专题04 函数的概念及其性质（十大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教B版高一必修第一册

专题04 函数的概念及其性质（十大题型） 考点01函数的概念、同一函数的判断 考点02抽象函数定义域、常见函数值域、解析式求法 考点03分段函数及其应用 考点04函数单调性的判断及单调区间的求解 考点05 根据函数的单调性求参数、求最值 考点06 函数的奇偶性的判断与证明 考点07 根据函数的奇偶性求参数、求解析式 考点08 函数的对称性与周期性与类周期函数 考点09 利用函数的性质比较大小与解不等式 考点10抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 考点01函数的概念、同一函数的判断 1．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，下列对应关系能构成从集合到的函数的是（    ） A．，，对应关系 B．，，对应关系 C．，，对应关系 D．，，对应关系 2．（2026·高一·北京丰台·阶段检测）下列图象中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 6．（2026·高一·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 考点02抽象函数定义域、常见函数值域、解析式求法 9．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 10．（2026·高一·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 11．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知，． (1)求的值； (2)若函数，求的定义域； (3)若函数，求的值域． 12．画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 13．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 14．（2026·高一·全国·周测）已知函数 (1)若其定义域是，求实数的取值范围； (2)若其值域是，求实数的取值范围. 15．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）求下列各题中的函数的解析式． (1)已知函数满足且，求； (2)已知是二次函数，且满足，求． 16．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 17．（2026·高一·辽宁大连·期中）（1）若函数满足，求； （2）若函数满足，求； （3）已知函数，求 18．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）（1）已知是二次函数，，且，求的解析式； （2）已知满足，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式． 考点03分段函数及其应用 19．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知函数 (1)求 的值； (2)若 ，求实数 的值. 20．（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知 (1)求； (2)若，求a的值； (3)若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 21．（2026·高一·浙江·期中）已知函数，其中.    (1)当时，画出函数在上的图象； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值. 22．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知函数 (1)分别求,,的值； (2)若，求a的值. 23．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 24．（2026·高三·宁夏固原·阶段检测）已知， (1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象； (2)指出函数的定义域与值域； (3)解不等式. 25．已知函数 ． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图像； (3)写出该函数的值域． 26．（2026·高一·广东·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 27．已知函数，若，求实数的取值范围． 考点04函数单调性的判断及单调区间的求解 28．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 29．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 30．（2026·高一·全国·专题练习）求函数的单调区间． 31．求函数的单调递增区间. 32．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 33．（2026·高一·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 34．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 35．（2026·高一·全国·专题练习）求函数的单调区间． 36．求函数的单调递增区间. 37．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 38．（2026·高一·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 39．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 40．（2026·高一·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 考点05 根据函数的单调性求参数、求最值 41．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数，在区间上函数值随着自变量的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（2026·高三·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（2026·高二·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 44．（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．（2026·高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 48．已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 49．设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 考点06 函数的奇偶性的判断与证明 50．（2026·高一·江西南昌·期中）已知． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)画出函数图象，并写出函数的单调区间． 51．求证：函数的图象关于y轴对称． 52．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 53．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 54．判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 55．（2026·高一·山西阳泉·期末）已知函数. (1)讨论函数的奇偶性； (2)判断函数在的单调性并用定义证明. 考点07 根据函数的奇偶性求参数、求解析式 56．（2026·山西晋中·模拟预测）若定义在上的奇函数满足时，，则__________． 57．（2026·高三·山东济宁·期末）已知函数，若函数为奇函数，则________. 58．（2026·高一·江西·阶段检测）已知是奇函数，则实数a的值为___________． 59．（2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 60．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）若函数为奇函数，则______. 61．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 62．（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求函数的解析式. 63．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 64．已知函数为偶函数，求实数的值. 65．（2026·高一·海南三亚·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若为偶函数，求的值； 考点08 函数的对称性与周期性与类周期函数 66．（2026·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则______． 67．（2026·高一·广东阳江·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则______． 68．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 69．（2026·高一·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 70．（2026·高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 71．（2026·高三·广东·阶段检测）已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 72．（2026·高一·云南曲靖·期中）设函数的最大值为，最小值为，则____． 73．（2026·高一·浙江·期中）函数的图像关于点中心对称，则_____. 考点09 利用函数的性质比较大小与解不等式 74．（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 75．（2026·高一·江苏镇江·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为__________． 76．（2026·高一·四川眉山·期中）若是定义在上的偶函数，在是减函数，且，则使得成立的的取值范围是___________. 77．（2026·高二·新疆哈密·期末）已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________ 78．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 79．（2026·高一·河北沧州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 80．（2026·高一·云南昆明·期末）已知是上的奇函数，且，在上单调递减，则不等式的解集为__________. 81．（2026·高一·广东汕头·期末）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为_____________ 考点10抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 82．已知定义在上的函数满足：①；②当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为减函数； (3)求不等式的解集． 83．（2026·高一·贵州·期中）已知定义在上的函数满足下列条件： ①对任意实数，恒有成立； ②当时，； ③且． (1)求的值； (2)求证：为上的增函数； (3)求关于的不等式的解集． 84．已知的定义域为且满足：①对均有；②对，；③． (1)求，的值； (2)证明在上单调递增； (3)求不等式的解集． 85．（2026·高一·山东烟台·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. (1)设，证明：函数为偶函数； (2)若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 86．（2026·高一·江苏南通·期中）已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. (1)若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; (2)求不等式的解集. 87．（2026·高一·北京·期中）已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的x，，都有． (1)求和； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若在区间上单调递减，直接写出关于x的不等式的解集． 88．（2026·高一·四川·期中）已知是定义在上的函数，且. (1)证明：是偶函数； (2)若，都有. （i）证明:在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念及其性质（十大题型） 考点01函数的概念、同一函数的判断 考点02抽象函数定义域、常见函数值域、解析式求法 考点03分段函数及其应用 考点04函数单调性的判断及单调区间的求解 考点05 根据函数的单调性求参数、求最值 考点06 函数的奇偶性的判断与证明 考点07 根据函数的奇偶性求参数、求解析式 考点08 函数的对称性与周期性与类周期函数 考点09 利用函数的性质比较大小与解不等式 考点10抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 考点01函数的概念、同一函数的判断 1．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，下列对应关系能构成从集合到的函数的是（    ） A．，，对应关系 B．，，对应关系 C．，，对应关系 D．，，对应关系 【答案】C 【解析】对A：因为，但是，即集合中存在元素，按对应法则：“求平方”，集合中无元素与之对应， 所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以A不合题意； 对B：集合中存在元素，按对应法则计算得对应的像为,而，集合中无元素与对应，所以不合题意； 对C：对，中存在对应元素且唯一存在，故能构成从集合到的函数，所以C满足题意； 对D：因为集合不是数集，是数集，所以从到不能构成函数关系，所以D不合题意. 2．（2026·高一·北京丰台·阶段检测）下列图象中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应， 选项ACD中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象， 选项B中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 3．（2026·高一·江苏·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，对应的不属于集合B，所以A错误； 对于B，当时，对应的不属于集合B，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的不属于集合B，所以D错误. 4．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 5．（2026·高一·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 6．（2026·高一·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 7．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于选项A：函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，所以函数不相等，故A错误； 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，所以函数不相等，故B错误； 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数的定义域不相同，所以函数不相等，故C错误； 对于选项D：函数，的定义域均为， 且两个函数的对应关系相同，所以两个函数相等，故D正确. 8．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ） A．， B．与 C．与 D．与 【答案】A 【解析】对于选项A：函数、的定义域均为，且， 可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故A正确． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故D错误． 考点02抽象函数定义域、常见函数值域、解析式求法 9．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【解析】（1）由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 10．（2026·高一·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【解析】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 11．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知，． (1)求的值； (2)若函数，求的定义域； (3)若函数，求的值域． 【解析】（1）因为，, 所以，，， 所以； （2）因为， 所以，所以，解得且， 所以的定义域为， 对于函数，令且，解得且， 所以函数的定义域为； （3）因为，， 所以，又， 所以，所以的值域为. 12．画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解析】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 13．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 14．（2026·高一·全国·周测）已知函数 (1)若其定义域是，求实数的取值范围； (2)若其值域是，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题知，，定义域是， 所以恒成立， 当时，恒成立， 当时，应满足，解得， 综上可得， 所以实数的取值范围为 （2）由题知，，值域是 所以， 令 当时， 不满足题意， 当时，，开口向下，不满足题意， 当时，应满足，解得， 综上可得， 所以实数的取值范围为 15．（2026·高一·河南郑州·阶段检测）求下列各题中的函数的解析式． (1)已知函数满足且，求； (2)已知是二次函数，且满足，求． 【解析】（1）将式子①中的用替换得②， 联立①②，解得； （2）二次函数满足，则设， 所以； 又，则； 所以，则，解得， 因此，． 16．（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【解析】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 17．（2026·高一·辽宁大连·期中）（1）若函数满足，求； （2）若函数满足，求； （3）已知函数，求 【解析】（1）令，则，则，所以； （2）由题设，用替换，得， 所以，则，可得； （3）当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，，则， 综上所述，. 18．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）（1）已知是二次函数，，且，求的解析式； （2）已知满足，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式． 【解析】（1）是二次函数，设， ， 化简得， 解得，又， ． （2）①，把替换为，得②， ①②得， ． （3）方法一： ， ， ，，． 方法二： 设，则， ，即． 考点03分段函数及其应用 19．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）已知函数 (1)求 的值； (2)若 ，求实数 的值. 【解析】（1）， ， 所以. （2）当时，，所以（舍去）； 当时，，所以， 即，解得或.所以. 当时，，解得. 综上所述，或. 20．（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知 (1)求； (2)若，求a的值； (3)若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 【解析】（1） ， ∴ （2）当时，， 当时，，该方程实数范围内无解 综上， （3）作出 的图象，如图， 由图象可知，当时，与有三个交点. 21．（2026·高一·浙江·期中）已知函数，其中.    (1)当时，画出函数在上的图象； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值. 【解析】（1）当时，， 函数在上的图象如图所示 （2）， 则在和上单调递增，在上单调递减， ①当，即时，在上单调递增， 所以，解得，不合题意，舍去， ②当，即时，在上递增，在上递减， 所以，解得， ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以当时，得，或当时，解得， 综上，或. 22．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）已知函数 (1)分别求,,的值； (2)若，求a的值. 【解析】（1）由题意可得，，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以. （2）当时，由，可得，则（舍）， 当时，由，可得，解得或（舍）， 当时，由，可得，则（舍）， 综上，. 23．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【解析】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 24．（2026·高三·宁夏固原·阶段检测）已知， (1)用分段函数表示的解析式，并作出其图象； (2)指出函数的定义域与值域； (3)解不等式. 【解析】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以，，作出函数的图象如下图所示： （2）由（1）中的图可知，函数的定义域为，值域为. （3）当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，， 当时，由可得，此时，. 综上所述，不等式的解集为. 25．已知函数 ． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图像； (3)写出该函数的值域． 【解析】（1）依题意，时， ，时，，故； （2）根据小问1，作图如下： （3）当时，； 当时，是递减的一次函数， 此时，即； 于是当值域为. 26．（2026·高一·广东·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【解析】（1）由，知. （2）由于， 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍） 综上可得或0 （3）根据分段函数解析式，分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数在区间内的图象如下所示： 27．已知函数，若，求实数的取值范围． 【解析】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 考点04函数单调性的判断及单调区间的求解 28．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 【解析】（1）因为，所以，所以， 所以． （2）证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． （3）因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 29．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【解析】（1）由，令，则， 则有，即. （2）证明：设，则， 因为，所以，，，    所以，即，即在上单调递减. 因为，，所以在上的值域. 30．（2026·高一·全国·专题练习）求函数的单调区间． 【解析】函数的定义域是， 在或或或上，函数，，都是减函数， 设，则，，， 所以，即， 所以函数在上是减函数，同理它在或或上都是减函数. 所以函数的减区间是，，，，无增区间. 31．求函数的单调递增区间. 【解析】当时，； 当时，，即 其图象如图所示，由图象得单调递增区间为和. 32．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【解析】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 33．（2026·高一·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【解析】（1）； （2） 由图象知函数的单调递增区间为. 34．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） 则函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 35．（2026·高一·全国·专题练习）求函数的单调区间． 【解析】函数的定义域是， 在或或或上，函数，，都是减函数， 设，则，，， 所以，即， 所以函数在上是减函数，同理它在或或上都是减函数. 所以函数的减区间是，，，，无增区间. 36．求函数的单调递增区间. 【解析】当时，； 当时，，即 其图象如图所示，由图象得单调递增区间为和. 37．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【解析】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 38．（2026·高一·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【解析】（1）； （2） 由图象知函数的单调递增区间为. 39．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） 则函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 40．（2026·高一·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 考点05 根据函数的单调性求参数、求最值 41．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数，在区间上函数值随着自变量的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的对称轴为， 又函数在区间上的函数值随着自变量的增大而减小，所以. 42．（2026·高三·四川·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意得，，解得， 故实数的取值范围是． 43．（2026·高二·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 44．（2026·高二·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 45．（2026·高一·浙江·开学考试）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 46．（2026·高一·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 47．（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【解析】（1）由时取得最小值0，可设，， ，，解得，. （2）由或， 或， 所以，原不等式的解集为. （3）. 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，， ∴当时，在区间上的最大值为， 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为. 48．已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【解析】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 49．设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. 考点06 函数的奇偶性的判断与证明 50．（2026·高一·江西南昌·期中）已知． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)画出函数图象，并写出函数的单调区间． 【解析】（1）是偶函数．证明如下： 由的定义域为， 对于，都有，且， 所以函数是偶函数，得证． （2）函数图象如下图所示： 结合函数图象得， 的单调递增区间为和；单调递减区间为和． 51．求证：函数的图象关于y轴对称． 【解析】证明：的定义域为，关于原点对称． 又，∴函数为偶函数． 故函数的图象关于y轴对称. 52．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 53．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 【解析】（1）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数； （2）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数． 54．判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 55．（2026·高一·山西阳泉·期末）已知函数. (1)讨论函数的奇偶性； (2)判断函数在的单调性并用定义证明. 【解析】（1）∵，∴的定义域为 ∵，都有 且 ∴为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 在上任取，，且， ∵，∴，，∴， ∴，即， 故在上是增函数. 考点07 根据函数的奇偶性求参数、求解析式 56．（2026·山西晋中·模拟预测）若定义在上的奇函数满足时，，则__________． 【答案】 【解析】因为定义在上的奇函数满足时，，所以，解得：， 则 57．（2026·高三·山东济宁·期末）已知函数，若函数为奇函数，则________. 【答案】 【解析】， ， 设， 为奇函数，为奇函数， ， ， ， ， ， 对于任意的恒成立， ，， . 故答案为：. 58．（2026·高一·江西·阶段检测）已知是奇函数，则实数a的值为___________． 【答案】0 【解析】由是奇函数，得， 则，则. 故答案为：0. 59．（2026·山东临沂·二模）已知函数，若函数为奇函数，则________． 【答案】 【解析】， 由奇函数性质得二次项系数为0，即，解得， 验证：，为奇函数，故． 60．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）若函数为奇函数，则______. 【答案】1. 【解析】∵函数为奇函数， ∴函数为偶函数， ∴. 故答案为：1 61．已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 62．（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求函数的解析式. 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 由，可得，，则，即， 故在上单调递增. （2）设，则，， 又函数是定义在上的奇函数，则，且， . 63．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【解析】当时，，则， 因为是奇函数，所以 又当时，，所以. 64．已知函数为偶函数，求实数的值. 【解析】因函数为偶函数，且定义域为，则对于任意的，， 取，得， 从而. 当时，满足题设，故. 65．（2026·高一·海南三亚·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若为偶函数，求的值； 【解析】（1）当时，函数, 由二次函数的性质可知当时，，此时在单调递增， 当时，，此时在单调递增，在单调递减， 故的单调递增区间为，减区间为. （2）因为为偶函数，所以, 所以， 所以，所以， 化简得，因为，所以，所以. 考点08 函数的对称性与周期性与类周期函数 66．（2026·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则______． 【答案】 【解析】令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， 所以， 故答案为：. 67．（2026·高一·广东阳江·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则______． 【答案】 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 68．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【答案】/0.25 【解析】因为的图象关于对称，所以， 将替换为，可得， 因为是偶函数，所以， 将替换为，可得， 联立可得， 将替换成，可得，即是周期为的周期函数， 因此， 因为，所以， 当时，，所以， 即. 69．（2026·高一·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【解析】由于，可得关于点对称， 故. 70．（2026·高二·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【解析】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 71．（2026·高三·广东·阶段检测）已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 【答案】2 【解析】因为函数是偶函数， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，即， 取可得， 所以， ， 所以， 所以函数为周期函数，是该函数的一个周期， 所以. 故答案为：2. 72．（2026·高一·云南曲靖·期中）设函数的最大值为，最小值为，则____． 【答案】 【解析】， 设， 因为，所以为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 则， 所以. 故答案为：. 73．（2026·高一·浙江·期中）函数的图像关于点中心对称，则_____. 【答案】/ 【解析】函数的图像关于点中心对称， 所以，解得， 所以. 故答案为： 考点09 利用函数的性质比较大小与解不等式 74．（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下： 由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 75．（2026·高一·江苏镇江·期中）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，且函数为偶函数，则， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为，则， 因为函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 当时，由可得； 当时，由可得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 76．（2026·高一·四川眉山·期中）若是定义在上的偶函数，在是减函数，且，则使得成立的的取值范围是___________. 【答案】 【解析】是上的偶函数，在是减函数在是增函数 画出是定义在上大致图像： 使得成立的的取值范围是 故答案为： 77．（2026·高二·新疆哈密·期末）已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________ 【答案】 【解析】因为是偶函数，且，所以， 又在上是减函数，所以在上是增函数， ①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得； ②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以. 综上，原不等式的解集为：. 故答案为：. 78．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【答案】 【解析】因为定义在R上的函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R， 又函数为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，或时， 所以由得或，解得或， 则不等式的解集是. 79．（2026·高一·河北沧州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】已知是定义在上的奇函数，则，解得， 时，，开口向上，对称轴为， 在上单调递增， 由奇函数的性质可知，关于原点对称的区间上单调性相同， 在上单调递增， ， ，解得， 不等式的解集为． 故答案为：． 80．（2026·高一·云南昆明·期末）已知是上的奇函数，且，在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】因为是上的奇函数，且，则， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 则当或时，当或时； 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 81．（2026·高一·广东汕头·期末）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为_____________ 【答案】 【解析】因对任意的，且，都有， 不妨设，则， 设，则， 所以在上单调递减， 又为奇函数及，所以， 则为偶函数，且，故在上单调递增， 则时，，时，， 由，则， 即，则不等式的解集为. 故答案为：. 考点10抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 82．已知定义在上的函数满足：①；②当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为减函数； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）令，代入得，故. （2）证明：任取，且，则，由于当时，， 所以，即，因此，所以函数在区间上是减函数． （3）因为函数在上单调递减，所以不等式等价于 ，解得，故原不等式的解集为. 83．（2026·高一·贵州·期中）已知定义在上的函数满足下列条件： ①对任意实数，恒有成立； ②当时，； ③且． (1)求的值； (2)求证：为上的增函数； (3)求关于的不等式的解集． 【解析】（1）因为， 所以当，时，，解得或， 又因为，所以. （2）任取，，对任意，所以 即 因为，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 即，因为，所以为上的增函数. （3）由题意可得，令，， 又因为，所以， 令，，得， 所以， 又因为， 所以， 所以，所以或， 又因为函数为上的增函数且， 所以，即，解得， 当时，即，即，无解，舍去， 故关于的不等式的解集为. 84．已知的定义域为且满足：①对均有；②对，；③． (1)求，的值； (2)证明在上单调递增； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）因为对，， 令，则，可得； 令，则，可得. （2）令，且， 则，可得， 因为， 则， 所以在上单调递增. （3）因为，则， 由（2）可知：在上单调递增， 可得，解得， 所以不等式的解集为． 85．（2026·高一·山东烟台·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意x，y都有. (1)设，证明：函数为偶函数； (2)若满足：当时，. （i）求不等式的解集； （ii）若，使得对，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1）证明：由， 得， 令，得，所以. 令，得，所以 令，得，又的定义域关于原点对称， 所以是上的偶函数. （2）由（1）知. 且， ， 因为，当时，，所以， 又，所以，. 所以在上单调递减. （i）因为， 所以，即 因为为偶函数，在上单调递减，且，所以， 又，解得或. 所以，不等式的解集为. （ii）由，得， 即，对恒成立，所以. 因为在上单调递减，，所以. 所以，使得成立，即成立. 令，，则或. 即，解得或；由，解得或. 所以或， 即的取值范围是. 86．（2026·高一·江苏南通·期中）已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. (1)若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; (2)求不等式的解集. 【解析】（1）①∵是定义在上的奇函数，∴. ∴， ∴函数是偶函数. ②设且，则， 由，得， ∴，即， 所以函数在上是减函数； 又∵函数是偶函数，∴在上是增函数； 所以的单调减区间是；单调增区间是. （2）∵，是偶函数 ∴， 由，故可转化为或， 当时，由得，即， 因为在上是减函数，∴； 当时，由得，即， 因为在上是增函数，∴. 即不等式的解集为. 87．（2026·高一·北京·期中）已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的x，，都有． (1)求和； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若在区间上单调递减，直接写出关于x的不等式的解集． 【解析】（1）令，得，∴或 若，取，则得， 与时，矛盾，故舍去． ∴，，又时，，∴ （2）取，，得 则，∴，函数为奇函数． （3）取，得， 因为，可得，即 所以， 由函数在区间上单调递减，且， 设且，可得，则， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增， 所以不等式转化为，解得， 所以不等式的解集为． 88．（2026·高一·四川·期中）已知是定义在上的函数，且. (1)证明：是偶函数； (2)若，都有. （i）证明:在上单调递增； （ii）求不等式的解集. 【解析】（1） 令，得，故 令，得，故. 因为是定义在上的函数， 令，故， 所以是偶函数. （2）（i）令，得，故 令，得，故. 因为是定义在上的函数， 令，故， 所以是偶函数. （ii）因为在上单调递增，且为偶函数， 故在上单调递减， 由于，则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $