专题05 全等三角形（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形 题型图谱·导航总览 题型1判断命题真假（高频） 基础固本强基 题型2等腰三角形的定义（高频） 题型3互逆命题和互逆定理（重点） 题型4等边对等角（重点） 提升·进阶突破 题型5线段垂直平分线的性质和判定（重点） 题型6角平分线的性质和判定（重点） 题型7等边三角形的判定和性质（难点） 拔高·压轴破难 题型8等腰三角形的性质和判定（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1判断命题真假（共5小题） 1.(24-25七年级下·福建厦门期中)我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性.若 aa≥0不是某个有理数的平方，则方程x2=a在有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程 x=b在有理数范围无解.而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处.根据你对实 数的理解，选出正确命题的序号 ①x=3在实数范围内有解；②x2020-5=0在实数范围内的解不止一个；③x+x2=5在实数范围内有解，其 中一个解介于1和2之间；④对于任意的aa≥0，恒有Va≥a. 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25七年级下·上海·期中)下列命题是真命题的是() A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到直线的距离 B.己知a、b是两个数，如果a=b,那么a=b2 C.己知l1、12、13是同一平面内三条直线，如果l1⊥12、12⊥13，那么11⊥13 D.两条直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 3.(24-25七年级下·广东广州期中)下列命题是真命题的是() A.两直线平行，同旁内角相等 B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 4.(24-25七年级下·上海青浦·期中)下列命题中，真命题是() A.三角形的三条高交于同一点 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线平行 D.如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 5.(24-25七年级下·广东广州期中)下列命题中，真命题有()个 ①三条直线a,b,c,若ab,bc,则ac;②正有理数和负有理数统称为实数；③两条直线被第三 条直线所截，同位角相等；④相等的两个角是对顶角；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线 的距离 A.1 B.2 C.3 D.4 题型2等腰三角形的定义（共5小题） 6.(25-26八年级上.宁夏吴忠·期末)已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形 的周长为 7.(25-26七年级上山东泰安，期中)在长度分别是3cm、3cm、4cm、7cm、7cm的五根小棒中任选3 根，共能围成不同形状的等腰三角形()个. A.3 B.4 c.5 D.6 8.(25-26七年级上山东烟台期中)若等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角是() 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.50° B.60° C.20°或80° D.50°或80° 9.(25-26八年级上·全国·单元测试)已知等腰三角形的底边长为7m,一边上的中线把其周长分成两部 分，这两部分的差为3cm,则腰长为() A.20cm B.10cm C.10cm或4cm D.4cm 10.(24-25七年级下·广东河源·期末)在△ABC中，AB=5,AC=2,若△ABC是等腰三角形，求BC 的长 题型3互逆命题和互逆定理（共5小题） 11.(2026江苏无锡一模)命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是命题（填“真”或 “假”). 12.(24-25七年级下·上海·期中)“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是： 该逆命题是一个 命题（填“真”或“假”）· 13.(24-25八年级下陕西西安期中)已知命题“若a>b,则a2>b2”，则它的逆命题是（填 “真”或“假”)命题. 14.(24-25七年级下·上海期中)命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是（用“如果…那 么…”的形式写出). 15.（24-25七年级下·上海·期中)命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 提升进阶突破 题型4等边对等角（共5小题） 16.(25-26八年级上·福建福州·期中)如图，在△ABC中，∠C=40°. (1)在AC上求作一点D,使得DB=DC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)我们把有一个内角为80°的三角形叫做“幸运三角形”.在(1)的条件下，若CD=AB,判断△ABC 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是否为“幸运三角形”，并说明理由. 17.(25-26八年级上广东广州期中)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且 BD=BE,若∠ADE=20°，则∠C的度数为() E A.35° B.50 C.40° D.45° 18.(25-26八年级上山西朔州：期中)如图，在△ABC中，AB=BC,∠CAB=68°，AD平分∠CAB, 交BC于点D,DE平分∠ADB,交AB于点E.求∠DEB的度数 D 19.(25-26八年级上贵州遵义·期中)已知等腰三角形的一个内角为70°，则顶角的度数是() A.70° B.20° C.70°或40° D.70°或20° 20.(25-26八年级上·四川巴中.期中)如图，已知AB=AC+DC,∠ADC=70°，∠ACD=80°，则 ∠B=( B D A.150° B.40° C.35° D.60° 题型5线段垂直平分线的性质和判定（共5小题） 21.(25-26八年级上海南省直辖县级单位·期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°， BC=l8cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F, 则MN的长为() 4/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 22.(25-26八年级上山西朔州·期中)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点 M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点NE.已知BC的长为l0cm,则△ADE的周长为 cm. DE 23.(25-26八年级上山西朔州期中)△ABD和△BCD按如图方式摆放，其中AB=AD,CB=CD, 点E为AD上一点，连接CE交BD于点F,∠EFD=∠ABD.若AD=9,CE=6,则CF的长为 24.(25-26八年级上河北廊坊期中)如图1和图2，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧， 交BC于点D. D 图1 图2 (1)求证：点A在线段CD的垂直平分线上： 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)P是线段CD上的动点（点P不与点C,D重合），线段BP的垂直平分线l1分别与AB,BC交于点E, M,线段CP的垂直平分线l2分别与AC,BC交于点F,N. ①若AB=10,AC=5,求四边形AEPF的周长： ②已知∠BAC=100°，判断当点P在线段CD上运动时，∠EPF的度数是否会发生变化.若变化，请说 明理由；若不变，求∠EPF的度数. 25.(25-26八年级上·湖北襄阳·期中)如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形ABC的外部一点， 且AD=CD,过点D作DEAB交AC于点F,交BC于点E. (I)请直接写出BD与AC的关系： (2)若BC=10,CF=4,求DE的长， 题型6角平分线的性质和判定（共5小题） 26.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点D. 过C点作CG⊥AB,交AD于E,过D点作DF⊥AB于F.下列结论： ①CE=CD;②SAAEC:SAAEG=AC:AG;③∠ADF=2∠FDB:④CE=DPF 其中正确的结论是() B G F A.①②④ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 27.(25-26八年级上广东广州·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=2cm, 则点D到直线AB的距离为cm, 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 28.(26-27八年级·全国·暑假作业)如图，在△AOB和△DOC中，OA=OB,OC=OD,OA<OC, ∠AOB=∠COD=108°，连接AC、BD交于点M,连接OM.下列结论：①∠AMB=108°，② AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠BMC.其中正确的结论是() D A.①②④ B.①③ C.②④ D.①②③④ 29.(25-26七年级下·全国单元测试)如图，∠ABC∠EAC的平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE, PN⊥BF,则下列结论中正确的个数是() M ①CP ∠ACF ②∠ABC+2∠APC=180° D-F C 平分 ③∠ACB=2∠APB: ④SAPAC=SAPAM+S△PCN. A.1 B.2 C.3 D.4 30.(25-26八年级上·云南德宏期中)如图，△AEC中，∠E=90°，DF1AC于点 F,DB=DC,∠ABD+∠C=180°. 7/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)求证：AD平分∠EAC (2)若AB=3,AC=5,求AF的长. 拔高压轴破难 题型7等边三角形的判定和性质（共5小题） 31.(24-25八年级下，广东揭阳期中)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为 G,且AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F. B G (1)求证：△ABD是等边三角形： (2)求证：AE+AF=AD 32.(25-26八年级上·海南省直辖县级单位期中)如图1，△ABD,△BCE都是等边三角形，点A、B、 C在同一直线上，AE和CD交于点P. D B 图1 图2 (I)求证：AE=CD: (2)求∠APD的度数： (3)如图2，M,N分别是AE,CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论. 33.(25-26八年级上·四川成都·期中)在△ABC中，AB=AC,BE=BC=BD(BE≥BA), 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC+∠EBD=180°，点F为直线DE上一点，且FC=FD, A(E) B B D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，点D在线段CB延长线上，若∠ACB=40°，求∠ACF的度数： (2)如图2，△ABC与△BDE在图示位置时，求证：CF平分∠ACB: (3)如图3，若∠ABC=60°，AB=4,将图3中的△BDE(从BE与BA重合时开始)绕点B按顺时针方向 旋转，且点C与点D不重合，当△EFB为等腰三角形时，求CE2的值， 34.(25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)如图，等边△ABC中，AB=4,D是BC的中点，将△ABD绕 点A逆时针旋转60°得△ACE. E B D (1)求线段DE的长； (2)判断线段AC与DE的位置关系，并证明. 35.(25-26八年级上·福建南平.期中)已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，D是射线BC上一动点(D 与C不重合)，以AD为一边向右侧作等边△ADE(C与E不重合)，连接CE. CD F B C 图1 图2 图3 (1)若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角为 度： 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如图2所示），你在(1)中得到的结论是 否仍然成立？请说明理由： (3)若△ABC不是等边三角形，且BC>AC(如图3所示)·试探究当点D在线段BC上时，你在(1)中 得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当∠ACB满足什么条件时，能使 (1)中的结论成立？并说明理由. 题型8等腰三角形的性质和判定（共5小题） 36.(24-25七年级下·四川成都期中)如图，在△ABC中，AB=AC,点D，E分别在边AC,BC上， 连接AE,BD交于点F,∠BAC=∠BFE=2∠AEB. D (1)试判断∠EAC与∠ABD是否相等，并说明理由： (2)若BD平分∠ABC,求证：AB⊥AE; (3)在(2)的条件下，已知EF=6,AF=5,求BF的长度. AB=AC ∴.∠ABE=∠C, .∠BAC=180°-2∠ABE ·∠AEB=∠BAC=90°-∠ABE, ∴.∠ABE+∠AEB=90°， ∴.∠BAE=180°-90°=90°， .AE⊥AB: 37.(25-26八年级上·甘肃天水·期中)如图①，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=2∠A,BD是 10/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC的平分线. B (1)求∠A和∠C的度数. (2)写出图①中与BD相等的线段，并说明理由. (3)直线BC上是否存在其他的点P,使△BDP为等腰三角形？如果存在，在图②中画出所有满足条件的点 P,并直接写出对应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由： 38.(25-26八年级上·福建福州·期中)如图，在△ABC和△ADE中， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE. 刀 D B 图1 图2 图3 (I)求证：BD=CE； (2)如图2，连接BE,若EB=ED,求证：CE⊥BD: (3)如图3，延长DE交BC于点F,若AE⊥CE,求证：F为BC中点. 39.(25-26八年级上·湖北孝感·期中)如图，△ADB、△EDC都是等腰直角三角形， ∠ADB=∠EDC=90°，点E在DB上，AE的延长线与BC交于点F,若BC=5,AF=6,求EF的长. 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.(25-26八年级上湖北孝感期中)如图，AC‖BD,E为CD的中点，AE1BE. A (I)求证：AE平分∠BAC; (2)线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明. 12/12专题05 全等三角形 基础·固本强基 题型1 判断命题真假（高频） 题型2 等腰三角形的定义（高频） 题型3 互逆命题和互逆定理（重点） 提升·进阶突破 题型4 等边对等角（重点） 题型5 线段垂直平分线的性质和判定（重点） 题型6 角平分线的性质和判定（重点） 拔高·压轴破难 题型7 等边三角形的判定和性质（难点） 题型8 等腰三角形的性质和判定（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 判断命题真假（共5小题） 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 【答案】 【分析】逐个判断命题，利用奇次幂、偶次幂的实数解性质判断，讨论时和时，的值，即可判断的解的范围，举特殊值反例判断． 【详解】解：对于，是奇数，任意正数在实数范围内都存在奇数次方根，因此方程在实数范围内有解，故正确． 由方程得，是正偶数，在实数范围内有两个解，因此解不止一个，故正确． 当时，， 当时，， ∴在之间，存在实数，使得成立， ∴在实数范围内有解，其中一个解介于和之间，故正确． 举反例：当时，，，此时，不满足，因此错误． 综上，正确命题的序号为． 2．（24-25七年级下·上海·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到直线的距离 B．已知、是两个数，如果，那么 C．已知、、是同一平面内三条直线，如果、，那么 D．两条直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 【答案】B 【分析】结合初中数学基础概念和性质，逐一分析每个选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴A是假命题； 对于选项B，∵，对等式两边平方得，即，∴B是真命题； 对于选项C，∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，∴若、，则，∴C是假命题； 对于选项D，∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，此时同旁内角的平分线才互相垂直，任意两条直线被截时结论不成立，∴D是假命题． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【详解】解：A、∵两直线平行，同旁内角互补，不是相等，∴原命题是假命题，不符合要求； B、∵根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴原命题是真命题，符合要求； C、∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，∴原命题是假命题，不符合要求； D，∵同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未说明同一平面，∴原命题是假命题，不符合要求． 4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的三条高交于同一点 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 【答案】B 【详解】解：A、三角形的三条高是线段，只有三条高所在直线才交于同一点，钝角三角形的三条高本身不相交，∴该命题是假命题，不符合题意； B、根据平面内垂直的基本定理，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴该命题是真命题，符合题意； C、在同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，过该点不存在与已知直线平行的直线，∴该命题是假命题，不符合题意； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角才互补，题干未说明两条直线平行，∴该命题是假命题，不符合题意； 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，真命题有（   ）个 三条直线，，，若，，则；正有理数和负有理数统称为实数；两条直线被第三条直线所截，同位角相等；相等的两个角是对顶角；直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行公理推论、实数分类、平行线性质、对顶角定义、点到直线距离定义，逐个判断命题真假即可． 【详解】解：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，即若，，则，故是真命题； 实数包括有理数和无理数，有理数分为正有理数、、负有理数，因此正有理数和负有理数不能统称为实数，故是假命题； 只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，任意两条直线被截同位角不一定相等，故是假命题； 相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等但不是对顶角，故是假命题； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，故是假命题． 综上，真命题只有个． 题型2 等腰三角形的定义（共5小题） 6．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】25 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，先分类讨论等腰三角形的腰和底，再利用三角形的三边关系验证．最后再求周长即可． 【详解】解：若腰长为5，底边为10，则三边为5，5，10， ∵，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； 若腰长为10，底边为5，则三边为10，10，5， ∵，，满足三角形三边关系，故能构成三角形， 则周长为． 故答案为：25 7．（25-26七年级上·山东泰安·期中）在长度分别是、、、、的五根小棒中任选根，共能围成不同形状的等腰三角形（   ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，要从五根小棒中选择三根，使得能围成等腰三角形（即有两边相等），并满足任意两边之和大于第三边． 【详解】解： ，，， 能为成等腰三角形的组合有：、、；、、；、、；共个， 故选：A． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据未明确给出是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为计算底角即可． 【详解】解：当为底角时，则另一个底角是； 当为顶角时，可得底角为. 则该等腰三角形的底角为或． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 10．（24-25七年级下·广东河源·期末）在中，，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度． 【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，2，满足，成立． 若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立． ∴． 题型3 互逆命题和互逆定理（共5小题） 11．（2026·江苏无锡·一模）命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 12．（24-25七年级下·上海·期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 假 【分析】根据逆命题定义将原命题的题设和结论互换得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”中，题设为“两个角是同一个角的余角”，结论为“这两个角相等”．将题设与结论互换，得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 判断真假：两个相等的角，不一定是同一个角的余角，例如：，，是的余角，是另一个的余角，两角相等但不一定是同一个角的余角，因此逆命题不成立，是假命题． 13．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知命题“若，则”，则它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题与定理，熟知逆命题与判断命题的真假判断是解题的关键．写出逆命题，举出反例，由此即可得出答案． 【详解】解：“若，则”的条件是“”，结论是“”， 其逆命题是“若，则”．例如而， 故原命题的逆命题是假命题． 故答案为：假． 14．（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是_______（用“如果…那么…”的形式写出）． 【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”． 故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形． 15．（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 【分析】本题考查命题与定理，根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题． 【详解】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 提升·进阶突破 题型4 等边对等角（共5小题） 16．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)我们把有一个内角为的三角形叫做“幸运三角形”．在（1）的条件下，若，判断是否为“幸运三角形”，并说明理由． 【答案】(1) 如图所示，点D就是所要求作的点 (2) 解：是“幸运三角形”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， 是“幸运三角形” 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，即可解答； （2）求得，即可推出，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 17．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据三线合一得出，根据等边对等角得出，从而可得，由此可求得，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 18．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，，平分，交于点，平分，交于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．由等腰三角形的性质可得，由平分，得到，根据三角形的外角性质求出，再根据平分，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解： ，， ， 平分， ， ， 平分， ， ． 19．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角的度数为和底角的度数为，当底角的度数为时，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：① 当已知的角为顶角时，则顶角的度数是； ② 当已知的角为底角时，则另一个底角也为，顶角的度数为， 综上所述，顶角的度数为或， 故选：C． 20．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，已知，，，则（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理（三角形内角和为外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)以及等腰三角形的性质（等边对等角）通过作辅助线构造等腰三角形，利用这些性质和定理来找出角之间的关系是解题的关键．在延长线上取一点,使得,连接，先证，，再证，最后根据等边对等角即可求解． 【详解】解： ,, 在延长线上取一点,使得,连接， ∵, ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， , ∴， ∴， 故选：B． 题型5 线段垂直平分线的性质和判定（共5小题） 21．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键，连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，再根据，证得是等边三角形，通过边角关系进行计算求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 22．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为________cm． 【答案】10 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E ∴ ∴的周长 故答案为：10. 23．（25-26八年级上·山西朔州·期中）和按如图方式摆放，其中，，点为上一点，连接交于点，．若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及平行线的性质．连接，根据已知条件证明和都是等腰三角形，从而可得是的垂直平分线，得出，再由得到，从而得到，，推出，得到，由，，可推出，最后根据线段间的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 和都是等腰三角形， 是的垂直平分线，即， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． (1)求证：点A在线段的垂直平分线上； (2)P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D， ∴． ∴点A在线段的垂直平分线上； (2)①15；②不变，100度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合已知条件证明点A在线段的垂直平分线上； （2）①根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求出四边形的周长； ②通过三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，求出的度数，判断其是否随点P的运动而变化． 【详解】（1）略 （2）解：①∵线段的垂直平分线分别与，交于点E，M， ∴． ∵线段的垂直平分线分别与，交于点F，N， ∴． ∴四边形的周长为． ∵，， ∴四边形的周长为； ②的度数不变．理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的度数不变，为． 25．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图是风筝的结构示意图，点是等边三角形的外部一点，且，过点作交于点，交于点． (1)请直接写出与的关系； (2)若，，求的长． 【答案】(1)垂直平分 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键． ()由等边三角形，可得，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可； ()由题意知，，由平行线的性质可得，则是等边三角形，，，由三角形外角的性质求，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：垂直平分， 理由：∵三角形是等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段； （2）∵三角形是等边三角形， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 题型6 角平分线的性质和判定（共5小题） 26．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，的平分线交于点D．过C点作，交于E，过D点作于F．下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质可得，，利用等角的余角相等及对顶角相等可证，从而判断①④；过点作，利用角平分线性质得，结合三角形面积公式判断②；根据题意无法推出与的倍数关系，判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵平分，，， ∴， ∴，故④正确； 如图，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， 即，则， 故由题意无法得出，故③错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 27．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【答案】2 【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 28．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①，②；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，所以②正确； 设与交于点 ， ，所以①正确； 过O点作于E，于F，如图， ≌， ， 平分，所以④正确； 而， ，所以③错误． 综上所述：正确的结论是①②④． 29．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 30．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，中，于点． (1)求证：平分， (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴平分， (2)4 【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等． （1）根据，可得，证明即可求证； （2）根据（1）可得，，推出，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中可得，， ∴， ∵， ∴． 拔高·压轴破难 题型7 等边三角形的判定和性质（共5小题） 31．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 32．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中 ， ； (2) (3)等边三角形，理由为： ， ． ，、分别是、的中点， ， 在和中 ， ，， ． 是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系． （1）利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得，再用证，得结论； （2）由全等得，结合内角和求，再利用外角性质得； （3）由全等及中点得，用证，得且，判定为等边三角形． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）略 33．（25-26八年级上·四川成都·期中）在中，，，，点为直线上一点，且． (1)如图1，点在线段延长线上，若，求的度数； (2)如图2，与在图示位置时，求证：平分； (3)如图3，若，，将图3中的（从与重合时开始）绕点按顺时针方向旋转，且点与点不重合，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (3)的值为16或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理可得，可得结论； （3）根据旋转轨迹，分类讨论，依次画出图形，构造勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点，点，点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由题意可得， ∴是等边三角形，，，， ∴， ∴． ①当点A与点E重合时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴； ②当时，则， 如图，过点作于点，连接． ∵，， ∴垂直平分，且平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴在中，； ③当时，如图，连接，过点作于， 同理可得， 此时，， ∴， ∴； 综上所述，的值为16或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 34．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，等边中，是的中点，将绕点A逆时针旋转得． (1)求线段的长； (2)判断线段与的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：， 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点， ∴ ∴ ∴垂直平分， ∴ 【分析】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）由等边中，，D是的中点，根据三线合一的性质与勾股定理，可求得的长为，又由将绕点A逆时针旋转得，得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）证明得出，结合，得出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）解：∵等边中，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． （2）略 35．（25-26八年级上·福建南平·期中）已知：在中，为锐角，D是射线上一动点（D与C不重合）．以为一边向右侧作等边（C与E不重合），连接． (1)若为等边三角形，当点D在线段上时，（如图1所示），则直线与直线所夹锐角为 度； (2)若为等边三角形，当点D在线段的延长线上时（如图2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； (3)若不是等边三角形，且（如图3所示）．试探究当点D在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：仍然成立，直线与直线所夹锐角为，证明： 与都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ； (3) 解：问题（1）中结论不成立， 当不是等边三角形时，不能证明直线与直线所夹锐角为， 当时，能使直线与直线所夹锐角为， 证明： ①当时，在上截取一点，使得，连接（如图所示）， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ∴， ， ， ， 此时直线与直线所夹锐角为， ②当时，点与点重合，不符合题意． ③当时，延长到，在上截取一点，使得，连接（如图所示）． 同①可证． ， ， 此时直线与直线所夹锐角为． 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解题关键． （1）根据为等边三角形，为等边三角形，证出，进而得出，从而得出答案； （2）根据与都是等边三角形，得出，进而得出； （3）分别根据当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，为等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， 直线与直线所夹锐角为； （2）略 （3）略 题型8 等腰三角形的性质和判定（共5小题） 36．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 【答案】(1) ． 证明：∵， 又∵， ∴， ∴； (2) 证明：过点F作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)16 【分析】（1）根据，即可证明结论； （2）过点F作于点G，求出，得出，证明； （3）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 37．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，是的平分线． (1)求和的度数． (2)写出图中与相等的线段，并说明理由． (3)直线上是否存在其他的点，使为等腰三角形？如果存在，在图中画出所有满足条件的点，并直接写出对应的的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 与相等的线段是、，理由如下： 是的平分线， ， ，， ，， ， 与相等的线段是、； (3)存在，． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算； （2）结合（1）中的角的度数，结合是的平分线，根据等角对等边确定即可； （3）分是腰和是底两种情况，进行画图，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ，即， ， ；   （2）略 （3）解：直线上存在其他的点，使为等腰三角形， 当是腰时，以为圆心，以为半径画弧，交直线于点（点除外）， 此时； 以为圆心，以为半径画弧，交直线于点（点除外）， 此时； 当是底时，则作的垂直平分线和的交点即是点的一个位置， 此时． 38．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在和中，，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，延长交于点F，若，求证：F为中点． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， ； (2) 证明：如图，延长交于点M，交于点O， ， ， ∵，， ， ； (3) 证明：如图所示，过点B作，交的延长线于点N， ， ， ， ， ， 又， ， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ， ， ； ， ， ， 在和中， ， ， 即F为的中点． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用证明，即可得出结论； （2）根据得出，然后根据三角形内角和定理进行证明即可； （3）过点B作，交的延长线于点N，根据平行线的性质得出相等的角，根据内错角相等得出，可得，得出相等的角，证明，然后证明，得出对应边相等，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 39．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，、都是等腰直角三角形，，点E在上，的延长线与交于点F，若，，求的长． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，由等腰直角三角形的性质可得，，再证明得出，即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 40．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，，E为的中点，． (1)求证：平分； (2)线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明． 【答案】(1) 证明：如图所示，延长交的延长线于点F， ， ∵， ∴， ∵E 为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴平分； (2) 解：线段 、、的数量关系为：． 证明：由（1）可得，，， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于点F，证明， 得出，，再证明，即可得证； （2）由（1）可得，，，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 $