专题06 三角形全等的判定（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06三角形全等的判定 题型图谱导航总览 题型1全等三角形的性质（重点） 题型2用SAS证明三角形全等（难点） 基础固本强基 题型3用ASA(AAS)证明三角形全等（难点） 题型4用SSS证明三角形全等（高频） 题型5用HL证全等（重点） 提升进阶突破 题型6垂线模型（难点） 题型7倍长中线模型（重点） 拔高·压轴破难 题型8全等三角形综合问题（重点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1全等三角形的性质（共5小题） 1.(25-26七年级上山东烟台期中)若△ABC△ABC,AD和AD分别是对应边BC和BC的高， 且△ABC的面积是6，BC=3,则AD= 2.(25-26八年级上四川宜宾期中)如图，若△ACE2△ABF,∠A=55°，∠B=25°，则∠AEC 的度数是 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 3.(25-26八年级上四川宜宾期中)如图，已知△ABC≌△EDC,若AB=6,AC=2,BC=5,则 CD的长为() B D A.2 B.3 C.5 D.6 4.(25-26八年级上甘肃天水期中)已知：△ABC△ABC,∠A=40°，∠C=80°，则∠B= 5.(25-26八年级上湖北孝感期中)如图，△ABD≌△ACE,AB=9,AD=7,BD=8,则BE的长 是() 4 A.8 B.6 C.4 D.2 题型2用SAS证明三角形全等（共5小题） 6.(25-26八年级上·江西赣州·期中)如图，将两根钢条AA,BB的中点O钉在一起，使AA,BB能 绕点O自由转动，就做成一个测量工具，测AB的长即等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OAB 的理由是() 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.SSS B.AAS C.SAS D.HL 7.(25-26八年级上·江西新余·期中)滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知 AB=AD,AC=AE.求证：△ABC≌△ADE. 8.(25-26八年级上·福建莆田·期中)如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F.BC=DE, AC=AE,∠ACF+∠AED=180°.求证：△ABC≌△ADE. B D 9.(25-26八年级上江苏宿迁·期中)如图，点A,F,C,E在同一条直线上，AB‖DF,AB=DF, AF=CE.求证：△ABC≌△FDE, A F B D E 10.(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图，BD=BC,∠DBE=∠CBE,求证：AB平分∠DAC 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3用ASA（AAS)证明三角形全等（共5小题） 11.(25-26八年级上·云南德宏期中)如图，AE和BD相交于点C∠A=∠E,AC=EC.求证： BC=DC. 12.(25-26八年级上·吉林松原·期中)如图，∠B=∠FDE,BD=CE,∠A=∠F,求证： △ABC≌△FDE, 13.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,点E为对角线BD上一点， ∠A=∠BEC,且AB=EC. A (I)求证：△ABD≌△ECB: (2)若∠BDC=70°，求∠ADB的度数. 14.(25-26八年级上广西南宁期中)如图，AC,BD相交于点0，OB=OD,连接 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD、BC,∠A=∠C. 求证：△AOD≌△COB. A下 D 0 15.(25-26八年级上·全国期中)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点P为底边BC上一动点，连 接AP,在AP左侧作等腰三角形APD,使PA=PD,∠APD=∠BAC,连接BD 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠APD=∠BAC=60°，求证：△ABD≌△ACP: (2)如图2，若∠APD=∠BAC=90°，AB=2,当点P由点C运动到点B时： ①∠PBD的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由： ②求出点D运动的路径长度. 题型4用SSS证明三角形全等（共5小题） 16.（25-26八年级上·全国期中)如图，B,E,C,F是直线1上的四点，AC,DE相交于点G,AB=DF ,AC=DE,BE=CF.求证： D E (I)△ABC≌△DFE: (2)△GEC是等腰三角形. 17.(24-25八年级上江苏南京·期中)如图：在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠C=90°，∠D=90°， ” 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=BD=a,BC=DE=b,AB=BE=c,试利用图形证明勾股定理， C A D E 18.(25-26八年级上·河南南阳期中)如图1，若AC=AD,BC=BD B D 图1 图2 (I)求证：△ACB≌△ADB; (2)如图2，连接CD交AB于点M,请判断AB与CD的位置关系并证明. 19.(25-26八年级上·云南昭通·期中)如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图.若测得 AE=AF,DE=DF,则△AED≌△AFD的依据是 (在SSS、SAS、ASA、AAS或HL 选填) B 图1 图2 20.(25-26八年级上河南信阳·期中)如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，AE=BF,CE=DF, AB=2,BC=1.若要运用“SSS”来证明△AEC≌△BFD,则CD的长为一· E B 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提升进阶突破 题型5用HL证全等（共5小题） 21.(25-26八年级上·云南德宏·期中)如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上， AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为F、E,AB=CD A (1)求证：△ABF2△DCE: (2)若∠A=27°时，求∠C的度数. 22.(25-26八年级上·吉林松原·期中)如图，点A,C,D,E在同一条直线上，FD⊥AE,BC⊥AE, AD=CE,AB=EF (1)求证：△ABC≌△EFD: (2)若AE=11,CD=2,求AC的长. 23.(25-26八年级上·福建南平期中)如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，F为AB延长线上 一点，点E在BC上，且AE=CF. E B (I)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30°，求∠CFA的度数. 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(25-26八年级上·福建福州·期中)在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,∠ABC的平分 线BE⊥AC于点E,BE交CD于点F,H是BC的中点，连接DH交BE于点G. E G H (I)求证：△BDF≌△CDA: (2)连接CG,若CE=4,求EG的长， 25.(25-26八年级上江西赣州·期中)如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠B=∠D=90°，AB=AD B D (I)求证：Rt△ABC≌Rt△ADC: (2)若∠BAC=60°，求∠ACD的度数. 题型6垂线模型（共5小题) 26.（25-26八年级上·浙江绍兴期中)在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=45°，AD=3V2, DC=5V2,AB=7,则对角线AC的长为一 D B 27.(25-26八年级上·辽宁抚顺阶段检测)【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板， 如图：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了 相应的问题.：· 8/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D D M B E 图1 图2 图3 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF,垂足 为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N: (1)图1中，AM=3,CN=8,求MN的长，请补充小明的过程. .∠ABC=90°， .∠ABM+∠CBN=90°， .AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∴.∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAM=∠CBN,… (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE 垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=8,BE=2, 连接CE,请求出△ACE的面积.· 28.(24-25七年级下·河南郑州·期中)【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式 摆放一副三角板.如图：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB:在△DEF中，∠DEF=90°， ∠EDP=30°，并提出了相应的问题. D D D E B 图1 图2 图3 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM⊥DF,垂足为M,过点C作CN⊥DF,垂足为N. (①)图1中，AM=2,CN=7,求MN的长.请补充小芳的过程， .∠ABC=90°， .∴.∠ABM+∠CBN=90°， .AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， .∴.∠ABM+∠BAM=90°， .∠BAM=∠CBN, (补充小芳的过程) (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且项顶点A在线段EF上时，过点C作 CP⊥DE,垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由. (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=7, BE=1,连接CE,请直接写出△ACE的面积. 29.(24-25八年级上湖南长沙期中)(1)提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC=90°，点A 正好落在直线1上，则∠1、∠2的关系为一； 4 B 1入o2 A D E 图1 图2 图3 (2)探究问题：如图2，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A正好落在直线1上，分别作 BD⊥I于点D,CE⊥I于点E,试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由： (3)解决问题：如图3，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C,△ABC的边上有两个动点D、E,点D 以2cms的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B,点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动 到点A,两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D、E分别作DM⊥PQ, EN⊥PQ,垂足分别为点M、N,若AC=12cm、BC=l6cm,设运动时间为t,当以点D、M、C为顶 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时.求此时t的值.（直接写出结果） A A Q A P 备用图 30.(24-25八年级上·湖北武汉·期中)在平面直角坐标系中，Aa,0,B0,b,且点A、B坐标满足方程 3a+b=3 组 2a-b=7 D B B F 图1 图2 (1)求A、B的坐标： (2)如图1，以AB为边在第四象限作等腰Rt△ABP,直接写出P点坐标； (3)如图2，若C,D在y轴B,O上方，且OD=BC=1,过O作OH⊥AD于H,直线OH交AC于F,直 线FB交AD于E,试探究线段AE、FO、EF三条线段有何数量关系？并证明你的结论 拔高压轴破难 题型7倍长中线模型（共5小题） 31.(25-26八年级上·内蒙古赤峰期中)解决下列问题： 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B E 图1 图2 图3 (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试： 如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE.在 这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ,另外他还得到了AC和BE的位置关 系是 ;若AB=8,AC=6,他还求出了AD的取值范围为 (2)问题解决：如图2，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上，QC=AB,求 证：AQ=2AD: (3)问题拓展：如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, ∠ACE=∠ABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,请直接写出BE和AF的数量关系， 32.(25-26八年级上·北京西城期中)【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB=6,AC=I0,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. E B 图1 图2 图3 (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.这 样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中.请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到△ADC△EDB的理由是 A.SSS;B.SAS;C.AAS;D.ASA ②利用三角形的三边关系可以确定AE的取值范围，从而可以得到AD的取值范围是 (2)【问题解决】 由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB,∠BDA=∠BAD,证 明AC=2AE; ②如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC, 直接写出线段EF与AD的关系. (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形. B EF 图4 图5 图6 ①如图4，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB,AC为边向外作正方形ABDE,正方形 ACFG,连接EG.求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形： ②如图5，将△ABC分别以AB,BC,AC为边向外作正方形ABDE,正方形BCFG,正方形ACMN,连 接DG,FM,NE,则图中有 组偏等积三角形. (④)【综合运用】 如图6，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°(0<∠BCE<90°，已知BE=60m,△ACD的面积为2100m2,计划修建一条经 过点C的笔直的小路CF,点F在BE边上，FC的延长线经过AD的中点G.若小路每米造价600元，请计 算修建小路的总造价为元 33.(25-26八年级上·四川眉山期中)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=15,AC=7,求BC边上的中 线AD的取值范围， 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.容易证得 △ADC≌△EDB,再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围. 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D D 图① 图② (1)由已知和作图得到△ADC≌△EDB,依据是_· (2)BC边上的中线AD的取值范围是_· 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中. 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且∠EAF=∠EFA.求证：BF=AC. 34.(25-26八年级上·吉林长春.期中)【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5.4,AD=3,若AC边的长度为奇数，求AC的长. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E使AD=DE,连接BE.由已知和作 图能得到△EDB≌△ADC,所以AC=BE. 图① 图② 图③ 【思考发现】 (I)如图①，△EDB≌△ADC的理由是_： A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA (2)请根据小明的方法思考，直接写出AC的长可能为（写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (求证、证明)的结论集中到同一个三角形之中. (3)如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于G,AC=BF.探究∠AFG与∠GAF的关系，并说明理 由； 【深入探究】 (4)如图③，在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,且∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE,F 为AD的中点，连接FC并延长交BE于H,CF=4,CH=2,求△BCE的面积. 35.(25-26八年级上·河南安阳·期中)(1)如图①，在△ABC中，D是BC的中点，过点C作直线CE, 使CE‖AB,交AD的延长线于点E,求证：AD=ED.请结合图①写出完整的证明过程. B 图① 图② (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°，连接AC、BD,E是AC的中点，延长 EO交BD于点F,OF=2,OE=4,则△BOD的面积为 题型8全等三角形综合问题（共5小题） 36.(25-26八年级上山西朔州·期中)综合与探究 问题背景：△ABE和△CDE为等腰直角三角形，∠AEB=∠CED=90°，AE=BE,CE=DE,连接 BD,AC. 图1 图2 图3 问题初探： 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中BD与AC的位置 关系和数量关系是否发生变化，并说明理由. (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断(2)中BD 与AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. ∠DBE+∠BGE=90° .∠BGE=∠AGF ∴.∠CAE+∠AGF=90°. ∴.∠AFG=180°-∠CAE+∠AGF=180°-90°=90°， BD⊥AC, ∴.BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化： 37.(25-26八年级上·贵州遵义期中)如图，AD,BC相交于点E,连接AB,CD,CF平分∠BCD, 交AB延长线于F, B E (1)给出下列三个事项：①AB‖CD,②AE=ED,③EB=EC, 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论： 你选的条件： ,结论： (填序号) 证明： 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)中的条件下，若∠F=35°，求∠ABC的度数. 38.(25-26八年级上·浙江绍兴期中)【思维启迪】 (I)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD到点E.使DE=AD,连接BE,则AC与BE的数量关系为 ,位置关系为 【思维应用】 (2)如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F, 连接EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明： 【思维探索】 (3)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB中点，点E在射线DB上（点E不与点B 点D重合)，连接CE,过点B作BF⊥CE,垂足为点F,连接FD.若CB=29,BF=2,请直接写出FD 的长. D D 图1 图2 图3 39. (25-26八年级上·四川成都期中)已知等边△ABC,过点B作AB的垂线交AC延长线于点D. 图1 图2 图3 (1)如图1，点P为△ABD内部一点，满足∠BPC=120°，E为PB延长线上一点，且BE=CP,连接 AE,AP,求证：△ACP≌△ABE; (2)如图2，在(1)的条件下，点F是AB中点，连接P℉并延长，交AE于点G,连接BG,若BE=AG, 求证：PF=FG+BG: (3)如图3，将△ABD沿着BD翻折得到△ABD,将线段BC沿射线BD方向平移得BC,连接 AB、CD,若BD=4,当AB+BC+CD最小时，直接写出CD的长度. 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.(25-26九年级上·重庆铜梁期中)在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,将斜边AC绕点A 逆时针旋转一定角度得到线段AD,AD交BC于点G,过点C作CF⊥AD于点F. G D E B 图1 图2 (1)如图1，当旋转22.5时，若BG=1,求AC的长； (2)如图2，当旋转30°时，连接BD,BD‖AC,延长CF交BD于点E,求证：AG=CE+EG. 18/18专题06 三角形全等的判定 基础·固本强基 题型1 全等三角形的性质（重点） 题型2 用SAS证明三角形全等（难点） 题型3 用ASA（AAS）证明三角形全等（难点） 题型4 用SSS证明三角形全等（高频） 提升·进阶突破 题型5 用HL证全等（重点） 题型6 垂线模型（难点） 拔高·压轴破难 题型7 倍长中线模型（重点） 题型8 全等三角形综合问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 全等三角形的性质（共5小题） 1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）若，和分别是对应边和的高，且的面积是6，，则_______________． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应边上的高相等，可得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解： ，和分别是对应边和的高， ， ， ． 2．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，若，，，则的度数是______． 【答案】/100度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）已知：，，，则______°． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出中的度数，再根据全等三角形对应角相等的性质，得到的度数． 【详解】解：在中，根据三角形内角和定理，得， 将，代入得， 因为， 所以． 5．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，，，，，则的长是 （　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得出，再由线段的和差计算即可得出结果，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 题型2 用SAS证明三角形全等（共5小题） 6．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），解题关键是掌握上述知识点并能运用它来求解． 根据求解即可得出，从而可确定判定的理由． 【详解】解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是， 故选：C 7．（25-26八年级上·江西新余·期中）滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，已知，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， 所以． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“边角边”证明三角形全等是解题的关键． 直接运用“边角边”证明三角形全等即可． 【详解】略 8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在和中，延长交于F．，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了用三角形全等的判定方法，找到对应的两边及其夹角相等是解题的关键，根据和，可得，再用的判定方法证明全等即可． 【详解】略 9．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】略 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】略 题型3 用ASA（AAS）证明三角形全等（共5小题） 11．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，和相交于点．求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴ ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型． 【详解】略 12．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用全等三角形判定定理即可证明． 【详解】略 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质、平行线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得， 再由三角形内角和定理得出，最后由平行线性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，相交于点，，连接． 求证：． 【答案】证明：在和中 ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据证明即可． 【详解】略 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，当点由点运动到点时： ①的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； ②求出点运动的路径长度． 【答案】(1) 证明：，， 是等边三角形， 同理得也是等边三角形， ，， ， ， 在 和中，， ； (2)①的大小是为定值，其定值为 ②点运动的路径长度为 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1)根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用可证结论成立； (2)①当点在上运动时，过点作，交于F，则是的中点，可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得；当点与中点重合时，；当点在上运动时，过点作，交的延长线于点，可得，从而可得； ②点运动的路径是从点到点，根据与都是等腰直角三角形，可知． 【详解】（1）略 （2）①解：的大小会发生变化， (ⅰ)如下图所示，过点作，交于F，则是的中点， 当点在上运动时，， 理由如下： 过点作于， ，， ， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ； (ⅱ)当点与中点重合时，； (ⅲ)当点在上运动时，， 理由如下： 如下图所示，过点作，交的延长线于点， 同理可证， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ②如下图所示，点运动的路径是从点到点， 当点在点时， 设交于， 与都是等腰直角三角形， ， 当点运动到点时， 由， 可得：， ，， ， ，，在同一直线上， 由题意得是等腰直角三角形， ， ， 点运动的路径长度为． 题型4 用SSS证明三角形全等（共5小题） 16．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1) 证明： ， ， 即 在和中， (2) 证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 17．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由题意可得，， 直角梯形的面积为 则， 化简可得，，即可求证． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及利用等面积法证明勾股定理． 先证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】略 18．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，若，． (1)求证：； (2)如图，连接交于点，请判断与的位置关系并证明． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴； (2) ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【分析】（）利用判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由“三线合一”得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是__________在或选填 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：在与中， ， ， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 提升·进阶突破 题型5 用HL证全等（共5小题） 21．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若时，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴和， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 23．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可根据“”判断； （2）由，，可判断为等腰直角三角形，则，可得到，再根据得到，然后根据进行计算． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 24．（25-26八年级上·福建福州·期中）在中，，于点，的平分线于点，交于点，是的中点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，， 又， ． ，， ∴． (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明即可； （2）连接，利用垂直平分线的性质得出，确定，再由等量代换及三角形外角的定义得出，再由等角对等边即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，H为中点， ∴为的垂直平分线， ， ∴， ∵平分， ∴ ， ， ， ， ， ． 25．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：在和中， ； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 题型6 垂线模型（共5小题） 26．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在四边形中，，，，，则对角线的长为______． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形，同时运用勾股定理进行计算． 过点，作，，根据勾股定理得出和的长度，再得出、的长度，进而得出和的长度，最后利用勾股求出的长度． 【详解】解：分别过点，，作，，，垂足分别为，，，连接，如图， ，，， ，． ，． ． ，， 为等腰直角三角形． 设，则， 在中，， ，解得． ． ． ，， ． 在和中， ． ，． ． 在中，． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1) 解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) 解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 28．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 29．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 30．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，，且点A、B坐标满足方程组． (1)求A、B的坐标； (2)如图1，以为边在第四象限作等腰，直接写出P点坐标； (3)如图2，若C，D在y轴B，O上方，且，过O作于H，直线交于F，直线交于E，试探究线段、、三条线段有何数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或或 (3) ，理由如下： 解法一：如图4，过点F作轴于P，交的延长线于点G，作轴于M，过点D作于Q，则， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 解法二：如图5，过点C作轴交于G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）解方程组可得结论； （2）分三种情况：①如图1，当时，过点P作轴于G，则，②如图2，当时，过点P作轴于T，③如图3，当时，过点P作轴于M，过点B作于N，证明两个三角形全等可解答； （3）解法一：如图4，过点F作轴于P，交的延长线于点G，作轴于M，过点D作于Q，则，证明是等腰直角三角形和是等腰直角三角形，设，则，，再证明和，可解答此题； 解法二：如图5，过点C作轴交于G，证明和，则，，可解答此题． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得， 将代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴，； （2）解：分三种情况： ①如图1，当时，过点P作轴于G，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ， ∴； ②如图2，当时，过点P作轴于T， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ， ∴； ③如图3，当时，过点P作轴于M，过点B作于N， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴于M，于N， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，点P的坐标为或或； （3）略 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解二元一次方程组，坐标与图形的性质等知识．解题的关键正确作辅助线构建全等三角形，并运用分类讨论的思想解决问题． 拔高·压轴破难 题型7 倍长中线模型（共5小题） 31．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·北京西城·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】(1)①B；② (2) ①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②且 (3) ①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ②6 (4)42000 【分析】（1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B； ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）①略 ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且； （3）①略 ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6； （4）如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：． 33．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是 ． （2）边上的中线的取值范围是 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【答案】【问题情境】（1）；（2）； 【初步运用】证明：延长到H，使，连接，如图2所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，等腰三角形的判定，倍长中线得到三角形全等是解题的关键． 【问题情境】（1）由作图及已知得，即可得到全等的依据； （2）由（1）及三角形三边关系即可求解； 【初步运用】延长到H，使，连接，证明，则有，结合已知得，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）由作图知； ∵边上的中线为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：中，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， 即， ∴， ∴边上的中线的取值范围是：， 故答案为：； 【初步运用】略 34．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：略 （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 35．（25-26八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 题型8 全等三角形综合问题（共5小题） 36．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2） 略 （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键. 37．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． (1)给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： (2)在（1）中的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) 当选①②为条件，③为结论时， 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 当选①③为条件，②为结论时， 同理可证明， ∴； 当选②③为条件，①为结论时， 在和中，， ∴ ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）分别选择①②，③、①③，②、②③，①，利用、、证明，即可得答案； （2）由（1）可知三个条件都成立，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，无论怎么选择，三个条件都成立， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 38．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）【思维启迪】 （1）如图1，是的中线，延长到点．使，连接，则与的数量关系为_______，位置关系为________． 【思维应用】 （2）如图2，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； 【思维探索】 （3）如图3，在中，，，点为中点，点在射线上（点不与点，点重合），连接，过点作，垂足为点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）相等，平行； （2）解：，理由如下： 延长至点M，使，连接，如图所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）的长为或 【分析】（1）直接利用即可求证全等，继而得到，故； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G，同上可得：，可证明，则，故，在中，由勾股定理求得，那么，中，由勾股定理求得，则；当点在延长线上时，构造上述辅助线，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：相等，平行； （2）略 （3）解：当点在线段上时，延长至点H，使得，连接并延长交于点G， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理求得， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，构造上述辅助线， 同上可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解决本题的关键． 39．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知等边，过点B作的垂线交延长线于点D． (1)如图1，点P为内部一点，满足，E为延长线上一点，且，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点F是中点，连接并延长，交于点G，连接，若，求证：； (3)如图3，将沿着翻折得到，将线段沿射线方向平移得，连接，若，当最小时，直接写出的长度． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：如图，延长至H，使，连接， ∵点F是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）由题易得，根据四边形内角和及邻角互补可得，即可得证； （2）延长至H，使，连接，可证得，得，进而证明，从而，进一步得出结论； （3）作直线，作点D关于的对称点，连接交于点O，设点C翻折后的对应点为点F，连接，，，设交于点，连接，作，交的延长线于点E．当在处时，最小，进一步得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 作直线，作点D关于的对称点，连接交于点O，设点C翻折后的对应点为点F，连接，，，设交于点，连接，作，交的延长线于点E． 则，垂直平分， ∴， 由平移知，， 由翻折知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当在处时，最小， ∴最小， ∴此时的最小值是． 【点睛】本题考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判定和性质，轴对称性质，平移性质，直角三角形的角的性质，是解决问题的关键． 40．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点，过点作于点． (1)如图1，当旋转时，若，求的长； (2)如图2，当旋转时，连接，，延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：延长交于点T，连接， ∵在等腰中，，， ∴， ∵将斜边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴，且， ∵， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质,勾股定理，旋转的性质； （1）过点G作于点H，得到，即可求得，再由，勾股定理解直角三角形可求得； （2）延长交于点T，连接，求得，可得，，由，得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， 过点G作于点H， ∵将斜边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）略 $