专题02 一元二次不等式、一元二次方程（组）与二次函数（四大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教B版高一必修第一册

专题02 一元二次不等式、一元二次方程（组）与二次函数（四大题型） 考点01由一元二次不等式的解确定参数 考点02含参一元二次不等式的解法 考点03二次函数的单调性、最值及恒成立问题 考点04 一元二次不等式根的分布问题 考点01由一元二次不等式的解确定参数 1．（2026·高一·甘肃金昌·阶段检测）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2026·高一·北京丰台·阶段检测）已知，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 7．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 8．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 考点02含参一元二次不等式的解法 9．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围； (3)若，讨论此不等式的解集． 10．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知二次函数，其中. (1)当时，求不等式的解集； (2)若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 11．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，求该不等式的解集； (2)讨论实数的不同取值，求该不等式的解集. 12．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）解关于的不等式. 13．（2026·高一·全国·期中）当时，求关于的不等式的解集. 14．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）求关于x的不等式的解集． 15．（2026·高一·山东日照·阶段检测）已知二次函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式． 16．（2026·高一·重庆永川·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数的取值范围． 考点03二次函数的单调性、最值及恒成立问题 17．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）不等式 (1)若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围 (2)若对于实数不等式恒成立，求实数的取值范围 (3)解关于的不等式 18．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2026·高一·全国·期中）若不等式 对一切 恒成立，求 的范围. 20．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）（1）若存在，使得不等式成立，求的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； 21．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 22．（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 23．（2026·高一·云南文山·阶段检测）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 24．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）设函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 考点04 一元二次不等式根的分布问题 25．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 26．（2026·高一·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 27．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 28．已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 29．已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 30．（2026·高一·上海·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 31．（2026·高一·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 32．（2026·高一·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次不等式、一元二次方程（组）与二次函数（四大题型） 考点01由一元二次不等式的解确定参数 考点02含参一元二次不等式的解法 考点03二次函数的单调性、最值及恒成立问题 考点04 一元二次不等式根的分布问题 考点01由一元二次不等式的解确定参数 1．（2026·高一·甘肃金昌·阶段检测）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】因为不等式的解集为或， 则且方程的两根分别为和， 由韦达定理可得，解得， 故不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为. 2．（2026·高一·北京丰台·阶段检测）已知，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ． 3．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，且1和2是方程的两个根， 根据韦达定理得，解得， 不等式，即，化简得，解得或， 则不等式的解集为：. 4．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】已知一元二次不等式解集为， 不等式大于等于0，解集在两根之间，所以； 方程两根为， 由，得 不等式可化为. 因为，所以，即. 解得或. 故不等式解集为或. 5．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有4个正整数解，故正整数解为1，2，3，4，所以， 所以实数的取值范围是. 6．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为不等式的解集为， 所以且，所以， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 7．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，且是方程的两个实根. 由韦达定理得：， 整理得，，其中. 将代入不等式， 可得：， 因为，可得：，即：， 则，解得或， 即所求不等式的解集为或. 8．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】关于的不等式的解集为， 由题意知，是方程的一个根，且， 所以，解得， 所以， 所以，解得，所以解集为； 考点02含参一元二次不等式的解法 9．（2026·高一·上海徐汇·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若且不等式的解集为，求取值范围； (3)若，讨论此不等式的解集． 【解析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根且， 所以，，解得，所以. （2）若，则不等式为， 当，不等式即为，则，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是. （3）若，则不等式为，即. 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，由得. 方程的根为或 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 10．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知二次函数，其中. (1)当时，求不等式的解集； (2)若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）当时，， 不等式，即， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得，对任意恒成立， 变形得在时恒成立， 设，， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，， 要使恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. （3），即， 整理： ， ， ， 方程的两根为，，对应的二次函数开口向上， ①当时，不等式解集为或， ②当时，不等式为，解集为， ③当时，不等式解集为或， 综上： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 11．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，求该不等式的解集； (2)讨论实数的不同取值，求该不等式的解集. 【解析】（1）当时，不等式可化为. 令，即，解得，. 因为二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解为. 故当时，该不等式的解集为. （2）当时，不等式可化为，解得. 当时，不等式可化为， 令，解得，. 当时，，此时二次函数的图象开口向下， 所以不等式的解为或. 当时，二次函数的图象开口向上， 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为. 综上，该不等式的解集为： 当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 12．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）解关于的不等式. 【解析】当时，不等式为，则解集为； 当时，由得. 当时，，原不等式解集为 当时，，原不等式解集为 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 13．（2026·高一·全国·期中）当时，求关于的不等式的解集. 【解析】当时，原不等式可化为，即， 此时，原不等式的解集为； 当时，不等式， 因式分解可得：，， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 14．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）求关于x的不等式的解集． 【解析】当时，，不等式可化为，解得或； 当时，不等式即，解得； 当时，不等式即，无解； 当时，，不等式即，解得； 当时，，不等式即，解得； 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 15．（2026·高一·山东日照·阶段检测）已知二次函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式． 【解析】（1）当时，不等式为， 因式分解得， 解得， 不等式解集为. （2）对一切实数恒成立， 二次函数开口向上，则， ， ，，即， 的取值范围是. （3）原不等式 ， 移项整理： ， ， ，， 不等式两边同除以，不等号方向不变： ， 因式分， 两根为， ①当时，， 解集为， ②当时，不等式变为， 解集为， ③当时，， 解集为. 综上，①当时，解集为， ②当时，解集为， ③当时，解集为. 16．（2026·高一·重庆永川·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为． （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为； 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为空集； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （3）因为恒成立，所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，开口向上，对称轴为 因为，所以当时，二次函数有最小值 因此的最大值为，即， 所以实数的取值范围为. 考点03二次函数的单调性、最值及恒成立问题 17．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）不等式 (1)若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围 (2)若对于实数不等式恒成立，求实数的取值范围 (3)解关于的不等式 【解析】（1）不等式可化为， 因为，，所以只需能成立即可． 即在上有解， 因为，所以， 所以实数的取值范围为； （2）不等式可化为， 令， 若对于实数不等式恒成立， 则，解得或． 所以或 （3）不等式可化为， 若，则，不等式的解集为， 若，， 若，则，或，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为， 若，则，不等式的解集为． 若，则，，不等式F的解集为． 综上所述： 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 18．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知关于的不等式. (1)当时，解不等式； (2)若对于任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，不等式为，即， 解得或，所以不等式的解集为. （2）设，因为不等式，对于任意实数都成立， 所以， 解得， 故实数的取值范围是. 19．（2026·高一·全国·期中）若不等式 对一切 恒成立，求 的范围. 【解析】因为二次项系数为，所以只需 ，解得 . 所以 的范围为. 20．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）（1）若存在，使得不等式成立，求的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围； 【解析】（1）由题意得成立，化简得成立， 而，则，得到成立，即成立， 令，由二次函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递减，而，故. （2）因为不等式对恒成立， 所以，令， 可得，解得. 21．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知函数． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式恰有3个正整数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，，恒成立，则恒成立 又当时，，当且仅当时，取等号 所以，即实数的取值范围为 （2）由，得， 即， 因为，所以， 则，使得， 等价于 当时， 当时，令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立．   综上，当时，， 所以，即实数的取值范围为 （3）由题意，， 即， 即 ①当，即时，原不等式的解集为，显然不满足题意，舍去； ②当，即时，原不等式的解集为， 此时，不等式的解集中不可能有3个正整数，舍去； ③当，即时，原不等式的解集为， 因为解集中恰有3个正整数，所以，解得， 当时，，此时解集中的3个正整数分别为3，4，5，所以，即， 所以； 当时，，此时解集中的3个整数分别为4，5，6，所以， 所以． 综上，实数的取值范围是或. 22．（2026·高二·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 23．（2026·高一·云南文山·阶段检测）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 24．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）设函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2）（法一）：因为，等价于在时恒成立 函数在上单调递增，值域是 所以，的取值范围是. （法二）：等价于在时恒成立 设，则的对称轴为，且在时恒成立 当，即时，在单调递增， 只需即可，解得， ， 当，即时，， 得，与矛盾 综上所述，的取值范围是. 考点04 一元二次不等式根的分布问题 25．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【解析】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 26．（2026·高一·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【解析】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 27．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【解析】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 28．已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 【解析】（1）对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. （2） . 因为，所以当时，原式取得最大值为. 29．已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 【解析】（1）当时，由可得， 方程的两根分别为、， 当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，即当时，解原不等式可得； 当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为关于的方程有两个不等实根、，则，且， 由，可得，， 所以，即，等价于，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 30．（2026·高一·上海·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 【解析】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以． 31．（2026·高一·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【解析】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 32．（2026·高一·江苏苏州·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $