专题03 均值不等式及其应用（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教B版高一必修第一册

专题03均值不等式及其应用（六大题型） 考点01 基本不等式的概念理解 考点02 基本不等式求最值 考点03 利用基本不等式证明不等式 考点04 利用基本不等式比较大小 考点05 实际应用问题 考点06 恒成立问题 考点01 基本不等式的概念理解 1．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】A 【解析】对于A，当时，，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，，当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，当且仅当时等号成立，故D错误. 2．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 3．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 4．（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5．（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 6．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知， 显然，故D正确. 故选：D 7．不等式成立时，实数a，b一定是（    ） A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 【答案】C 【解析】原不等式可变形为，对任意实数都成立. 所以为任意实数. 故选：C. 8．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【解析】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 考点02 基本不等式求最值 9．（2026·高一·四川成都·阶段检测）回答下列问题： (1)若，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值． 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，，则，， 又因为，则，即， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 10．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若时，且，求的最小值． 【解析】（1）的解集为， 故，的解为，， 故，解得，故； （2）若，则，使得不等式成立， 即，即成立， 设，则，， 设，在上单调递增，故的最小值在处取得， 则，则的取值范围为 （3）若时，则，即，因，则， ， 当时，， 当且仅当时取等，即，化简为，解得，可以满足； 当时，， 当且仅当时取等，即，化简为，解得，可以满足. 故最小值为3. 11．（2026·高一·河北保定·阶段检测）解决下列问题 (1).已知，求的最小值； (2).已知正数，满足，求的最小值． 【解析】（1）， 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为5； （2）易知， 当且仅当，即时取等号； 即的最小值为. 12．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知，． (1)若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． (2)若，证明：． 【解析】（1）（ⅰ）由，可得，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． （ⅱ）由，可得， 则． 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最小值为． （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即，即，时取等号. 所以． 13．（2026·高一·广东广州·阶段检测）（1）设，比较与的大小． （2）解不等式：． （3）已知，且，求的最小值． 【解析】（1）由，得， 则，， 因为， 所以． （2）化为，即， 则，且， 即（且）． 所以原不等式的解集为． （3），． ，． 则 ． 当且仅当，且，即且时，等号成立， 因此的最小值为4． 14．（2026·高一·河北保定·期中）（1）已知，且，求的最大值； （2）已知求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值. 【解析】（1）因为，， 所以，即， 所以，即， 当且仅当，即，时，等号成立. 故的最大值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故函数的最大值为. （3）因为，所以， 所以， 当且仅当，时，等号成立. 故函数的最小值为. 15．（2026·高一·云南·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以当时，的最小值是. （2）由，可得，解得， 所以， 当且仅当，即时，取得等号，所以的最大值是． （3）因为，令，则，且， 所以，      当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为． 16．（2026·高一·宁夏石嘴山·阶段检测）(1)已知，求的最小值； (2)已知，，且，求的最大值； (3)若正数，满足，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当 ，即，即时取等号， 故的最小值为． （2）因为，，则， 又，则，即，即， 当且仅当，即， 时取等号， 故的最大值为． （3）由正数，满足，则， 所以， 当且仅当，即， 时取等号， 故的最小值为． 考点03 利用基本不等式证明不等式 17．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解析】（1）因为，，则，， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以； （2）因为，，，则， 可得， 又因为，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 18．（2026·高一·吉林·阶段检测）回答下列问题： (1)若，求的最小值； (2)已知，都是正数，且，求证： 【解析】（1）因为，所以. 将原式变形凑配：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号. 因此， 若，求的最小值是. （2）因为都是正数，且，由基本不等式得：， 两边均为正数， 取倒数得：， 两边同乘正数，不等号方向不变： ，即，原不等式得证. 19．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等．利用此结论解决下列问题： (1)若，，，求的最小值； (2)已知，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明． 【解析】（1）因为，，，有，， 所以，当且仅当时取等， 故的最小值为. （2）因为，所以 当且仅当，即，取等 所以时，的最大值是，取最大值时. （3）对任意，. 证明： 当且仅当时取等，但是任意时，所以等号不成立， 故任意时，. 20．（2026·高一·云南·阶段检测）已知，均为任意正数． (1)求的最大值． (2)证明：． (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为为正数，则， 因(当且仅当时取等号)， 则，故可得， 即的最大值为1； （2）证明：由(1)知，当且仅当时取等. 因 ，当且仅当 时取等， 则，当且仅当时取等. 故成立； （3）不等式恒成立等价于，对一切恒成立， 注意到， ，又恒成立， 则得，当且仅当且， 即，时取等， 故得， 由题意，，解得， 故m的取值范围为. 21．（2026·高一·河北保定·阶段检测）（1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 【解析】（1）（ⅰ）因为，所以， 令，，则，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1 （ⅱ）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． （2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 22．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 【解析】（1） ，当且仅当“”时取“=”； （2）因为，，所以，当且仅当时取等号，解得； 于是得，所以成立． 23．若，求证：． 【解析】由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 24．，求证：.（已知） 【解析】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 考点04 利用基本不等式比较大小 25．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 26．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 【答案】≤ 【解析】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 27．若，，则、、、中最大的一个是________． 【答案】 【解析】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 28．比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 29．已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 【答案】④ 【解析】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 30．已知，其中，，其中，则之间的大小关系是______. 【答案】 【解析】因为,所以， 又因为， 所以，当且仅当时取等号， 由，得， 所以， 综上可知. 故答案为： 31．已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号) ①；②；③；④. 【答案】④ 【解析】因为，所以，，，， 所以，，当时， 由基本不等式可知，所以， 由上可知，，，所以四个式子中最大． 故答案为：④. 32．某市一外贸公司，第一年产值增长率为，第二年产值增长率为，这两年的平均增长率为，那么与的大小关系是________. 【答案】 【解析】由题意可得：， 所以，即. 故答案为. 考点05 实际应用问题 33．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）如图1，长方形的周长为16． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题： （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由长方形的周长为16，得，又，则， 设，在中，由点在线段上，得，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. （2）（i）折叠后可得，，， 所以，所以， 所以的周长为. （ii）设，由及，得，， 设，则， 在中，由勾股定理得，解得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积存在最大值，此时，最大值为. 34．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. (1)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? (2)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 【解析】（1）设顾客得到克黄金，由题意知，. 将代入得到，解得克. （2）顾客购得的黄金大于，理由如下： 由题可知，天平两臂不等长，则，，， 设先称得黄金为，后称得黄金为，则，. ∴，∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 35．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）某企业生产一种水性涂料，月产量不超过1400千克.设月产量为x百千克（），月总成本为（单位：百元）.假设当月产品全部售出，且不计其他费用. (1)求每千克涂料平均成本的最小值，并求达到最小时的月产量； (2)设售价为p元/千克（），求月利润的最大值（用p表示，单位为百元），并给出相应的月产量. 【解析】（1）由题意得，月产量为百千克，， 总成本， 每千克涂料平均成本， 由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，，符合条件， 此时， ，即月产量为千克. （2）设月利润为（单位：百元） 是开口向下的二次函数，对称轴为， 由，得， ①当时，即， 对称轴在定义域内，在处取得最大值， ， 对应月产量 ②当，即时， 对称轴在定义域右侧，在上单调递增， 在处取得最大值： ， 对应月产量百千克， 综上： 当时，月利润最大值为百元，相应月产量为百千克， 当时，月利润最大值为百元，相应月产量为百千克. 36．（2026·高一·重庆渝中·阶段检测）现用一条长度为8的绳子围成多边形． (1)若围成一个矩形，求矩形面积的最大值； (2)若围成一个直角三角形，求直角边之和的最大值； (3)若围成一个四边形，且该四边形的对角线相互垂直，求四边形的面积最大值． 【解析】（1）设矩形的两邻边长为，，则，即， 故矩形面积，当且仅当时等号成立， 即当时，矩形面积取得最大值4； （2）设两直角边长分别是，，因其周长为8，可得， 则，因为，当且仅当时，等号成立， 即，也即 代入可得，即， 从而，当且仅当时等号成立， 即直角边之和的最大值为； （3）如图，分别设，，，， 依题意有， 由（2）推理得，， ，， 将以上不等式左右分别相加， 可得， 即， 故， 当且仅当时等号成立，即四边形面积的最大值为4． 37．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）某工厂拟建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元， (1)当池底的一边长为50米时，总造价为多少？ (2)怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【解析】（1）由题意，可得池底的面积为， 所以池底的造价为元； 当池底的一边长为米时，另一边长为. 所以池壁共有， 池壁的造价为元. 所以总造价为元. （2）设池底的一边长为，水池的总造价为元. 因为池底的面积为， 所以池底的另一边为， 所以. 因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以当水池池底为边长为的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为元. 38．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． (1)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ (2)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 【解析】（1）设矩形图案的长为，宽为，则，画报的宽为，长为． 画报的周长（单位：cm）， 当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的长、宽均为时，可使整个画报的周长最小，且最小值是． （2）画报的面积（单位：） ，当且仅当时，等号成立． 故当矩形图案的宽为，长为时，可使整个画报的面积最小，且最小值是． 39．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）（1）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为2cm的空白，顶部和底部都留有宽为4cm的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？ （2）串联电路中，电源的电动势为，内阻为，为固定电阻，是一个滑动变阻器，已知消耗的电功率为，当调至何值时，电功率P最大？最大值为多少？ 【解析】（1）设排版矩形的宽为cm，则排版矩形的长为cm，纸张的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号，面积取最小值为，此时，纸张宽为cm，纸张长为cm， 因此，当纸张长为cm，宽为cm时，纸的用量最少； （2）令，则， 当且仅当，即时取等号，此时电功率P最大，为. 40．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为. 考点06 恒成立问题 41．（2026·高一·山东济南·开学考试）已知方程有两个不相等的实数根，，若对任意的，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程有两个不相等的实数根，， ，即. 所以， 因为对任意的，都有成立， 所以只需即可. 因为， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为4， 所以，解得， 综上可得的取值范围为. 42．（2026·高一·山东烟台·阶段检测）若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ） A．5 B．4 C．7 D．9 【答案】B 【解析】因为，所以，，， 不等式， 即， 即 又 当且仅当时，取等号， 则，即， 则整数k的最大值为 43．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 44．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 45．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【解析】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 46．（2026·高二·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 47．（2026·高二·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 48．（2026·高一·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03均值不等式及其应用（六大题型） 考点01 基本不等式的概念理解 考点02 基本不等式求最值 考点03 利用基本不等式证明不等式 考点04 利用基本不等式比较大小 考点05 实际应用问题 考点06 恒成立问题 考点01 基本不等式的概念理解 1．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 2．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 3．下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 4．（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 6．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 7．不等式成立时，实数a，b一定是（    ） A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 8．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 考点02 基本不等式求最值 9．（2026·高一·四川成都·阶段检测）回答下列问题： (1)若，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值． 10．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若时，且，求的最小值． 11．（2026·高一·河北保定·阶段检测）解决下列问题 (1).已知，求的最小值； (2).已知正数，满足，求的最小值． 12．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知，． (1)若． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最小值． (2)若，证明：． 13．（2026·高一·广东广州·阶段检测）（1）设，比较与的大小． （2）解不等式：． （3）已知，且，求的最小值． 14．（2026·高一·河北保定·期中）（1）已知，且，求的最大值； （2）已知求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值. 15．（2026·高一·云南·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 16．（2026·高一·宁夏石嘴山·阶段检测）(1)已知，求的最小值； (2)已知，，且，求的最大值； (3)若正数，满足，求的最小值． 考点03 利用基本不等式证明不等式 17．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，求证：． 18．（2026·高一·吉林·阶段检测）回答下列问题： (1)若，求的最小值； (2)已知，都是正数，且，求证： 19．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等．利用此结论解决下列问题： (1)若，，，求的最小值； (2)已知，求的最大值，并求取得最大值时的的值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明． 20．（2026·高一·云南·阶段检测）已知，均为任意正数． (1)求的最大值． (2)证明：． (3)若不等式恒成立，求的取值范围． 21．（2026·高一·河北保定·阶段检测）（1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 22．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 23．若，求证：． 24．，求证：.（已知） 考点04 利用基本不等式比较大小 25．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 26．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 27．若，，则、、、中最大的一个是________． 28．比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 29．已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是______. ①；②；③；④. 30．已知，其中，，其中，则之间的大小关系是______. 31．已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号) ①；②；③；④. 32．某市一外贸公司，第一年产值增长率为，第二年产值增长率为，这两年的平均增长率为，那么与的大小关系是________. 考点05 实际应用问题 33．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）如图1，长方形的周长为16． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，如图2所示，交于点，请解决下面两个问题： （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由． 34．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，左右两侧力臂长度分别为厘米和厘米，且，一位顾客到店购买克黄金. (1)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，当时，顾客得到多少克黄金? (2)如果售货员先将克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.判断顾客购得的黄金是小于克，等于克，还是大于克?请说明原因. 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长 35．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）某企业生产一种水性涂料，月产量不超过1400千克.设月产量为x百千克（），月总成本为（单位：百元）.假设当月产品全部售出，且不计其他费用. (1)求每千克涂料平均成本的最小值，并求达到最小时的月产量； (2)设售价为p元/千克（），求月利润的最大值（用p表示，单位为百元），并给出相应的月产量. 36．（2026·高一·重庆渝中·阶段检测）现用一条长度为8的绳子围成多边形． (1)若围成一个矩形，求矩形面积的最大值； (2)若围成一个直角三角形，求直角边之和的最大值； (3)若围成一个四边形，且该四边形的对角线相互垂直，求四边形的面积最大值． 37．（2026·高一·上海浦东新·阶段检测）某工厂拟建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元， (1)当池底的一边长为50米时，总造价为多少？ (2)怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 38．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）如图，甲同学准备设计一张矩形画报，并在画报内设计一个矩形图案，且该图案的面积为．要求图案在画报内左右各留白，上下各留白． (1)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的周长最小？周长最小值是多少？ (2)试问如何设计矩形图案长与宽的尺寸，能使整个画报的面积最小？面积最小值是多少？ 39．（2026·高一·江苏泰州·阶段检测）（1）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为2cm的空白，顶部和底部都留有宽为4cm的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？ （2）串联电路中，电源的电动势为，内阻为，为固定电阻，是一个滑动变阻器，已知消耗的电功率为，当调至何值时，电功率P最大？最大值为多少？ 40．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 考点06 恒成立问题 41．（2026·高一·山东济南·开学考试）已知方程有两个不相等的实数根，，若对任意的，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（2026·高一·山东烟台·阶段检测）若不等式对满足条件的恒成立，则整数k的最大值为（    ） A．5 B．4 C．7 D．9 43．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 44．（2026·高一·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 45．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 46．（2026·高二·安徽合肥·期末）“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 47．（2026·高二·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 48．（2026·高一·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $