．求值： (1)； (2)． 34．求值： (1)； (2)； (3) 35．求值： (1)； (2). 36．设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 37．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 38．已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 39．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 40．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 考点05对数的运算性质的应用 41．（多选）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 42．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 43．某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 44．《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 45．一种声信号在岩层中传播，信号强度满足指数衰减，其中为初始信号强度，为传播距离（单位：），．信号传播后，强度降为原来的．当信号强度降为原来的时，接收器恰好不能识别，则最大可识别距离约为（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 46．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（     ） A．71 B． C． D． 47．从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 48．已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 49．（1）计算：； （2）设a是非零实数，已知，求的值. 50．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 考点06 求对数函数的解析式 51．已知函数，若图象过点，求的值. 52．已知函数（，且），且，求. 53．已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 54．已知函数. (1)若函数的图象经过点，求实数的值并判断的奇偶性； (2)设，存在实数，当函数存在最小值为时，对恒成立，求实数的取值范围； 55．已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 56．已知定义在上的函数满足：，且，试写出一个满足条件的的解析式__________. 57．已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 58．已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 59．函数与指数函数（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 60．已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 指数式与对数式的互换·对数运算·证明·解析式问题题型突破（六大题型） 考点01 指数式与对数式的互化 考点02 对数的运算 考点03 运用换底公式化简计算 考点04 运用换底公式证明恒等式 考点05对数的运算性质的应用 考点06 求对数函数的解析式 考点01 指数式与对数式的互化 1．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 3．指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】因为， 所以． 4．已知，得______. 【答案】/ 【详解】由，得，. 5．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 6．已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】左右两边同时乘以得， 左右两边同时加得， 设，则单调递增， 又，， 所以， 所以，所以. 7．利用函数的单调性计算对数小数点后第一位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据指对数互化的方法，可得，根据指数函数的单调性，结合特殊值，分析即可得答案. 【详解】令，得， 由在R上单调递增，则可通过比较与3的大小来确定x的范围， 由，则，所以， 由，则， 又，所以，则， 所以，所以，则小数点后第一位数字是5. 故选：B 8．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 9．实数满足，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】B 【分析】通过构造函数，利用其单调性，将两个已知方程转化为函数值相等的形式，从而找到与的关系. 【详解】设函数，该函数在上单调递增. ，即. ，化简得，即. 令，则，代入上式得，即. 因为，且单调递增，所以，因此. 将代入，可得：. 故选：B 10．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 考点02 对数的运算 11．计算： (1) (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 . （2）因为，，即，即， 所以. 12．已知，则的溶液的是的溶液的的（    ） A． B．10倍 C．倍 D． 【答案】B 【详解】当时，由， 得， 当时，由， 得， 所以的溶液的是的溶液的的倍. 13．（多选）若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将指数式转化，得到，推出；再借助对数运算、完全平方变形和基本不等式，逐个判断四个选项. 【详解】对于A： ，A 正确； 对于B：由题：， . 所以， ，B正确； 对于CD： ， 由选项A可知，则，得，当且仅当时取等号， 因为，所以，所以D正确，， 所以，所以，C错误. 14．已知函数则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推关系将自变量转化到已知解析式的区间内计算即可. 【详解】. 15．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，解得． 16．（多选）设，均为正数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A选项，直接使用均值不等式进行求解即可；对于B选项，利用“1”的代换结合均值不等式进行求解即可；对于C选项，首先根据对数运算可得：，然后根据均值不等式进行求解即可；对于D选项，由可得：，代入后根据均值不等式进行求解即可. 【详解】对于A，由题意得，当且仅当时取等号，即，A选项正确； 对于B，，当且仅当时取等号，且，故，B选项错误； 对于C，，且，故，C选项正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D选项正确. 17．已知函数，求________． 【答案】1 【详解】由题意可得，. 18．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则， 则． 19．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，. 20．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 考点03 运用换底公式化简计算 21．已知实数满足，则（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【详解】由，得 因为，所以 所以 所以 22．计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） (1) (2) (3)设，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式; （2）原式； （3）因为，所以， 所以， 所以. 23．若，则__________． 【答案】 或 【分析】先利用对数运算性质换元转化为代数方程求解. 【详解】要使方程有意义，则且， 因为，， 设（，因为），则原方程可化为： 整理得， 即 解得或. 当时，，解得； 当时，，解得. 24．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 25．已知，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】利用换底公式、对数的运算法则进行变形. 【详解】. 26．求值：__________． 【答案】 【分析】由对数，指数运算性质可得答案. 【详解】原式. 27．完成下列2个小题： (1)化简； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 故原式. （2）由得；由得， 所以. 28．(1)已知，，用，分别表示和； (2)已知，求及的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）结合换底公式，利用对数运算性质化简求解即可； （2）将平方可求得，将平方可求得，利用立方差公式即可求值. 【详解】（1）因为，， 所以； . （2）因为，所以 ， 所以； 因为，所以， 所以. 29．_____. 【答案】3 【详解】. 30．若，，则________（用、表示）． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，由换底公式可得. 考点04 运用换底公式证明恒等式 31．化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)7 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算公式得：原式； （2）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得. 32．已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 由，得，. 所以，， 则，故. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）略 33．求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值即可. （2）根据对数运算性质及换底公式化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 34．求值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值； （3）利用换底公式结合对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . 35．求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算求解即可； （2）根据对数运算性质以及换底公式运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 36．设a、b是两个不等于1的正数，求证：. 【答案】 因a、b是两个不等于1的正数，则， 即. 【分析】利用换底公式转化、化简即得证. 【详解】略 37．设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)因为，所以命题得证. (2)因为，所以命题得证. (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以， 故，即的值为. 38．已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：令且， 则，，， 所以， ， 故成立. 由（1）知， (2) 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 39．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 40．设，，，且，，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1) ，所以等式成立； (2)，所以等式成立. 【分析】利用换底公式，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 考点05对数的运算性质的应用 41．（多选）已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对于A， ，当且仅当 时等号成立．故A正确； 对于B， ，当且仅当 1时等号成立．故B正确； 对于C， ，当且仅当 时等号成立．故C错误； 对于D，,当且仅当 时等号成立．故D正确. 42．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 43．某新能源汽车厂研发了一种新型电池，为提升新型电池的性能，现对新型电池进行改良.第次改良后，新型电池的性能指标满足函数关系式：（为常数），其中是未改良时新型电池的性能指标，是首次改良后新型电池的性能指标.已知该新型电池未改良时性能指标为90，首次改良后性能指标为90.3，则________，至少经过________次改良后，该新型电池的性能指标不低于95.（参考数据：，） 【答案】 0.5 15 【分析】根据题意得到方程，求出，并得到不等式，取对数后求出答案 【详解】由， 得，所以，解得， 则，根据题意可知，， 整理得， 两边取常用对数并移项，得 ， 所以，故至少经过15次改良后，该新型电池的性能指标不低于95. 44．《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【详解】由题意得，，则， 故，则对应的律管长度为cm 45．一种声信号在岩层中传播，信号强度满足指数衰减，其中为初始信号强度，为传播距离（单位：），．信号传播后，强度降为原来的．当信号强度降为原来的时，接收器恰好不能识别，则最大可识别距离约为（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，即，解得， ，则， ， 解得． 46．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（     ） A．71 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到是周期函数及其周期，结合周期性、奇偶性可将转化到区间上，进而根据已知解析式求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以. 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 根据奇函数性质可知， 由可知， 当时，有，所以. 47．从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍.“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过（    ）天.（结果四舍五入取整数.参考数据：，） A．228 B．230 C．232 D．234 【答案】B 【详解】设“进步”的是“落后”的100倍只需要大约经过天，则， 即：，两边取对数得：，所以 而，， 代入得：. 48．已知定义在上的连续函数，对任意实数，都有，且，，则___________. 【答案】/ 【分析】构造函数，将条件不等式化成，由题意推得，借助于得到，由求出即可求得答案. 【详解】设，因在上连续，则在上连续， 且，即函数为上的偶函数. 由可得， 若，则可取遍一切实数，即对于，即为常函数. 因，则①， 又因②， 将代入①，得， 将②代入上式，可得， 故. 49．（1）计算：； （2）设a是非零实数，已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用对数的概念、指数幂的运算和对数运算性质计算即可； （2）结合立方和公式、平方差公式和完全平方公式，利用指数幂的运算性质求解即可. 【详解】（1）. . （2）因为，所以 ，所以， 则， ， 所以. 50．（1）已知，，试用、表示； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2）（方法一）； （方法二）． 考点06 求对数函数的解析式 51．已知函数，若图象过点，求的值. 【答案】 【详解】由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 52．已知函数（，且），且，求. 【答案】 【详解】已知 （，且），则， 所以， 因为 ，即， 由对数的定义可得，即， 将 代入 ， 可得. 53．已知，其中为实数． (1)若，求的值； (2)若时，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用对数的运算性质进行求解即可； （2）运用对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，得到， 则，解得. （2）因为时，有， 所以该函数是正实数集上的减函数， 则，解得或， 故的取值范围为. 54．已知函数. (1)若函数的图象经过点，求实数的值并判断的奇偶性； (2)设，存在实数，当函数存在最小值为时，对恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)，偶函数 (2) 【分析】（1）将点代入函数中，结合换底公式即可求出，证明，即可得到函数的奇偶性； （2），根据函数存在最小值为求出，对恒成立可化为对恒成立，求出的最大值，即可求出答案. 【详解】（1）将点代入函数中， 可得：， 即， 所以， 则，函数定义域为， 则， ， 即， 所以函数为偶函数. （2）， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为， 由题意得，解得， 则， 对恒成立， 所以对恒成立， 函数为增函数， 则， 即对恒成立， 因为函数和在上均单调递减， 则函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以， 即实数的取值范围为. 55．已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由对数函数的定义，运用待定系数法可求解析式； （2）注意结构特点，设，再根据二次函数性质即可求出值域. 【详解】（1）设（，且）， ∵的图象过点，则，所以，∴. （2）∵，∴，即. 设，则，，因为离对称轴更远， 所以，即. 所以在区间上的值域为. 56．已知定义在上的函数满足：，且，试写出一个满足条件的的解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则， ∴设函数， 又∵，即，则， ∴. 故答案为：（答案不唯一） 57．已知定义在上的函数满足，且．请写出一个满足条件的的解析式___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合对数的运算性质，以及对数函数的性质，即可得到答案. 【详解】由对数的运算法则知：， 则满足，且的一个函数解析式可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 58．已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 59．函数与指数函数（且）互为反函数，且的图象过点，则______． 【答案】 【分析】思路一：首先求得，进一步得即可得解；思路二：由题意函数的图象过点，求得即可得函数表达式，进一步即可得解. 【详解】方法一：的图象过点，即，解得，故． 其反函数为，所以． 方法二：因为指数函数（且）的反函数为（且）， 的图象过点，故函数的图象过点， 所以，故，所以，所以． 故答案为：. 60．已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为偶函数． 【分析】（1）代入点，即得答案. （2）代入，得到的解析式，由奇偶性的定义即可得到答案. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $