专题03 轴对称（期中专项训练·冲刺版）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称 题型1 轴对称图形识别 题型8 等腰三角形的性质与判定（重点） 题型2 轴对称性质应用（常考点） 题型9 等边三角形的性质（重点） 题型3 线段垂直平分线（常考点） 题型10 等边三角形的判定（重点） 题型4 关于坐标轴对称的点的坐标（常考点） 题型11 等边三角形的性质与判定（重点） 题型5 作轴对称图形/尺规作图（常考点） 题型12 含30°角的直角三角形性质（重点） 题型6 等腰三角形的性质（重点） 题型13 “将军饮马”最短路径问题（难点） 题型7 等腰三角形的判定（重点） 题型14 轴对称综合探究题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形识别（共3小题） 1．（2026春•锡山区期中）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A．DeepSeek B．ChatGPT C．文心一言 D．纳米AI 2．（2026春•呈贡区校级期中）省级行政单位的简称简洁且具有辨识度，是地域文化的代表，承载着地区悠久的历史，更能增强归属感．下面是四个省级行政单位的汉字简称，其中属于轴对称图形的是（　　） A．云 B．川 C．晋 D．桂 3．（2026春•扬中市期中）如图是4×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上．请在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 轴对称性质应用（共4小题） 4．（2026春•武进区校级期中）如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，落脚点为I；第2次碰到长方形的边时落脚点为E1；如此运动下去，则第2026次落脚点为（　　） A．D B．E1 C．I D．V 5．（2026春•江阴市期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AB∥A′B′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 6．（2026春•兰州期中）如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连接PM，PN，则下列结论： ①若∠BAC＝30°，则△P1P2A是等边三角形； ②△PMN的周长等于线段P1P2的长； ③PA平分∠MPN； ④． 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．（2026春•朝阳区校级期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积是 _______ ． 题型三 线段垂直平分线（共6小题） 8．（2026春•即墨区期中）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 9．（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 10．（2026春•盐湖区期中）如图，∠BAC＝110°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　） A．100° B．90° C．40° D．70° 11．（2026春•宝安区校级期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝9，则CF的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 12．（2026春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．证明：AD垂直平分EF． 13．（2026春•武侯区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D，射线BD交AC的延长线于点N，连接CD． （1）若AB＝14，BC＝8，CN＝12，△BCN的面积为20，求△ABD的面积； （2）若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数． 题型四 关于坐标轴对称的点的坐标（共5小题） 14．（2026春•裕华区校级期中）若在平面直角坐标系中，点A（1﹣2m，9+m）与点B（﹣5，7）关于y轴对称，则m的值是（　　） A．﹣16 B．16 C．2 D．﹣2 15．（2026春•宝山区校级期中）已知点P（3，m）和Q（n，4）关于x轴对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 16．（2026春•任丘市期中）已知点P（﹣7，﹣4），Q（﹣7，6），则下列说法正确的是（　　） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 17．（2026春•长宁区校级期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2025的值为_______ ． 18．（2026春•长宁区校级期中）在直角坐标平面内，已知点M（a，3），如果该点关于直线x＝3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型五 作轴对称图形/尺规作图（共4小题） 19．（2026春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AB＝3cm，BC＝6cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 20．（2026春•章丘区期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，S△ABC＝7.2．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AD于点F．则△BDF的面积为（　　） A．2.25 B．2 C．1.8 D．1.35 21．（2026春•凉州区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，3） （1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标； （2）连接AA1、CC1，求出四边形AA1C1C的面积． 22．（2026春•二道区校级期中）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形，且点C、D均在格点上． （1）在图①中，四边形ABCD面积为4； （2）在图②中，四边形ABCD面积为6． （3）在图③中，四边形ABCD面积为5． 题型六 等腰三角形的性质（共4小题） 23．（2026春•温江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A．18° B．27° C．25° D．36° 24．（2026春•温江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在直线AB上，且DE＝DB，则∠DEC的度数为（　　） A．60° B．75° C．80° D．90° 25．（2026春•南海区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为____________ ． 26．（2026春•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于_____ ． 27．（2026春•宝安区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝_________ ． 题型七 等腰三角形的判定（共3小题） 28．（2026春•小店区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 29．（2026春•梅江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s 30．（2026春•高陵区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 题型八 等腰三角形的性质与判定（共4小题） 31．（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 32．（2026春•上海期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为_____ ． 33．（2026春•南海区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点F，交AC于点E． （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若∠CFB＝115°，求∠A的度数． 34．（2026春•南海区校级期中）在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H． （1）求证：△APF是等腰三角形； （2）猜想AB与PC的大小有什么关系？并说明理由． 题型九 等边三角形的性质（共3小题） 35．（2026春•南山区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 36．（2026春•淄博校级期中）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 37．（2026春•榕城区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 题型十 等边三角形的判定（共3小题） 38．（2026春•浦东新区校级期中）下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 39．（2026春•金牛区校级期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|． 40．（2026春•禅城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 题型十一 等边三角形的性质与判定（共3小题） 41．（2026春•上海期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l甲，l乙，l丙．对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系正确的是（　　） A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l丙＞l甲＝l乙 D．l甲＝l乙＞l丙 42．（2026春•迎泽区校级期中）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 43．（2026春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F，∠F＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若BD＝2，EC＝3，求AC的长． 题型十二 含30°角的直角三角形性质（共3小题） 44．（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 45．（2026春•灵石县期中）如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示地面的水平线．已知∠ABC＝150°，BC＝8.2m．那么乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 46．（2026春•海淀区校级期中）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：DE＝DC； （2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长． 题型十三 “将军饮马”最短路径问题（共5小题） 47．（2026春•二道区校级期中）如图，某快递公司计划在主干路l上设一个机器人配货总部P，在主干路l同侧有M与N两个机器人配送点，若使配货总部P到两个配送点的距离和PM+PN最小，则下列示意图中配货总部P的位置符合要求的是（　　） A． B． C． D． 48．（2026春•灵石县期中）五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区A与娱乐区B．现计划在小溪上修建一座桥梁MN，要求桥梁MN与河岸垂直．欲使从休息区A到娱乐区B的通行路程最短，则下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 49．（2026春•深圳期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 50．（2026春•长春期中）如图，△ABC中，BA＝BC＝5，BD是AC边的中线，点E是BD上的动点，点F是BC边上的动点，若CE+EF的最小值为4.8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．19 C．24 D．48 51．（2026春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点M，N分别为边AB，AC垂直平分线上的动点，连接AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠MAN＝_______ 度． 题型十四 轴对称综合探究题（共5小题） 52．（2026春•浦东新区校级期中）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 53．（2026春•章贡区期中）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK′径过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示． （1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）； （2）填空，在横线处填出推理的依据； 小明发现，在图2中，有BM′∥AK′，CN'∥AL′，进而推理： ∵线段AK′和线段AL′都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（①_____________ ） ∵BM′∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM′∥CN′．（②____________________ ） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM′∥CN′．请你帮小亮证明这个结论． 54．（2026春•秦淮区期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于180°的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点E，F分别在边AB，CD上，分别沿PE，PF把∠PAE，∠PDF折叠得到∠PA′E和∠PD′F． 【问题初探】 （1）如图①，若点A′，点D′，点P恰好在一条直线上，则∠EPF的度数是 ________ ； （2）如图②，若点A′落在PF上，点D′落在PE上，则∠EPF的度数是 ________ ； 【问题再探】 （3）若∠A′PD′＝β（β≠0），求∠EPF的度数（用含β的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接CP，若∠CPD＝m°，∠APE＝n°，且射线PC，射线PA′，射线PD′都与长方形的边相交．若射线PC是∠A′PD′的角平分线，直接写出∠EPF的度数（用含m、n的代数式表示）． 55．（2026春•上海期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：______________ ； （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 56．（2026春•苏州期中）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线 提出问题 如图，能折出过P点且与边BC平行的折痕DE吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤 说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点B'，折痕为MN，第二次过点P折叠使点N落在射线NM上的点N'，展开压平得到折痕DE，则DE∥BC． （1）结合图1至图3的操作，说明：DE∥BC； 迁移探究：再次折叠得到△AD'E'， （2）如图4，将△ADE沿过点A的某直线AF折叠得到△AD′E′，AF与边BC交于F． ①若将△ADE沿过点A的某直线AF折叠后AD的对应边所在直线垂直于BC，如图5，请你在图5中用直尺和圆规作出直线AF（保留作图痕迹，不写作法）； ②若∠BAC＝90°，∠B＝50°，DE∥BC，直接写出当△AD′E′的某一边与BC平行时∠BAF的大小． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 轴对称 题型1 轴对称图形识别 题型8 等腰三角形的性质与判定（重点） 题型2 轴对称性质应用（常考点） 题型9 等边三角形的性质（重点） 题型3 线段垂直平分线（常考点） 题型10 等边三角形的判定（重点） 题型4 关于坐标轴对称的点的坐标（常考点） 题型11 等边三角形的性质与判定（重点） 题型5 作轴对称图形/尺规作图（常考点） 题型12 含30°角的直角三角形性质（重点） 题型6 等腰三角形的性质（重点） 题型13 “将军饮马”最短路径问题（难点） 题型7 等腰三角形的判定（重点） 题型14 轴对称综合探究题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形识别（共3小题） 1．（2026春•锡山区期中）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A．DeepSeek B．ChatGPT C．文心一言 D．纳米AI 【答案】C 【解答】解：C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，符合题意； A、B、D不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．（2026春•呈贡区校级期中）省级行政单位的简称简洁且具有辨识度，是地域文化的代表，承载着地区悠久的历史，更能增强归属感．下面是四个省级行政单位的汉字简称，其中属于轴对称图形的是（　　） A．云 B．川 C．晋 D．桂 【答案】C 【解答】解：属于轴对称图形的是晋， 故选：C． 3．（2026春•扬中市期中）如图是4×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上．请在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：如图所示：使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是2个． 故选：B． 题型二 轴对称性质应用（共4小题） 4．（2026春•武进区校级期中）如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，落脚点为I；第2次碰到长方形的边时落脚点为E1；如此运动下去，则第2026次落脚点为（　　） A．D B．E1 C．I D．V 【答案】B 【解答】解：如图， 小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为I，第2次碰到矩形的边时落脚点为E1，第3次落脚点为Q，第4次落脚点为V，第5次落脚点为A1，第6次落脚点为M，第7次落脚点为I1，第8次落脚点为D，…， ∴每8次循环1次， ∵2026÷8＝253...2， ∴第2026次落脚点为E1． 故答案为：B． 5．（2026春•江阴市期中）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．AB∥A′B′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 【答案】B 【解答】解：根据轴对称图形的特征可知：∠ABC＝∠A′B′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，无法判断AB与A′B′的位置关系， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 6．（2026春•兰州期中）如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连接PM，PN，则下列结论： ①若∠BAC＝30°，则△P1P2A是等边三角形； ②△PMN的周长等于线段P1P2的长； ③PA平分∠MPN； ④． 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：由题知， ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴AP＝AP1＝AP2，∠PAM＝∠P1AM，∠PAN＝∠P2AN， ∴∠P1AP2＝2∠BAC． ∵∠BAC＝30°， ∴∠P1AP2＝60°， ∴△P1P2A是等边三角形． 故①正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴MP＝MP1，NP＝NP2， ∴PM+MN+PN＝MP1+MN+NP2＝P1P2， 即△PMN的周长为线段P1P2的长． 故②正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴∠MPA＝∠MP1A，∠NPA＝∠NP2A，AP1＝AP2＝AP， ∴∠MP1A＝∠NP2A， ∴∠MPA＝∠NPA， ∴PA平分∠MPN． 故③正确； 由上述过程可知， ∠MPN＝∠MP1A+∠NP2A＝180°﹣∠P1AP2． 又∵∠P1AP2＝2∠BAC， ∴∠MPA+2∠BAC＝180°， 则． 故④正确． 故选：D． 7．（2026春•朝阳区校级期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BC＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积是 　12　 ． 【答案】12 【解答】解：因为△ABC关于直线AD对称，所以B，C关于直线AD对称， 所以△CEF和△BEF关于直线AD对称， 所以 S△BEF＝S△CEF． 因为△ABC的面积是BC×AD6×8＝24， 所以图中阴影部分的面积是12． 题型三 线段垂直平分线（共6小题） 8．（2026春•即墨区期中）如图，电信部门要在A，B，C三个村庄所围成的三角形地块里面修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到三个村庄的距离相等，则信号发射塔应建在△ABC的（　　） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条垂直平分线的交点处 【答案】D 【解答】解：发射塔到A、B两个村庄的距离相等时，发射塔在线段AB的垂直平分线上， 发射塔到A、C两个村庄的距离相等时，发射塔在线段AC的垂直平分线上， 则发射塔到三个村庄的距离相等时，信号发射塔应建在△ABC 的三条垂直平分线的交点处， 故选：D． 9．（2026春•和平区校级期中）如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝9+2＝11， ∴△AEG的周长为11； 故选：A． 10．（2026春•盐湖区期中）如图，∠BAC＝110°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（　　） A．100° B．90° C．40° D．70° 【答案】C 【解答】解：∵∠BAC＝110°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°， ∵DM和EN分别垂直平分AB和AC， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE＝40°． 故选：C． 11．（2026春•宝安区校级期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝9，则CF的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接EB，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于H， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ACE+∠ECH＝180°， ∴∠ACE＝∠ECH， ∵EF⊥AC，EH⊥BC， ∴EF＝EH， 在Rt△EFC和Rt△EHC中， ， ∴Rt△EFC≌Rt△EHC（HL）， ∴CF＝CH， 在Rt△AEF和Rt△BEH中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△BEH（HL）， ∴AF＝BC， ∴AC﹣CF＝BC+CH，即12﹣CF＝9+CH， 解得：CF＝CH， 故选：D． 12．（2026春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，且AD平分∠BAC，连接EF．证明：AD垂直平分EF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF，AE＝AF， ∴AD垂直平分EF． 13．（2026春•武侯区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与外角∠CBM的平分线相交于点D，射线BD交AC的延长线于点N，连接CD． （1）若AB＝14，BC＝8，CN＝12，△BCN的面积为20，求△ABD的面积； （2）若BC是AN的垂直平分线，求∠ADC的度数． 【答案】（1）14； （2）30°． 【解答】解：（1）过点D分别作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G， ∵BD和AD分别平分∠CBM和∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC， ∴DE＝DF＝DG． ∵△BCN的面积为20， ∴， ∴DF＝DG＝2， ∴DE＝DF＝2， ∴； （2）∵BC是AN的垂直平分线， ∴AB＝NB， ∴∠ABC＝∠NBC． ∵BN平分∠CBM， ∴∠NBC＝∠MBN， ∴∠NBC＝∠MBN＝∠ABC＝60°． ∵DF＝DG且DF⊥BC，DG⊥CN， ∴CD平分∠BCN， ∴∠DCN∠BCN． ∵∠DAC∠BAC， ∴∠ADC＝∠DCN﹣∠DAC（∠BCN﹣∠BAC）． ∵∠BCN﹣∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠ADC． 题型四 关于坐标轴对称的点的坐标（共5小题） 14．（2026春•裕华区校级期中）若在平面直角坐标系中，点A（1﹣2m，9+m）与点B（﹣5，7）关于y轴对称，则m的值是（　　） A．﹣16 B．16 C．2 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，1﹣2m＝﹣（﹣5）且9+m＝7， 解得：m＝﹣2． 故选：D． 15．（2026春•宝山区校级期中）已知点P（3，m）和Q（n，4）关于x轴对称，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵点P（3，m）和Q（n，4）关于x轴对称， ∴n＝3，m＝﹣4， ∴m+n＝﹣4+3＝﹣1． 故选：B． 16．（2026春•任丘市期中）已知点P（﹣7，﹣4），Q（﹣7，6），则下列说法正确的是（　　） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【答案】B 【解答】解：∵点P（﹣7，﹣4），Q（﹣7，6）， ∴直线PQ平行于y轴， 故选：B． 17．（2026春•长宁区校级期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为（﹣2，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（2，﹣m+1），则（n﹣m）2025的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：根据题意可知：﹣n＝﹣m+1， ∴n﹣m＝﹣1， ∴（n﹣m）2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 18．（2026春•长宁区校级期中）在直角坐标平面内，已知点M（a，3），如果该点关于直线x＝3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：∵该点关于直线x＝3的对称点的坐标为（5，3）， ∴对称点到直线x＝3的距离为2， ∵点（a，3）到直线x＝3的距离为2， ∴a＝1， 故选：D． 题型五 作轴对称图形/尺规作图（共4小题） 19．（2026春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E和点D，连接AD，若AB＝3cm，BC＝6cm，则△ABD的周长是（　　） A．6cm B．7.5cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【解答】解：由题意得：DE垂直平分AC， ∴AD＝CD，AE＝CE， 则△ABD的周长＝AB+BD+DC＝9cm， 故选：C． 20．（2026春•章丘区期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，S△ABC＝7.2．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AD于点F． 则△BDF的面积为（　　） A．2.25 B．2 C．1.8 D．1.35 【答案】A 【解答】解：根据尺规作图操作可得，AD平分∠BAC，MN垂直平分线段AD， ∴点D到AB，AC边的距离相等， ∴， ∴， 故选：A． 21．（2026春•凉州区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A（﹣4，1），B（﹣2，1），C（﹣2，3） （1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标； （2）连接AA1、CC1，求出四边形AA1C1C的面积． 【答案】（1）△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，如图1即为所求； A1（4，1）、B1（2，1）、C1（2，3）； （2）12． 【解答】解：（1）△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，如图1即为所求； 由图可知，点A1（4，1）、B1（2，1）、C1（2，3）； （2）如图2，连接AA1、CC1， 根据轴对称的性质，找出点A（﹣4，1）、C（﹣2，3）的对称点A1（4，1）、C1（2，3）， ∴AA1＝8，CC1＝4， 四边形AA1C1C是等腰梯形， ∴四边形AA1C1C的面积为． 22．（2026春•二道区校级期中）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形，且点C、D均在格点上． （1）在图①中，四边形ABCD面积为4； （2）在图②中，四边形ABCD面积为6． （3）在图③中，四边形ABCD面积为5． 【答案】（1）如图①，四边形ABCD即为所求； （2）如图②，四边形ABCD即为所求； （3）如图③，四边形ABCD即为所求；∵AB2＝AD2＝BC2＝CD2＝22+12＝5，AC2＝32+12＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABCD是轴对称图形，． 【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求； （2）如图②，四边形ABCD即为所求； （3）如图③，四边形ABCD即为所求； ∵AB2＝AD2＝BC2＝CD2＝22+12＝5，AC2＝32+12＝10， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABCD是轴对称图形，． 题型六 等腰三角形的性质（共4小题） 23．（2026春•温江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（　　） A．18° B．27° C．25° D．36° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠ABC＝∠ACD＝70°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵DE＝BD， ∴BD＝CD＝DE， ∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°． 故选：C． 24．（2026春•温江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在直线AB上，且DE＝DB，则∠DEC的度数为（　　） A．60° B．75° C．80° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D， ∴，BD＝CD， ∵DE＝DB， ∴DE＝DB＝CD， ∴∠BED＝∠B＝30°（等边对等角）， ∴∠CDE＝∠BED+∠B＝30°+30°＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠DEC＝60°， 则∠DEC的度数为60°， 故选：A． 25．（2026春•南海区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　30°或15°　 ． 【答案】30°或15°． 【解答】解：AB＝ AC，∠B ＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠BAC＝80°， ∵∠ADE ＝ 50°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD ＝ AE时，∠AED ＝∠ADE ＝ 50°， ∴∠DAE＝80°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ ED时，∠EAD＝∠ADE ＝50°， ∴∠BAD＝80﹣50°＝ 30°；③DA＝ DE时，∠DAE＝∠DEA＝65°， ∴∠BAD＝80°﹣65°＝ 15°， 综上，∠BAD的度数为30°或15°． 故答案为：30°或15°． 26．（2026春•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图所示：连接AO， ∵S△AOBAB•OE，S△AOCAC•OF，AB＝AC＝8，S△ABC＝20＝S△AOB+S△AOC， ∴AB•OEAC•OF＝20， 8OE8OF＝20， 4OE+4OF＝20， 4（OE+OF）＝20， OE+OF＝5， 故答案为：5． 27．（2026春•宝安区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝　10cm ． 【答案】10cm． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DE⊥AB，BF⊥AC， ∴AC•BF＝2AB•DE， ∴BF＝2DE＝10（cm）， 故答案为：10cm． 题型七 等腰三角形的判定（共3小题） 28．（2026春•小店区校级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得△ABP是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解答】解：如图， ∴符合条件的格点P共有8个． 故选：D． 29．（2026春•梅江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s 【答案】D 【解答】解：设运动的时间为x秒，则有 BP＝3x，AQ＝2x， ∴AP＝AB﹣BP ＝20﹣3x， ∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形， ∴AP＝AQ， ∴20﹣3x＝2x， 整理得，5x＝20， 解得x＝4， 则当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是4秒， 故选：D． 30．（2026春•高陵区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【答案】（1）108°； （2）证明见解答． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠ADB＝∠C+DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 题型八 等腰三角形的性质与判定（共4小题） 31．（2026春•西安期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解答】解：∵ED∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠BCG（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F，G， ∴∠DBF＝∠FBC，∠GCE＝∠BCG， ∴∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠GCE， ∴DF＝DB，EG＝EC（等角对等边）， ∵FG＝2，ED＝6， ∴DB+EC＝DF+EG＝6﹣2＝4， 故选：B． 32．（2026春•上海期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵OB平分∠MBC， ∴∠MBO＝∠OBC， 又MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠MOB＝∠MBO， ∴MB＝MO， 同理可得∠NOC＝∠NCO， ∴NO＝NC， ∴（AB+AC+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝（AM+MB+AN+NC+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝（AM+MO+AN+NO+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝（AM+AN+MN+BC）﹣（AM+AN+MN） ＝BC， 又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC＝20，AM+AN+MN＝12， 则BC＝20﹣12＝8． 故答案为：8． 33．（2026春•南海区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点F，交AC于点E． （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若∠CFB＝115°，求∠A的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠A＝40°． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CEF+∠CBE＝90°，∠BFD+∠FBD＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF（角平分线的定义）， ∴∠CEF＝∠BFD， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠CEF＝∠CFE（等量代换）， ∴CE＝CF（等角对等边）， ∴△CEF是等腰三角形； （2）解：∵∠CFB＝115°， ∴∠BFD＝180°﹣115°＝65°， ∴∠FBD＝90°﹣65°＝25°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBA＝2∠FBD＝2×25°＝50°， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°． 34．（2026春•南海区校级期中）在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H． （1）求证：△APF是等腰三角形； （2）猜想AB与PC的大小有什么关系？并说明理由． 【答案】（1）证明见解答； （2）AB与PC的大小有什么关系是：AB＝PC，理由如下见解答． 【解答】（1）证明：如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P， ∴∠1＝∠AFP，∠2＝∠P， ∴∠AFP＝∠P， ∴AF＝AP， ∴△APF是等腰三角形； （2）解：AB与PC的大小有什么关系是：AB＝PC，理由如下： ∵CH∥AB交AD的延长线于点H， ∴∠1＝∠H，∠B＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠H＝∠2， ∴AC＝HC， ∵∠1＝∠AFP，∠4＝∠AFP，∠1＝∠H， ∴∠4＝∠H， 在△BEF和△HDC中， ， ∴△BEF≌△HDC（AAS）， ∴BF＝CH， ∵AC＝HC， ∴BF＝AC， ∵AF＝AP， ∴PC＝AP+AC＝AF+HC＝AF+BF＝AB， 即AB＝PC． 题型九 等边三角形的性质（共3小题） 35．（2026春•南山区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 36．（2026春•淄博校级期中）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∵∠1＝40°， ∴∠AED＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵直线a∥直线b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝80°﹣60°＝20°， 故选：B． 37．（2026春•榕城区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 题型十 等边三角形的判定（共3小题） 38．（2026春•浦东新区校级期中）下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 【答案】B 【解答】解：A、∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， 不能说明△ABC为等边三角形， 故A不符合题意； B、∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， 故B符合题意； C、∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故C不符合题意； D、AB＝AC， △ABC不一定是等边三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 39．（2026春•金牛区校级期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|． 【答案】（1）等边三角形； （2）﹣a+3b﹣c． 【解答】解：（1）∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0， ∴根据非负数的性质，a﹣b＝0，b﹣c＝0， 解得a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， 即△ABC为等边三角形； （2）∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴根据三角形的三边关系得，a﹣b＜c，b﹣c＜a，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0， 则|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c| ＝﹣（a﹣b﹣c）+（b﹣c﹣a）+（a+b﹣c） ＝﹣a+b+c+b﹣c﹣a+a+b﹣c ＝﹣a+3b﹣c． 则|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|的值为﹣a+3b﹣c． 40．（2026春•禅城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 【答案】（1）∠CAE＝90°； （2）见解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AE＝BE， ∴∠B＝∠EAB， ∴∠EAB＝30°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°， 即∠CAE＝90°； （2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠AEC＝60°， ∴∠DEA＝60°， ∵点D为线段EC的中点， ∴AD＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE， 又∵∠DEA＝60°， ∴∠DEA＝∠DAE＝60°， ∴∠ADE＝60°， ∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE， ∴△ADE是等边三角形． 方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠AEC＝60°，AECE， ∴∠DEA＝60°， ∵点D为EC的中点， ∴ADCE＝DE， ∴AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形． 题型十一 等边三角形的性质与判定（共3小题） 41．（2026春•上海期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l甲，l乙，l丙．对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系正确的是（　　） A．l甲＞l乙＞l丙 B．l乙＞l甲＞l丙 C．l丙＞l甲＝l乙 D．l甲＝l乙＞l丙 【答案】D 【解答】解：设AB＝a， 对于图甲： ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB＝a， ∴l甲＝AC+BC＝2a； 对于图乙： ∵△ADE和△EFB都是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE，EF＝EB＝BF， ∴l乙＝AD+DE+EF+FB ＝2AE+2BE ＝2AB ＝2a； 对于图丙：延长AG和BH交于点P，则△ABP是等边三角形， ∴AP＝BP＝AB＝a， ∵GH＜PG+PH， ∴AG+GH+BH＜AG+PG+PH+BH， ∴AG+GH+BH＜AP+BP， ∴l丙＜2a， ∴对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系是l甲＝l乙＞l丙， 故选：D． 42．（2026春•迎泽区校级期中）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 43．（2026春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F，∠F＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若BD＝2，EC＝3，求AC的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）4． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∵∠F＝30°， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AC＝BC， ∵DE⊥BC， ∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴BEBD2＝1， ∴BC＝BE+EC＝1+3＝4， ∴AC＝4． 题型十二 含30°角的直角三角形性质（共3小题） 44．（2026春•沈阳期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EF＝1， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， ∴AF＝2EF，BF＝2DF， ∵AF＝DF， ∴AF＝2EF＝2×1＝2＝DF， ∴BF＝2DF＝2×2＝4， ∴BE＝BF+EF＝4+1＝5， 故选：C． 45．（2026春•灵石县期中）如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示地面的水平线．已知∠ABC＝150°，BC＝8.2m．那么乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【解答】解：如图，过C作CE⊥AB交AB的延长线于E，则∠CEB＝90°， ∵AB，CD分别表示地面的水平线，∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣150°＝30°， ∵BC＝8.2m， ∴，即h＝4.1m． 故选：B． 46．（2026春•海淀区校级期中）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：DE＝DC； （2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是AB边的垂直平分线， ∴AD＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝30°， ∴∠CBD＝60°﹣30°＝30° ∴BD平分∠ABC， ∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴DE＝DC； （2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6， ∴， ∵DE是AB边的垂直平分线， ∴， ∴BC＝BE， ∵∠ABC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴△EBC的周长为9． 题型十三 “将军饮马”最短路径问题（共5小题） 47．（2026春•二道区校级期中）如图，某快递公司计划在主干路l上设一个机器人配货总部P，在主干路l同侧有M与N两个机器人配送点，若使配货总部P到两个配送点的距离和PM+PN最小，则下列示意图中配货总部P的位置符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．不符合要求； B．不符合要求； C．不符合要求； D．作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，交直线l于点P，根据两点之间线段最短，此时PM+PN＝PM′+PN＝M′N为最小值，符合要求， 故选：D． 48．（2026春•灵石县期中）五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区A与娱乐区B．现计划在小溪上修建一座桥梁MN，要求桥梁MN与河岸垂直．欲使从休息区A到娱乐区B的通行路程最短，则下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：现计划在小溪上修建一座桥梁MN，要求桥梁MN与河岸垂直． 根据题意，应先把点A（或点B）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，如图： ． 故选：C． 49．（2026春•深圳期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作M′N′⊥BC于N'， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，M'N'⊥BC于N′， ∴M'N'＝M'E， ∴CE＝CM'+M'E＝CM'+M'N'的最小值． ∵∠ACB＝90°， ∴AB•CEBC•AC， 即5CE＝3×4 ∴CE＝2.4． 即CM'+M'N'的最小值为2.4． 故选：A． 50．（2026春•长春期中）如图，△ABC中，BA＝BC＝5，BD是AC边的中线，点E是BD上的动点，点F是BC边上的动点，若CE+EF的最小值为4.8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．19 C．24 D．48 【答案】A 【解答】解：连接AE，作AH⊥BC，垂足为H，连接AF， ∵BA＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵BD是AC边的中线， ∴BD⊥AC，AD＝CD， ∴BD是AC的中垂线， ∴AE＝AC， ∴AH≤AF≤AE+EF＝CE+EF， ∴当A、E、F三点共线，且点F与点H重合时，CE+EF有最小值，最小值为AH的长， ∵CE+EF的最小值为4.8， ∴AH＝4.8， ∴， 故选：A． 51．（2026春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，点M，N分别为边AB，AC垂直平分线上的动点，连接AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠MAN＝　40　 度． 【答案】40． 【解答】解：∵点M在AB的垂直平分线上， ∴AM＝BM， ∵点N在AC的垂直平分线上， ∴AN＝CN，△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+CN， 当B、M、N、C四点共线时，△AMN周长最小． 在△ABC中，∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°． ∵AM＝BM， ∴∠MAB＝∠B， ∵AN＝CN， ∴∠NAC＝∠C， ∴∠MAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠MAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°． 故答案为：40． 题型十四 轴对称综合探究题（共5小题） 52．（2026春•浦东新区校级期中）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 【答案】（1）①40°；②②△ABC为等边三角形，理由见解答过程； （2）∠OCB的度数为20°或40°，理由见解答过程． 【解答】解：（1）①在△OAC中，OA＝OC，∠ACO＝20°， ∴∠CAO＝∠ACO＝20°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠CAO+∠ACO）＝140°， 又∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOC+∠AOB）＝100°， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， 在△BOC中，OB＝OC，∠BOC＝100°， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣∠BOC）＝40°； ②△ABC为等边三角形，理由如下： 如图1所示： ∵CO平分∠ACB， ∴设∠OCA＝∠OCB＝α，则∠ACB＝2α， 在△OAC中，OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝α， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝α， 在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OBA＝∠OAB（180°﹣∠AOB）＝30°， ∴∠CAB＝∠OAB+∠OAC＝30°+α，∠CBA＝∠OBA+∠OBC＝30°+α， 在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴2α+30°+α+30°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠ACB＝2α＝60°，∠CAB＝30°+α＝60°，∠CBA＝30°+α＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）∠OCB的度数为20°或40°，理由如下： ∵直线BC与直线AO相交于点D，且△COD是以DO为腰的等腰三角形， ∴有以下三种情况： ①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示： 设∠OCB＝β， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝β， ∵∠AOB＝120°， ∴∠COB＝∠DOC+∠AOB＝β+120°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝β， ∵∠OCB+∠COB+∠OBC＝180°， ∴β+β+120°+β＝180°， ∴β＝20°， 即∠OCB＝β＝20°， ②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示： 设∠OCB＝θ， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝θ， ∴∠COB＝∠DOC+∠BOD＝θ+60°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝θ， ∵∠OBC+∠OCB+∠COB＝180°， ∴θ+θ+θ+60°＝180°， ∴θ＝40°， ∴∠OCB＝θ＝40°， ③当直线AO与直线CB的延长线相交于点D时，如图3所示： 设∠BOC＝γ， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴∠AOC＝∠OCB， 在△AOC中，∠AOC+∠C+∠BOC＝180°， ∴2∠C+γ＝180°， ∴∠OCB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠DOB＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠DOC＝∠DOB+∠BOC＝60°+γ， ∵DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB， ∴， 解得：γ＝20°， ∴∠OCB80°， 综上所述：∠OCB的度数为20°或40°或80°． 53．（2026春•章贡区期中）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK′径过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示． （1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）； （2）填空，在横线处填出推理的依据； 小明发现，在图2中，有BM′∥AK′，CN'∥AL′，进而推理： ∵线段AK′和线段AL′都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上．（①　两点确定一条直线　 ） ∵BM′∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM′∥CN′．（②　平行于同一条直线的两条直线互相平行　 ） （3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM′∥CN′．请你帮小亮证明这个结论． 【答案】（1）180°； （2）两点确定一条直线，平行于同一条直线的两条直线互相平行； （3）证明见解答． 【解答】解：（1）如图所示， ∵KL∥MN，∠APN＝α， ∴∠KAB+∠ABM＝180°，∠KAP＝∠APN＝α， 由折叠可知，∠KAB＝∠PAB， ∴∠ABM＝180°； （2）∵线段AK′和线段AL′都经过点A和点P， ∴它们都在同一条直线AP上（两点确定一条直线） ∵BM′∥AK'，CN'∥AL'， ∴BM′∥CN′．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：两点确定一条直线，平行于同一条直线的两条直线互相平行； （3）连接BC， 由折叠可知，∠KAB＝∠PAB，∠LAC＝∠PAC， ∴∠BAC， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠ABM+∠ACN＝270°， 由折叠可知，∠ABM′＝∠ABM，∠ACN′＝∠ACN， ∴∠ABM′+∠ACN′＝270°， ∴∠CBM′+∠BCN′＝270°﹣90°＝180°， ∴BM′∥CN′． 54．（2026春•秦淮区期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于180°的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点E，F分别在边AB，CD上，分别沿PE，PF把∠PAE，∠PDF折叠得到∠PA′E和∠PD′F． 【问题初探】 （1）如图①，若点A′，点D′，点P恰好在一条直线上，则∠EPF的度数是 　90°　 ； （2）如图②，若点A′落在PF上，点D′落在PE上，则∠EPF的度数是 　60°　 ； 【问题再探】 （3）若∠A′PD′＝β（β≠0），求∠EPF的度数（用含β的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接CP，若∠CPD＝m°，∠APE＝n°，且射线PC，射线PA′，射线PD′都与长方形的边相交．若射线PC是∠A′PD′的角平分线，直接写出∠EPF的度数（用含m、n的代数式表示）． 【答案】（1）90°； （2）60°； （3）； （4）（270﹣2n﹣m）°． 【解答】解：（1）由折叠得∠APE＝∠A'PE，∠DPF＝∠D'PF， ∴∠APE+∠DPF＝∠A'PE+∠D'PF， ∵∠APE+∠DPF+∠A'PE+∠D'PF＝180°， ∴2（∠A'PE+∠D'PF）＝180°， ∴∠A'PE+∠D'PF＝90°， ∴∠EPF＝∠A'PE+∠D'PF＝90°， 故答案为：90°； （2）由折叠得：∠APE＝∠A'PD'，∠DPF＝∠A'PD'， ∴∠APE＝∠A'PD'＝∠DPF， ∵∠APE+∠A'PD'+∠DPF＝180°， ∴∠A'PD'＝60°， 即∠EPF＝60°， 故答案为：60°； （3）分两种情况进行讨论：①当△A'PE与△D'PF不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：∠APE＝∠A'PE，∠DPF＝∠D'PF， ∴∠APE+∠DPF＝∠A'PE+∠D'PF， ∵∠APE+∠DPF+∠A'PE+∠D'PF+∠A'PD'＝180°， ∴2（∠A'PE+∠D'PF）+β＝180°， ∴， ∴； ②当△A'PE与△D'PF 重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：∠APE＝∠A'PE，∠DPF＝∠D'PF， ∴∠APE+∠DPF＝∠A'PE+∠D'PF＝∠EPF+∠A'PD'， 又∵∠APE+∠DPF+∠EPF＝180°， ∴∠EPF+∠A'PD'+∠EPF＝180°， ∴2∠EPF＝180°﹣∠A'PD'＝180°﹣β， ∴； 综上所述：∠EPF； （4）当点A'在PC的左侧，D'在PC的右侧时，如图， ∵折叠， ∴∠A'PE＝∠APE＝n°， 又∵∠CPD＝m°， ∴∠CPA'＝180°﹣∠A'PE﹣∠APE﹣∠CPD＝（180﹣2n﹣m）°， ∵射线PC是∠A'PD'的角平分线， ∴∠CPD'＝∠CPA'＝（180﹣2n﹣m）°， ∴∠DAA'＝∠CPD﹣∠CPD'＝（2m+2n﹣180）°， ∵折叠， ∴， ∴∠EPF＝180°﹣∠APE﹣∠DPF＝（270﹣2n﹣m）°； 当点A'在PC的右侧，D'在PC的左侧时，如图， ∵折叠， ∴∠A'PE＝∠APE＝n°， ∴∠DPA'＝（180﹣2n）°， 又∵∠CPD＝m°， ∴∠CPA'＝∠CPD﹣∠A'PD＝（2n+m﹣180）°， ∵射线PC是∠A'PD'的角平分线， ∴∠CPD'＝∠CPA'＝（2n+m﹣180）°， ∴∠DAA'＝∠CPD+∠CPD'＝（2n+2m﹣180）°， ∵折叠， ∴， ∴∠EPF＝180°﹣∠APE﹣∠DPF＝（270﹣2n﹣m）°； 综上，∠EPF 的度数为（270﹣2n﹣m）°． 55．（2026春•上海期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：　△ABC与△CBD ； （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）△ABC与△CBD，△ACD与△CBD； （2）证明见解答； （3）60°；30°；（）°；（）°． 【解答】解：（1）根据“等角三角形”的定义可知△ABC与△ACD是“等角三角形”； 故答案为：△ABC与△CBD； （2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， 在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A， ∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的巧等线； （3）当△ACD是等腰三角形，如图2， DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝∠BDC＝40°+40°＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°； 当△ACD是等腰三角形，如图3， DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝70°， ∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝70°+40°＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°； 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形，如图4， DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B（）°， 当△BCD是等腰三角形，如图5， DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+40°＝x， 解得x＝（）°， ∴∠B＝180°﹣2x＝（）°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， 综上，∠B的度数为60°；30°；（）°；（）°． 56．（2026春•苏州期中）综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线 提出问题 如图，能折出过P点且与边BC平行的折痕DE吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤 说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点B'，折痕为MN，第二次过点P折叠使点N落在射线NM上的点N'，展开压平得到折痕DE，则DE∥BC． （1）结合图1至图3的操作，说明：DE∥BC； 迁移探究：再次折叠得到△AD'E'， （2）如图4，将△ADE沿过点A的某直线AF折叠得到△AD′E′，AF与边BC交于F． ①若将△ADE沿过点A的某直线AF折叠后AD的对应边所在直线垂直于BC，如图5，请你在图5中用直尺和圆规作出直线AF（保留作图痕迹，不写作法）； ②若∠BAC＝90°，∠B＝50°，DE∥BC，直接写出当△AD′E′的某一边与BC平行时∠BAF的大小． 【答案】（1）见解答； （2）①作图如下： ②∠BAF的度数为65°或20°或40°． 【解答】（1）第一次折叠后，MN⊥BC， ∴∠MNB＝90°； 第二次折叠后，DE⊥MN， ∴∠DPM＝90°； ∴∠DPM＝∠MNB， ∴DE∥BC； （2）①如图： ②由题意得，当AD′∥BC时， 由条件可知∠C＝40°， ∵∠DAE′+∠EAE′＝90°，∠D′AE+∠EAE′＝90°， ∴∠DAE′＝∠D′AE， ∵AD′∥BC， ∴∠D′AC＝∠C＝40°＝∠DAE′， 由条件可知∠BAF＝∠DAE′+∠E′AF ＝65°； 当AE′∥BC时， 同理可得，∠DAE′＝∠D′AE， 由平行线性质可知；∠E′AD＝∠B＝50°＝∠D′AE， ∵AF平分∠EAE′，且∠BAC＝90°， ∴20°； 由题意得，当E′D′∥BC时，如图： 由折叠可得，∠ARD＝90°， ∵E′D′∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝50°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ADE＝90°﹣50°＝40°， 综上所述，∠BAF的度数为65°或20°或40°． $