28.2.1 中心对称及其性质教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十八章 旋转 28.2.1 中心对称及其性质   一、教材分析 本节课《中心对称及其性质》属于人教版旋转单元第二课时，是旋转知识的特殊延伸，在整个几何体系中起到承上启下的关键作用. 前面学生已经系统学习旋转的定义、三要素、旋转基本性质与旋转作图，中心对称本质是旋转角为180°的特殊旋转，是对旋转知识点的巩固深化. 本节课所学内容，又为后续理解中心对称图形、应用平行四边形性质、求解图形变换坐标打下必备基础. 本节课教材编排逻辑清晰完整，遵循从具体到抽象的认知规律. 首先设置思考活动，通过图案旋转、线段交叉旋转两个实例，直观引出中心对称的定义，让学生感知旋转180°后两图形完全重合；紧接着安排探究环节，引导学生观察对称点、对称中心之间线段关系，归纳出中心对称的核心性质；随后配备例题，讲解已知定点作中心对称图形的作图方法，落实实操技能；最后设置两道课堂练习，分别训练寻找对称中心、绘制中心对称图形，实现概念、性质、作图逐层落地. 整体由现象到定义、由探究得性质、由例题学方法、由练习固新知，层层递进兼顾几何概念理解与动手作图能力培养.   二、学情分析 已有基础：本节课授课对象是九年级学生，从已有基础来看，学生已经掌握旋转三要素、旋转的基本性质，可以完成基础的旋转作图，具备一定图形观察、动手画图的能力；已经学习轴对称相关知识，熟悉两个图形对称的基本含义，能够从重合的角度理解图形变换，为本节课学习中心对称做好知识铺垫. 学生具备简单的几何猜想与合作探究能力，可以在教师引导下完成观察、动手操作类任务. 存在困难：第一，学生容易混淆普通旋转和中心对称，不能快速意识到中心对称是旋转角固定180°的特殊旋转；第二，难以自主推导出对称点连线经过对称中心并且被平分这一条核心性质；第三，作图时容易遗漏关键点，不会利用性质反向寻找对称中心，步骤书写不规范. 认知特点：九年级学生思维正处在由直观形象向逻辑抽象过渡阶段，对于看得见的图形变换更容易理解，但对于背后抽象几何规律的总结归纳能力不足. 课堂需要依托实例、动手画图降低理解难度，设置梯度任务，循序渐进引导学生自主总结性质，突破认知障碍.   三、教学目标 1.理解中心对称的定义，掌握中心对称的性质，能够准确找出两个成中心对称图形的对称中心. 2.会利用中心对称的性质，画出简单几何图形关于指定点的中心对称图形，规范作图步骤. 3.经历观察、猜想、动手探究的学习过程，明白中心对称属于特殊旋转，逐步发展几何直观能力. 4.感受生活中成中心对称的现象，体会几何图形均衡和谐之美，培养严谨细致的作图习惯.   四、教学重难点 重点：理解中心对称的定义，掌握中心对称的性质，能够准确找出两个成中心对称图形的对称中心. 难点：会利用中心对称的性质，画出简单几何图形关于指定点的中心对称图形，规范作图步骤.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：旋转作图的步骤是什么？ 答：①分析题目要求，找出旋转中心、旋转方向及旋转角； ②在已知图形上找出关键点； ③作出各关键点的对应点； ④顺次连接各对应点. 想一想：如果旋转角恰好是 180°，这会是一种怎样的特殊旋转？它又有哪些独特的性质？ 师生活动：教师出示问题，请学生独立回顾并口述旋转作图四步骤，教师适时板书要点；再抛出思考题，留出短时间让学生自主思考、简单交流. 设计意图：回顾一般旋转的作图方法，巩固已有基础；通过旋转角取180°的设问制造认知冲突，自然过渡到本节课中心对称新知，激发学生探究兴趣. · 探究新知 活动一：探究中心对称的概念 问题2：(1) 如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ (2) 如图，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ 师生活动：教师展示两组图形，抛出问题引导学生观察、猜想旋转180°后的变化，学生发言交流；师生共同归纳中心对称概念、三要素再结合图形辨析对称点与对称中心，教师点拨易错要点. 答：(1)旋转180°后，一个图案与另一个图案重合. (2)旋转180°后，△OCD与△OAB重合 像这样，一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心(简称中心)，这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点. 中心对称三要素：①能找到一个对称中心； ②旋转角为180°； ③这两个图形旋转后能重合. 问题3：你能说出刚才这个图形中的对称中心、对称点吗？ 答：在图中，△OCD 和△OAB 关于点 O 对称，点O 就是对称中心. 点 C 与点 A 、点 B 与点 D 是关于点 O的对称点，点 O 是它关于自身的对称点. 注意：1.中心对称是指两个图形间的位置关系，必须涉及两个图形. 2.中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°. 3.成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合. 设计意图：依托直观图形，从特殊旋转引出新概念，落实概念生成过程；通过识图辨析，厘清中心对称的内涵，帮助学生区分易混知识点. 活动二：探究中心对称的性质 问题4：如图，△ABC和△A'B'C′关于点O对称，我们仍考虑它们的对称点之间的关系. 对称中心O与对称点的连线AA'有什么关系？点O与BB′，CC′呢？ 师生活动：教师出示三角形中心对称图形，设置递进问题，引导学生观察对称点连线与对称中心的位置、数量关系；学生独立思考后小组交流，师生共同推导、归纳中心对称的性质，补充拓展结论. 答：因为点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，所以点O是线段AA'的中点. 同样地，点O也是线段BB′和CC′的中点. 问题5：从上面的分析中能得到什么结论？ 答：中心对称除了具有旋转的性质，还具有性质： 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分. 拓展：成中心对称的两个图形全等，对应角相等，其对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等. 设计意图：由点到线段逐步探究，经历性质推导过程，理解性质本质；为后续中心对称作图提供理论依据，锻炼学生逻辑推理能力. 活动三：探究利用中心对称的性质作图 师生活动：教师示范三角形中心对称作图，学生跟随尝试画图；探究找对称中心的两种方法，再以表格形式引导学生对比辨析中心对称与旋转、轴对称的异同，师生共同梳理总结. 给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关于这个点中心对称的图形.与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形. 平移 轴对称 旋转 问题6：如图，选择点O为对称中心，作出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'. 分析：关键是利用中心对称的性质确定△ABC三个顶点的对称点. 解：如图，连接AO，在AO的延长线上截取OA′=OA，即可以得到点A关于点O的对称点A′. 以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点B′，C′. 依次连接A′B′，B'C′，C′A'，就得到与△ABC关于点O对称的△A'B'C'. 总结：作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤： ①连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长； ②找对称点：在延长线上找对称点，使得对称点与对称中心的距离等于相应的关键点与对称中心的距离； ③顺次连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 问题7：如图，△ABC 和△DEF 是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心． 答：方法一：根据观察，C，F 应是对称点， 连接 CF. 用刻度尺找出 CF 的中点 O，点 O 即为所求． 方法二：根据观察，A，D 及 C，F应是两组对称点， 连接 AD，CF，相交于点 O，点 O 即为所求． 总结：确定对称中心的方法： 当两个图形成中心对称时： (1)连接任意一组对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心； (2)连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心． 问题8：说一说中心对称与旋转的联系和区别. 答： 问题9：说一说中心对称与轴对称的联系和区别. 答： 设计意图：落实作图技能训练，巩固中心对称性质；通过对比辨析厘清易混概念，构建完整知识体系，提升归纳总结能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道例题，先由学生独立审题思考，指名学生口述解题思路；教师带领学生结合中心对称性质逐项推理、板书解题步骤，针对易错选项加以强调纠正. 例1 如图所示，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论成立的是( ) ①点A与点A'关于点O对称； ②BO=B'O； ③AC// A'C'； ④ABC=C'A'B' A.①②③ B. ②③④ C.①③④ D.①②④ 分析：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴由中心对称的性质可得，OB=OB'，OC=OC'，点A与点A'关于点O对称， ABC=A'B'C'，CAB=C'A'B'，AC//A'C' ∴①②③正确，④错误. 综上所述，只有选项A正确，故选：A. 答：A 例2 如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝6，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，求△QCP的面积 ． 解：∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点，AB=6， ∴BO = BC=3，AO⊥BC． 在Rt△ABO中，AO． ∵△BPQ与△BAO关于点B中心对称， ∴BQ=BO=3，PQ=AO=，∠Q=∠AOB=90°， ∴CQ=BC+BQ=6+3=9，∴△QCP的面积为S△QCP． 设计意图：通过选择、计算题巩固中心对称性质，锻炼学生识图推理与知识应用能力，及时检验新知掌握情况，突破知识应用难点. · 课堂练习 【教材练习】 1. 图中的两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心. 解：1.在右侧两个四边形中，任选两组相互对应的顶点； 2.分别用直尺连接这两组对应顶点，画出两条线段； 3.两条线段相交得到一个公共点，标记为点O，该点就是两个四边形的对称中心. 原理：利用中心对称性质，所有对称点连线都经过对称中心，两线交点即为中心. 2.分别作出已知图形关于点O对称的图形. 解：已知图形关于点O对称的图形如图所示. 师生活动：教师布置两道教材练习题，学生独立动手画图完成，教师巡视指导作图易错点；之后学生展示成果，师生共同讲评，梳理找对称中心、作中心对称图形的操作步骤. 设计意图：依托基础实操练习，巩固课堂作图方法，强化中心对称性质的应用，培养规范的几何作图习惯，及时查漏补缺. 【限时训练】 1.下图是一个中心对称图形，为对称中心，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由中心对称图形的性质知， ． 故选： 2.若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法正确的是(    ) ①这两个图形一定全等； ②对称点的连线一定经过对称中心； ③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A  【解析】解：①这两个图形一定全等，说法正确； ②对称点的连线一定经过对称中心，说法正确； ③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，说法错误． 故选A． 3.如图，在中，，与关于点成中心对称，连接，，当时，的度数为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为与关于点成中心对称， 所以，，，，三点在同一直线上，，，在同一直线上， 所以四边形为平行四边形， 又因为， 所以平行四边形为矩形， 所以， 又因为， 所以为等边三角形， 所以， 故选C． 4.如图，菱形的对角线、交于点，，，将绕着点旋转得到，则点与点之间的距离为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：菱形的对角线、交于点，，， ，， 绕着点旋转得到， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 则点与点之间的距离为． 故选：． 5.如图，在中，，，边上的中线． 以点为对称中心，作出的中心对称图形； 求点到的距离． 【答案】解：以点为对称中心，作出的中心对称图形，延长到，使，连接，则即是所求的三角形； 由中心对称图形的性质知，，，， ， 为直角三角形，，. 设点到的距离为，由面积公式得 ， ．   师生活动：教师出示分层课堂检测习题，学生限时独立完成；随机抽查学生作答情况，师生逐题分析思路，重点讲解几何综合题，点拨构造中心对称辅助线的解题技巧. 设计意图：由基础概念到综合应用分层训练，全面检测本节课学习效果，训练几何转化思维，提升学生利用中心对称性质解决复杂题型的能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是中心对称？并说一说对称中心和对称点的定义. 3.中心对称有什么性质？ 4.如何利用中心对称的性质作中心对称图形？如何找出对称中心？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：中心对称图形设计师 任务：请结合两个图形成中心对称的概念与性质，按照下列步骤，设计一对成中心对称的图形. 选择基本图形：在方格纸上画一个简单图形(如三角形、四边形、字母、简易图案等)，记作图形 A； 确定对称中心：分别在图形 A 内部、图形 A 上、图形 A 外部任选一点 O 作为对称中心； 作对称图形：作出图形 A 关于点 O 成中心对称的图形 B. 标注并验证性质：标注对称中心 O 和至少两组对应点 A 与 A′、B 与 B′；量一量(或算一算)，哪些线段相等？对应角有什么关系？ 探究：1.指出图形A与图形B中哪些边相等、哪些角相等，据此说明这两个图形全等. 2.任意一组对应点与对称中心存在怎样的位置关系？这说明成中心对称的两个图形具有什么性质？ 3.当对称中心 O 在图形 A 的某一条边上，观察你所画的图形，图形 A 与 B 会有什么特殊位置关系？ 4.中心对称与我们学过的轴对称有什么相同点和不同点？请举出生活中应用中心对称的实例. 学科网（北京）股份有限公司 $