培优练4 直线与抛物线同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

培优练4　直线与抛物线 A级　必备知识基础练 1.若直线y=kx＋2与抛物线y2=x只有一个公共点，则实数k的值为(　　) A．　　 B.0 C．或0　　 D.8或0 2.若F为抛物线C：y2=12x的焦点，直线x=1与抛物线交于A，B两点，则∠AFB为(　　) A．30°　　 B．60° C．120°　　 D．150° 3.(2025扬州高二月考)过点M(6，4)的直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为(　　) A．4　　 B．8 C．16　　 D．24 4.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若PQ的中点到y轴的距离为1，则|PQ|等于(　　) A．4　　 B．5 C．6　　 D．8 5.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)与直线2x－y－4=0交于A，B两点，且|AB|=3．若抛物线C的焦点为F，则|AF|＋|BF|=(　　) A．7　　 B．7 C．6　　 D．5 6.(2025常州高二调研)已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线交于A(位于第一象限)，B两点，直线l与x=－交于点M，若=t，则t=(　　) A．　　 B．－ C．　　 D．－ 7.已知抛物线y2=4x，直线l与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为　　　　． 8.已知直线l与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点． (1)若直线l过点Q(4，1)，且倾斜角为45°，求|AB|的值； (2)若直线l过点Q(4，1)，且弦AB恰被Q平分，求AB所在直线的方程． B级　关键能力提升练 9.已知直线l过点(0，－4)，且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为(　　) A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3 10.已知抛物线C：y2=4x，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则l的方程为(　　) A．x－y－2=0　　 B.2x－y－6=0 C．x＋y－6=0　 D．x－2y=0 11.经过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B．若S△AOB=2(其中O为坐标原点)，则直线l的斜率为　　　　． 12.已知过点M的直线l与抛物线y2=2x交于A，B两点，C(2，0)，则△ABC面积的最小值为　　　　　　． 13.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1=0与抛物线交于A，B两点，且|AB|=． (1)求抛物线的标准方程． (2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． C级　学科素养创新练 14.(多选题)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线C于A，B两点，则(　　) A．抛物线C的准线方程为x=1 B．线段AB的中点在直线y=2上 C．若|AB|=8，则△OAB的面积为2 D．以线段AF为直径的圆一定与y轴相切 15.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，Q(，)在抛物线C上，且|QF|=． (1)求抛物线C的方程及t的值； (2)若过点M(0，t)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且S△AOB=S△M ON，求直线l的方程． 答案： 1.C　解析　当斜率k=0时，直线l：y=2，与抛物线y2=x仅有一个公共点． 当斜率不等于0时，把直线l：y=kx＋2代入抛物线y2=x，得ky2－y＋2=0，由题意可得，此方程有唯一解，故判别式Δ=1－8k=0，可得k=，所以实数k的值为0或．故选C． 2.C　解析　在抛物线C：y2=12x中，当x=1时，可得y=±2，且F(3，0)，不妨设A(1，2)，B(1，－2)，取H(1，0)，如图． ∴tan∠AFH===， ∴∠AFH=60°． 由对称性可知∠AFB=2∠AFH=120°． 3.C　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)=8(x1－x2)， ∴kAB==． ∵AB的中点是M(6，4)， ∴kAB==1. ∴直线AB的方程为y－4=x－6，即x－y－2=0，由得x2－12x＋4=0，则x1＋x2=12，x1x2=4， ∴|AB|=•=16. 故答案为16. 4.A　解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，若PQ的中点到y轴的距离为1，则PQ⊥x轴，∴x1＋x2=2，由焦半径公式得|PQ|=|PF|＋|QF|=x1＋x2＋2=4，故选A． 5.B　解析　由题设，x=＋2，代入抛物线解析式整理可得y2－py－4p=0，所以yA＋yB=p，yAyB=－4p，则|AB|=×=3，则p2＋16p－36=0，可得p=－18(舍)或p=2，故xA＋xB=＋4=5，由抛物线定义知|AF|＋|BF|=xA＋xB＋p=7.故选B． 6.B　解析　由题设，令直线l为y=(x－)，联立抛物线可得3x2－5px＋=0，又A位于第一象限，可得xA=，xB=，而xM=－，由=t，则－－xB=txA＋，即－=2pt，故t=－．故选B． 7.1　解析　由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理可得y2－4my－4t=0，则Δ=16m2＋16t＞0，即m2＋t＞0，且y1＋y2=4m，所以AB的中点的纵坐标为=2m，由题意可得2m=2，解得m=1，所以直线AB的斜率k==1.故答案为1. 8.解　(1)因为直线l的倾斜角为45°，所以直线l的斜率k=tan 45°=1.又因为直线l经过点Q(4，1)，所以直线l的方程为y－1=x－4，即y=x－3. 联立得x2－14x＋9=0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，所以xA＋xB=14，xAxB=9，所以|AB|===8． (2)由点A，B在抛物线上，得=8xA，=8xB． 两式相减，得－=8xA－8xB，则====4，故直线l的斜率为4，所以直线l的方程为y－1=4(x－4)，即4x－y－15=0. 9.D　解析　当直线l平行于x轴时，直线l与抛物线只有一个公共点；当直线l与抛物线的对称轴不平行时，由于(0，－4)在抛物线的外部(与焦点在不同区域)，因此过点(0，－4)的抛物线的切线有两条． 综上，符合要求的直线l有3条．故选D． 10.A　解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为线段AB的中点为(4，2)，则若直线l⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不符合题意，则直线l的斜率存在， 由两式作差可得(y1－y2)(y1＋y2)=4(x1－x2)，所以直线l的斜率为==1， 因此，直线l的方程为y－2=x－4，即x－y－2=0.故选A． 11.±　解析　由已知F(1，0)，且直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，直线方程为y=k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，所以x1＋x2=，x1x2=1，|AB|=|x1－x2|=•=， 又O到直线AB的距离为d=，所以S△AOB=|AB|d=••=2，解得k=±． 所以直线l的斜率为±． 12.　解析　设直线l的方程为x=ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得消去x，得y2－2ty－1=0，所以y1＋y2=2t，y1y2=－1，所以S△ABC=×(2－)×|y 1－y 2|=×=×，所以当t=0时，S△ABC取得最小值，最小值为． 13.解　(1)由题意，设所求抛物线的标准方程为y2=2px(p＞0)， 联立得消去y，得x2－2(1＋p)x＋1=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2=2(1＋p)，x1x2=1. 由|AB|=• =， 得121p2＋242p－48=0， 解得p=或p=－(舍去)， 所以抛物线的标准方程为y2=x． (2)设AB的中点为D，则D(，－)． 假设在x轴上存在满足条件的点C(x0，0)，连接CD(图略)． 因为△ABC为正三角形，所以CD⊥AB，即•(－1)=－1， 解得x0=，所以C(，0)，所以CD==． 又CD=AB=≠， 所以在x轴上不存在一点C，使△ABC为正三角形． 14.BCD　解析　对于A选项，抛物线C的准线方程为x=－1，A错；对于B选项，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，则两式作差得(y1－y2)(y1＋y2)=4(x1－x2)，可得==1，所以y1＋y2=4，故y0==2，B对；对于C选项，设直线AB的方程为y=x＋b，联立得可得x2＋(2b－4)x＋b2=0，Δ=4(b－2)2－4b2＞0，解得b＜1，由根与系数的关系可得x1＋x2=4－2b，x1x2=b2，|AB|=•=×4=8，解得b=－1，点O到直线l的距离为d==，故S△AOB=|AB|•d=×8×=2，C对；对于D选项，设线段AF的中点为N(x3，y3)，则x3=，由抛物线的定义可得|AF|=x1＋1=2×，即|AF|等于点N到y轴距离的两倍，所以以线段AF为直径的圆一定与y轴相切，D对．故选BCD． 15.解　(1)因为抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，则其准线方程为x=－．又Q(， )在抛物线C上， 由抛物线的定义知|QF|=－(－)=，解得p=2，即抛物线C的方程为y2=4x．将Q(， )的坐标代入y2=4x，得t=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，t的值为2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由(1)知M(0，2)，显然直线l的斜率存在，设直线l：y=kx＋2， 由消去y，得k2x2－4(1－k)x＋4=0，显然k≠0，Δ=16•(1－k)2－16k2=16(1－2k)＞0， 解得k＜，且k≠0，于是得x1＋x2=，x1x2=． 而S△AOB=S△M ON，且点A，B，M，N都在直线l上，从而得|AB|=|MN|，则有|x1－x2|=•|x0－0|． 又N是AB的中点，即x0=，从而得|x1－x2|=|x1＋x2|，即(x1＋x2)2－4x1x2=(x1＋x2)2，整理，得(x1＋x2)2=16x1x2， 故有[]2=，解得k=－1或k=，均满足题意，所以直线l的方程为y=－x＋2或y=x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $