专题11 函数的零点·方程的解·参数·零点区间问题题型突破（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教A版高一必修第一册

专题11 函数的零点·方程的解·参数·零点区间问题题型突破（六大题型） 考点01 根据零点求函数解析式中的参数 考点02 根据函数零点的个数求参数范围 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 考点04 求函数零点或方程根的个数 考点05 求零点的和 考点06 函数与方程的综合应用 考点01 根据零点求函数解析式中的参数 1．若二次函数和2是函数的两个零点，且. (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集. 2．设分别是关于的方程和的根，则________． 3．已知函数，，，，，则（    ） A． B． C． D．0 4．已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 5．若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求a的值，并求的值； (2)求在上解不等式． (3)当时，有解，求实数m的取值范围． 7．已知函数，若，则，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 9．已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 10．已知，.当时，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D． 考点02 根据函数零点的个数求参数范围 11．已知函数 ，若关于 x 的方程 恰有 3个不同的实数根，则实数 a =______． 12．已知定义在上的偶函数，当时，．若函数恰有4个零点，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．已知函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)若且当时，函数存在零点，求实数的取值范围； (3)在（1）的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 14．（多选）设函数，下列说法正确的有（     ） A． B．对任意，都有 C．方程恰有2个不同的实数解 D．若关于x的方程有2个不同的实数解，则 15．设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 16．函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 17．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 18．若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 19．（多选）已知函数，则（    ） A．若在上单调递减，则实数的取值范围为 B．若有2个零点，则实数的取值范围为 C．若，则有5个零点 D．若恰有2个零点，则实数的取值范围为 20．若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 21．已知函数（且）． (1)若，解不等式； (2)若存在使得成立，求实数的取值范围． 22．若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数是偶函数， (1)求b的值； (2)直接写出函数的单调区间，并解不等式； (3)证明：方程在有唯一实根，且． 24．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 25．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26．函数的零点在区间内，则_________． 27．已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．已知函数，， (1)若是奇函数，求a的值； (2)在（1）的前提下，证明：在上仅一个零点，且； (3)设函数，，若对，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 29．若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 30．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04 求函数零点或方程根的个数 31．已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)讨论在上的零点个数． 32．（多选）记表示不超过实数的最大整数．如，．设为正整数，函数，则下列说法正确的是（   ） A．对于任意的，，若，则 B．存在正整数，使得函数为偶函数 C．设，，则方程有无数个解 D．设，，则当时，函数的值域中有且仅有个元素 33．已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 34．（多选）已知函数 ，则（　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递增 C． 有 个零点 D． 的最小值为 35．已知函数，则函数的零点个数是__________. 36．（多选）定义在上的函数满足，函数在区间内有26个零点.则下列结论正确的有（    ） A．函数的一个周期为5 B．函数在内有26个零点 C．函数在内有6个零点 D．函数在内有10个零点 37．已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 38．设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数（，），则下列说法正确的有（    ） A．在上为单调函数 B．在有最大值 C．在恰好有8个零点 D．若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则 39．已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 40．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 考点05 求零点的和 41．设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 42．已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 43．已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 46．函数，则函数的所有零点之和为_________． 47．若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 48．（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 49．函数，. (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若在是增函数，试根据单调性的定义求实数的取值范围； (3)若是偶函数，，在上有两个零点，，求证：且. 50．如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 考点06 函数与方程的综合应用 51．函数与函数的图象仅有1个公共点，则参数的取值范围是________________________． 52．已知函数，若关于的方程有两个实数根，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 53．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若方程有两个不同的实数解，则 54．已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 55．函数恰有1个零点，则的取值范围为______． 56．已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 57．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 58．已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 59．（多选）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 60．已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 函数的零点·方程的解·参数·零点区间问题题型突破（六大题型） 考点01 根据零点求函数解析式中的参数 考点02 根据函数零点的个数求参数范围 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 考点04 求函数零点或方程根的个数 考点05 求零点的和 考点06 函数与方程的综合应用 考点01 根据零点求函数解析式中的参数 1．若二次函数和2是函数的两个零点，且. (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) ，， (2) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）由1和2是的零点，且，代入解析式，求解系数； （2）代入化简不等式，按参数的取值分类讨论求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）因为1和2是的零点，且， 所以，解得，，； （2）由（1）得， 由，得 ，得， 所以， ① 当时，不等式两边同除以，不等号方向改变，得， 由于，故不等式的解集为； ② 当时，不等式化为，解得，故解集为； ③ 当时，不等式两边同除以，不等号方向不变，得： 若，则，不等式的解集为； 若，则不等式化为，无实根，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 2．设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 3．已知函数，，，，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为，，，， 所以有4个实数解，即有根1，2，3，4， 设， 当时，，解得，所以，故． 4．已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】借助根的判别式与基本不等式计算即可得. 【详解】由题意知，，∴， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 5．若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的零点为1，2， 所以，. 所以不等式可化为. 所以所求不等式的解集为. 所以选项D正确. 6．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求a的值，并求的值； (2)求在上解不等式． (3)当时，有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，进而可得所求函数值； （2）由奇函数的对称性可求上的解析式，再由指数函数的单调性可得不等式的解集. （3）转化问题为在时有解，进而结合指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，，所以，解得， 则时，， 所以. （2）由（1）得，当时，， 当时，，且是定义在上的奇函数， 所以， 由，得，即， 则，所以，得， 由指数函数在上是减函数，所以，解得. 故当时，不等式的解集为. （3）当时，， 由，得，则， 即在时有解， 由指数函数和在上均为减函数， 所以函数在上为减函数， 且时，，时，，则， 所以实数的取值范围为. 7．已知函数，若，则，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，可化为，根据函数与函数均为增函数可得到两个函数的零点相同，即可得答案. 【详解】 ， 因为， 所以可化为， 函数在定义域上单调递增，零点为， 函数在上单调递增，零点为， 所以当函数与零点相同时，， 所以，即. 8．已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 【答案】/ 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以， 所以函数的周期为， 所以， 由题意知，， 即， 解得. 9．已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 【答案】/ 【分析】由函数，可得是其中一个交点，则另一个交点的横坐标为，利用求出的值即可. 【详解】由可知由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 由可知由指数函数向下平移2个单位得到， 结合函数图象易知，    即对于任意且，是函数和的图象的其中一个交点， 又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 10．已知，.当时，恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据的符号结合已知条件分析，在时的符号情况，结合零点存在定理得出成立，进而得出.代入，结合基本不等式求解，即可得出答案. 【详解】对于函数， 因为，所以由，可得； 由，可得. 因为当时，恒成立， 所以，应有时，；时，有. 因为是连续函数且不恒为0， 根据零点存在定理可知，必有成立，即， 整理可得. 所以，. 因为，所以， 当且仅当，且，即时，等号成立. 故选：D. 考点02 根据函数零点的个数求参数范围 11．已知函数 ，若关于 x 的方程 恰有 3个不同的实数根，则实数 a =______． 【答案】 【分析】利用换元法将复合方程转化为一元二次方程，结合的图象与零点个数，通过数形结合讨论参数取值. 【详解】令 ，原方程可整理为关于的一元二次方程： ，因式分解得 ， 因此一元二次方程的两个根为：. 函数的图象特征： 当时，方程有2个不同实数根； 当时，方程仅有1个实数根； 当时，方程没有实数根. 原方程恰有3个不同实根，说明两个方程，的根的总数为3 结合，只能是：其中一个等于0（1个根），另一个对应2个根. 因此仅存在两种符合要求的情况： ①若，得，此时，两个方程一共只有一个根，不符合要求； ②若，得，此时.令，；令，.总根个数为，符合要求. 综上，. 12．已知定义在上的偶函数，当时，．若函数恰有4个零点，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先根据二次函数图象以及函数奇偶性作出函数图象，再根据图象确定零点恰为4个时对应的取值范围. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且当 x ≥ 0 时 ．所以可作出图象如图， 由图可知当时，与有四个交点，即函数 恰有 4 个零点， 所以 13．已知函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)若且当时，函数存在零点，求实数的取值范围； (3)在（1）的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数定义即可计算求解，再检验即可得解； （2）先利用换元法令，将函数转化为二次函数，，然后求出二次函数的最值得到函数在上的值域，最后将函数存在零点转化为方程有解即可得解； （3）先根据函数的单调性求出在上的最大值，接着令将题设条件等价转化为在上恒成立，即，求出在上的最大值即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即，，解得， 当时，， 因为，所以不成立，舍去； 当时，， 函数定义域为关于原点对称，且， 所以函数为奇函数，故. 综上所述，. （2）当时，得， 令，则，因为，所以， 当时，；当时，， 所以在上的值域为， 又因为函数存在零点，所以方程有解， 因为，所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. （3）由（1）得，当时，， 因为，所以， 所以，即， 由题得，对任意的，总存在，使得成立， 即对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立； ，令，当时，， 则，即在上恒成立，即， 因为函数在单调递减，在上单调递增， 所，即， 综上所述，的取值范围是. 14．（多选）设函数，下列说法正确的有（     ） A． B．对任意，都有 C．方程恰有2个不同的实数解 D．若关于x的方程有2个不同的实数解，则 【答案】BCD 【分析】求出，判断A；分段分析的取值范围，判断B；分段分析方程的解，判断C；令，，结合的取值范围，可得的取值范围，判断D. 【详解】由函数，则，所以A错误； 当时，， 当时，反复除以，可得，且，所以. 综上所述，对任意，都有，所以B正确； 当时，方程等价于，即， 解得或（舍去）； 当时，，，. 方程等价于，即，所以； 当时，，所以方程无解. 综上所述，方程恰有2个不同的实数解，所以C正确； 当时，，； 当时，，，. 令，若，则方程恒有一个解，； 若，则方程有无穷多个解，. 当时，； 当时，. 若，只有，对应唯一的； 若，则有. 其中总对应一个；只对应一个，当且仅当，即， 否则对应无穷多个. 当时没有解. 综上，若关于x的方程恰有个不同实数解，则，所以D正确. 15．设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】作出函数草图如图， 当时，；当时，． 由有两个不相等的实数根得函数的图象与直线有两个交点， 所以． 16．函数只有一个零点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】令，则的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 要使函数只有一个零点， 则函数的图象与直线只有一个交点， 根据偶函数的图象特征，可知. 17．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】换元，将指数函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，利用二次函数判别式、对称轴、端点函数值，列出不等式组即可求解. 【详解】因为函数在区间上有两个不同的零点， 令，因为，则，则原函数等价为， 即在内有两个不同的根， 则，解得：. 18．若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 【答案】或 【分析】令，换元后转化为方程有一解，结合根与系数的关系及判别式分类讨论即可. 【详解】令， 则原方程等价为， 当时，方程为，不成立，故， 由可得， 代入可得， 即，显然时方程不成立， 所以方程有一解， 当即时，方程有一解，符合题意； 当时，设， 二次函数开口向下，且， 所以方程有一正根，符合题意； 当时，， 且，可知方程有两不等正根，不符合题意； 当时，，方程无实数根，不符合题意； 当时，，此时方程为， 解得，符合题意； 当时，，且， 可知方程有两不等正根，不符合题意. 综上，的取值范围为或. 19．（多选）已知函数，则（    ） A．若在上单调递减，则实数的取值范围为 B．若有2个零点，则实数的取值范围为 C．若，则有5个零点 D．若恰有2个零点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，结合二次函数的图象即可求解；对于B，讨论当时，仅有1个零点，结合和根的分布即可求解；对于C，可求出，或，结合函数的图象即可判断；对于D，令 ， 时有唯一解 ，当时可求得必有两个零点（ 和 ），根据其它情况一定无零点进行讨论即可求解. 【详解】已知函数，当时，，对称轴为， 要使在上单调递减，需要满足，即所以实数的取值范围为，正确； 当，令，解得，即时，仅有1个零点， 要使有2个零点，需当时，仅有1个零点， ①当时，，此时，此时的零点为，符合题意， ②，解得， 所以实数的取值范围为，正确； 令，因式分解得， 即，或， 因为，所以当时，，最小值为， 当时，， 当时，时无实根，时有一个解； 当时，时无实根，时有一个解； 当时，时无实根，时有一个解； 所以若，则有3个零点，错误； 令 ，则方程 变为 ，由前面分析知， 在 时有唯一解 ， 在时，，若 恰有 2 个零点，说明 的实根总数恰好为 2， 因为 是 的一个根，此时 ， 当 时，（1个解）， 当 时，，解得 或 ， 由于 恒成立，所以至少有一个解， 要使 恰有 2 个零点，则必须不在内，或者（此时两根重合）， 若，方程为，此时恰有 2 个零点（ 和 ）， 若 ，需 ，此时 有 2 个零点（ 和 ）， 同时，必须保证 在 时无实根（否则零点总数会超过2个）， 即方程 在 时无实根. 这要求 ，或， 解得或，即， 所以实数的取值范围为，正确. 20．若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题研究分段函数与含参绝对值函数的图像交点个数问题，将图像交点问题转化为方程实数解的个数问题；对参数分类讨论，结合绝对值的定义拆分方程，利用一元二次方程判别式与根的分布，判断根的个数与根所在区间，进而求出参数的取值范围． 【详解】函数的图象与函数的图象有4个不同的交点等价于有个不同的实数解， 当时，对于，，解得或，对于，，解得（舍去），故有个不同的实数解，不满足题意； 当时， 对于，，则或化简为或，两个实数解不同且小于零，满足条件， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为， 又该一元二次方程，所以化简后的方程有两个不相等的实数解，且一个为正实数解，一个为负实数解（舍去）， 故有个不同的实数解； 当时， 对于，，即，解得或，均不满足，该区间无解， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为，即或， 一元二次方程的，其有两个不相等的实数解，取其中正实数解，该解落在区间符合条件，负实数解舍去， 欲使有个不同的实数解，则有两个不相等且大于的正实数解，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 考点03 根据零点所在的区间求参数范围 21．已知函数（且）． (1)若，解不等式； (2)若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性，解不等式即可； （2）由题设可得在上有解，进而求解即可. 【详解】（1）函数在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为． （2）由，则， 因为，且，故在上有解， 则在上有解， 因为，所以在上的值域为． 所以，又因为，所以，则实数的取值范围为． 22．若函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象是开口向上的抛物线，且， 根据零点存在定理可知，若在区间上有零点， 则需满足 ，解得，因此的取值范围为. 23．已知函数是偶函数， (1)求b的值； (2)直接写出函数的单调区间，并解不等式； (3)证明：方程在有唯一实根，且． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增， (3)记 ． 在为减函数，在其定义域上为增函数． 在为减函数． 在为增函数，在为减函数． 在为减函数． ， 又，， 由零点存在定理和单调性知，存在唯一使， 即方程在有唯一实根， 此时，． ． 【分析】（1）根据偶函数的定义. （2）先化简，然后判断复合函数的单调性，根据偶函数和单调性综合，解不等式. （3）先化简函数，根据复合函数的单调性，结合单调性和零点存在定理得出结论. 【详解】（1）为偶函数． 对恒成立， ． ，对成立． ，． （2）. 由于当时，有，且显然递增， 故递增. 而是偶函数，所以在上单调递减. 因此偶函数在上单调递减，在上单调递增. 由且为偶函数． ，或， 解得 ． （3）略. 24．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 25．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据对数函数的定义求解； （2）利用零点存在定理求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【详解】（1）由已知，解得，所以函数的定义域为； （2）由已知，它是增函数， 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得， 所以的范围是； （3）假设存在正实数满足题意， ，则，， 设，则， ， 由基本不等式有，当且仅当时等号， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以，， 所以时，，，是增函数，时，，，不合题意； 当时，，，是减函数，时，，，不合题意； 综上，. 26．函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 27．已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 28．已知函数，， (1)若是奇函数，求a的值； (2)在（1）的前提下，证明：在上仅一个零点，且； (3)设函数，，若对，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明：和在上均为增函数，故在上单调递增， 又，， 由零点的存在性定理可知，，使， 即， 则， 又，故. (3)或． 【分析】（1）由奇函数定义 ，代入化简得 对任意 成立，故 . （2）先由单调性和零点定理得唯一零点 ,再由 代换得 ,结合 即得 . （3），问题转化为 在 上单调且值域包含 ，且对每个 有唯一解. 由对称轴位置分类讨论，得 或 . 【详解】（1）由题意：，且， 所以， 所以． （2）略； （3）由题意 在 上单调递增,故 ， 所以 的值域包含 ,且对 总存在唯一 使得. 若 即 时, 解得 ， 若 即 时, 解得 ， 若 即 时 或 ， 解得 ， 综上所述: 的取值范围为 或 . 29．若函数的零点所在区间为，则的值为___________．2.71828） 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数的零点所在区间，从而得到的值. 【详解】因为函数与函数均为增函数，所以函数为增函数. 因为，，所以函数的零点所在区间为. 所以. 故答案为：. 30．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 考点04 求函数零点或方程根的个数 31．已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)讨论在上的零点个数． 【答案】(1) (2) (3)当或或时，在上的零点个数为1； 当且时，在上的零点个数为2． 【分析】（1）当时，为增函数，即可求得值域； （2）经过化简后令，可得到，因，故，即可求得的取值范围； （3）当，则，则，对进行分类讨论，解出上的零点个数即可． 【详解】（1）当时，易得是增函数， 所以，， 故在上的值域为． （2）． 令，由，得，得， 由，得，得． 设函数，，要使恒成立，则， 得，即的取值范围为． （3）令，由，得， 设函数，则在上的零点个数等于在上的零点个数． 当时，，令，得，所以在上的零点个数为． 当时，令，得或． ①当，即时，在上的零点个数为． ②当，即时，在上的零点个数为． ③当且，即且时，在上的零点个数为． 综上，当或或时，在上的零点个数为； 当且时，在上的零点个数为． 32．（多选）记表示不超过实数的最大整数．如，．设为正整数，函数，则下列说法正确的是（   ） A．对于任意的，，若，则 B．存在正整数，使得函数为偶函数 C．设，，则方程有无数个解 D．设，，则当时，函数的值域中有且仅有个元素 【答案】AC 【分析】根据题意，通过函数的新定义，由函数的单调性即可判断A；取，得到和即可判断B；设，，，分类讨论的取值即可判断C；当时，分类讨论的取值即可判断D. 【详解】对于A，因为表示不超过实数的最大整数， 由，为正整数，若，可得，，则，， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，当时，； 对于任意正整数，，取，可得，，所以， 又由，可得，， 可得，此时， 所以不存在正整数，，使得函数为偶函数，所以B错误； 对于C，当，时，， 设，，，可得，，所以， 令，可得，解得， 当时，可得，，可得； 当时，可得，，可得； 当时，可得，，可得； 当时，可得，，可得； 设，由且为整数， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得； 所以当且时，满足，此时有无数个解，故C正确； 对于D，当，，且时，可得，，所以，， 当时，可得，，可得； 当时，可得，，可得； 当时，可得，，可得； 当时，可得，，可得， 所以在上的取值为，共有个元素，故D错误． 33．已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】令，将原方程转化为，分和两种情况解方程求其解，将求得的代回，再分和两种情况，分别求解对应方程的实根个数，最后汇总所有实根的总数. 【详解】令，原方程转化为， 当时，，整理得，唯一解为； 当时，，即，解得或， 因此满足的共有个值，，，. 当时，， 若，则，解为 ，方程有个根； 若，则，解为 、，方程有个根； 方程 共有个实根； 当时，， 因为，所以， 若，，方程无解； 若，，左边绝对值非负，右边为负，该方程无解； 方程共个实根； 当时，，显然， 若，则，方程无解； 若，有个解，分别为，， 所以方程共个实根， 所以方程的实根个数为. 34．（多选）已知函数 ，则（　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递增 C． 有 个零点 D． 的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据偶函数定义判断A，应用二次函数单调性判断B，结合零点定义计算判断C，应用二次函数最值判断D. 【详解】，且定义域为R， 是偶函数，A 对； 时 ，在 上单调递减、 上单调递增，B 错； 令 得 ，即 ，共 3 个零点，C 对； ，当 时取等，D 对. 35．已知函数，则函数的零点个数是__________. 【答案】7 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 36．（多选）定义在上的函数满足，函数在区间内有26个零点.则下列结论正确的有（    ） A．函数的一个周期为5 B．函数在内有26个零点 C．函数在内有6个零点 D．函数在内有10个零点 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得，根据周期的定义即可判断A；对于B，令，即可得函数在区间内有26个零点，即可判断B；由A,B可得函数在内有4个零点，即可判断C；求出函数在内的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，即函数的周期为5，故A正确； 对于B，令，因为，所以， 因为函数在区间内有26个零点，所以函数在区间内有26个零点， 即函数在区间内有26个零点，故B正确； 对于C，因为函数在区间内有26个零点，且周期为5， 区间可分为共7个区间， 因为函数在每个长度为5的区间上零点个数相同， 所以函数在这6个区间上各4个零点，在上有2个零点，故C错误； 对于D，由C可知函数在上有4个零点，在上有2个零点， 又因为函数的周期为5， 所以函数在上的零点个数与函数在上有的零点个数相等，即为2个， 所以函数在上有2个零点， 由函数的周期性可知函数在上各有4个零点， 所以函数在内共有个零点，故D正确. 37．已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，,单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 38．设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数（，），则下列说法正确的有（    ） A．在上为单调函数 B．在有最大值 C．在恰好有8个零点 D．若的图象上恰好有4对关于原点对称的点，则 【答案】D 【分析】根据题意作出函数的图象，观察在上的图象判断选项A、B，观察在上的零点即可判断选项C；根据条件分析出函数与的图象至少有4个交点，结合图象得出不等式组，解不等式组判断选项D． 【详解】由题意作出函数图象如下： 由在区间上图象可知，在区间上为非单调函数，故A错误； 在区间上，，没有最大值，故B错误； 在区间上有5个零点，在内有1个零点， 故在恰好有6个零点，故C错误； 要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点， 则函数与的图象恰好有4个交点， 由图象得，解得，故D正确． 39．已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 40．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 考点05 求零点的和 41．设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将两个方程分别变形，利用函数互为反函数，图像对称以及垂直条件进行求解。 【详解】方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标； 方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标. 函数与函数互为反函数，图像关于对称， 同时直线与直线互相垂直， 因此两个交点、关于直线对称， 则，即. 42．已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原方程可整理为，令，由条件得出的对称性和周期性，画出两个函数的图像，交点个数为4，再由交点的对称性即可得到方程根的和. 【详解】由是定义在上的奇函数得，结合可得： ，因此, 即4为函数的一个周期，且其图象关于对称． 原方程可整理为，令， 因 则关于中心对称，故关于中心对称， 当时，的值域为， 结合对称性和周期性可知的值域是， 当时，在时取最小值2，如图所示： 当时，与共有2个交点，结合函数对称性可知， 时，两函数也有2个交点，共4个交点，且交点关于对称， 即原方程有4个实数根，所有根之和为8． 【点睛】本题的核心是利用函数的奇偶性、对称性、周期性简化方程根的计算，不需要直接求解每个根，利用对称点的横坐标之和直接得到总根之和． 43．已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 44．已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 45．已知函数，， 的所有零点之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 46．函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 47．若函数恰好有4个不同的零点，则其所有零点之和的取值范围为______． 【答案】 【分析】把函数零点问题转化成方程根的问题，利用韦达定理和判别式讨论的取值范围，进而求解4个零点之和的取值范围． 【详解】函数的零点即的解，，且时， ，所以方程的解必定为整数解，， 当时，方程为，即①； 当时，方程为，即②； 要使有4个不同零点，需两个二次方程各有2个不同的正实根，且满足符号条件， 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 方程，判别式，解得或； 两根之和，故， ，满足，符合的条件； 综上可得，当时，两个二次方程各有2个不同的正实根，且无公共根， 有4个不同的零点， 方程①的两根之和为，方程②的两根之和为， 所有零点之和为， ， ，故所有零点之和的取值范围为． 48．（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 49．函数，. (1)若是偶函数，求实数的值； (2)若在是增函数，试根据单调性的定义求实数的取值范围； (3)若是偶函数，，在上有两个零点，，求证：且. 【答案】(1)或 (2) (3)由（1）知， 故 令，因为，都是增函数， 即在单调递增，所以，与一一对应， 从而有两个正根， 所以，解得 由得， 可得， 当且仅当时取等号， 又因为，即，解得， 所以 【分析】（1）根据偶函数的定义进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行求解即可； （3）利用换元法，根据函数单调性的性质，结合函数零点的定义、一元二次方程根的分布性质进行运算证明即可. 【详解】（1），定义域为， 因为是偶函数，所以， 即，对一切实数恒成立， 故，解得或； （2）， 任取， ， 因为是上的增函数， 所以， 因为，，所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 故. （3）略 50．如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 考点06 函数与方程的综合应用 51．函数与函数的图象仅有1个公共点，则参数的取值范围是________________________． 【答案】 【分析】将题意转换成两个偶函数的交点问题，进行求解并验证. 【详解】令，可得：， 即：， 令， ， （1）观察可知当时，，此时①式为，解得：，满足题意； （2）当时，定义域为不等式组解的交集， ①当时，不等式组恒成立，即：，定义域关于原点对称； ②当时，解不等式组得，因为，因此定义域关于原点对称， ，所以是偶函数， 而也是偶函数，要使两个偶函数只有一个交点，则这个交点必定在取得， 将代入①式得：，解得或. 下面验证时，不只有一个交点: 将代入①式得：，验证等式成立， 令，其中且， ， 当时，，，，所以， 由零点存在定理得：存在，使，即：不满足题意， 综上所述，参数的取值范围是，即：. 52．已知函数，若关于的方程有两个实数根，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值对数方程求出两根 关于参数的表达式，代入转化为可利用基本不等式的形式，再求最小值. 【详解】函数，方程有两个实根，则， 由，，则， 即 ，， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号，因此的最小值为. 53．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若方程有两个不同的实数解，则 【答案】AD 【分析】对于A，由奇函数定义可判断选项正误；对于B，由函数单调性定义可判断选项正误；对于C，由AB分析可得函数单调性，奇偶性，据此可判断选项正误；对于D，分析函数值域与单调性，可画出大致图像，据此可得答案. 【详解】对于A，定义域为，， 则为奇函数，故A正确； 对于B，时，， 则，故B错误； 对于C，由B分析可得为上减函数，结合是奇函数， 则，故C错误； 对于D，当时，，又是奇函数， 则，令. 又为上减函数，则在上单调递减，在上单调递增， 当时，；时，. 据此可得的大致图象，方程有两个不同的实数解， 等价于的图象与直线有两个交点，则由图可得，故D正确. 54．已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义，分析函数零点的性质，将不同函数零点用一个函数零点表示，进而分析出集合中有多少种不同的元素，即可求解. 【详解】如果是函数的零点，即， 那么用代换可得，， 即也是函数的一个零点， 而因为零点共有五个，因此必有，即， 故剩下的四个零点必然互为倒数，即，， 而因为，因此联立，得，，，， 根据条件集合中的元素可能包括，，，，，，，，，， 根据集合的性质，集合中共有7个不同的元素. 55．函数恰有1个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用零点的定义，对进行分类讨论，利用零点的性质，判断函数在定义域内的零点情况. 【详解】当时，，定义域为. 令，得.满足题意. 当时，. 所以必有零点. 因为函数恰有1个零点，则不能再出现其他异于的零点. 当时，由得，即的定义域为. 则，. 由得，即 两边平方化简得，又，解得或，且. 所以有两零点，不满足题意. 当时，由得或，即的定义域为. 由得. 当时，，则即. 化简得. 当时，解得，则在没有零点； 当时，解得或. 当时，，则有异于的零点，不满足题意. 当时，，则，函数在区间没有零点. 当时，，由得. 两边平方化简得. 当时，解得，所以在区间没有零点； 当时，解得或. 当时，，即. 所以有异于的零点，不满足题意. 综上所述，可得a的取值范围为. 56．已知函数（其中为自然对数的底数），若关于x的方程恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过画出的图象，和二次方程有4个不相等的实根可建立关于参数满足的不等关系，从而可得参数的取值范围． 【详解】根据可得的图象如图所示， 且；要使恰好有4个不相等的实根， 则需满足； 故关于的二次方程需满足 ，可解得；故m的取值范围是 57．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 58．已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出分段函数图像，换元，统计在不同取值时解的个数；原方程要有个根，等价于关于的二次方程存在两个不等实根，两根都落在区间，利用二次函数根的分布列出不等式组求解参数范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令．当或时，方程有个根； 当或时，方程有个根； 当时，方程有个根． 原方程可化为， 要使原方程有个根，关于的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于， 令， 因为二次项系数为正，所以需满足，解得， 所以的取值范围为． 59．（多选）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 【答案】CD 【分析】令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令，得， 设，则方程等价为. ①若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有两个根其中，， 由，此时有两解， 由，此时有两解， 共有4个解，即函数有4个零点； ②若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有一个根，其中， 由，此时只有1个解， 即函数有1个零点. 60．已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先对分区间讨论去掉绝对值，得到的分段表达式并画出图像，要使原方程有6个解，必须存在两个不同的正数解，其解的个数之和为6，由图像可知只能是一个为2，另一个在内，据此建立参数关系并求范围． 【详解】由题意得函数的定义域为， 因为，所以对分四个范围进行讨论， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以函数，作出的简图： 由图象得. 因为题中原方程恰有6个不同实数解，即方程恰有6个不同实数解， 结合图象可知必有和，， 故关于的方程中，有，， 且当，时，关于的方程有4个不同实数解， 所以，，因为，所以. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $