3.3.1 抛物线的标准方程 分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.3.1　抛物线的标准方程 一、基础达标练 1.已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1,则抛物线的标准方程为(　　) A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x 2.已知抛物线x2=32y的焦点为F,抛物线上一点A满足|AF|=10,则直线AF的斜率为(　　) A.- B. C.± D.± 3.已知F是抛物线C:y2=2px的焦点,直线y=x+m与抛物线C交于A,B两点,且|FA|+|FB|=8,则下列结论正确的是(　　) A.3p-2m=8 B.3p+2m=8 C.2m-3p=8 D.3m+2p=8 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点.若A(2,3),则|MF|+|MA|的最小值为(　　) A.8 B.6 C.5 D.4 5.若抛物线x2=16y上一点(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍,则y0=　　　　. 6.如果点M(5,3)到抛物线x2=ay的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是　　　　. 7.已知点P与点F的距离比它到直线y+3=0的距离小2. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)若轨迹C上有两点A,B在第一象限,且|AF|-|BF|=2,|AB|=3,求证:直线AB的斜率是. 二、能力提升练 8.某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4 m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下:在水池中心竖直安装一根高出水面为2 m的喷水管(水管半径忽略不计),它喷出的水柱呈抛物线型,要求水柱在与水池中心水平距离为 m处达到最高,且水柱刚好落在池内,则水柱的最大高度为(　　) A. m B. m C. m D. m 9.已知抛物线C:y2=x的准线为l,点A的坐标为(1,0),点P在抛物线上,点P到直线l的距离为d,则|PA|-d的最大值为　　　　　.  10.已知点M为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,若点M到两定点A(p,p),F的距离之和最小,则点M的坐标为　　　　　.  11.如图,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的某一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m. (1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程; (2)若行车道总宽度AB为7 m,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米. 三、拓展探究练 12.一抛物线型的拱桥如图所示,桥的跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m用一个柱子支撑,则支柱A2B2的长度为　　　　　m.  13.我们知道:用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥,则平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分.如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点.已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分,则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于　　　　　.  14.如图,已知点P,抛物线x2=2py的焦点是F,A,B是抛物线上两点,四边形FAPB是矩形. (1)求抛物线的方程; (2)求矩形FAPB的面积. 参考答案 1.C　2.C　3.A　 4.D　解析 由题意,得p=4. 如图,设M,A在准线l:x=-2上的射影分别为M1,A1, 则|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|≥|AA1|=2+2=4,当且仅当A1,M,A共线时取得等号.所以所求最小值是4. 5.2　 6.x2=12y或x2=-36y 7.(1)解 因为点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+3=0的距离小2,所以点P到点F(0,1)的距离与它到直线y+1=0的距离相等,所以点P的轨迹C是以F(0,1)为焦点,以直线y+1=0为准线的抛物线.故轨迹C的方程为x2=4y. (2)证明 如图,设A,B在准线上的投影分别为A1,B1,连接AA1,BB1,过点B作BM⊥BB1交AA1于点M. 因为|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,又|AF|-|BF|=2, 所以|AA1|-|BB1|=|AM|=2. 因为|AB|=3,所以|BM|=.故直线AB的斜率是k=. 8.C　解析 取一截面建系如图, 设抛物线方程为x2=-2py(p>0),记最大高度为h.依题意,知A(-1.5,2-h),B(2.5,-h)在抛物线上, 故解得h= m. 9.　解析 抛物线C:y2=x的焦点F(,0),依题意,d=|PF|,则|PA|-d=|PA|-|PF|≤|AF|=, 当且仅当点P,F,A共线,即点P为抛物线顶点时取“=”,所以|PA|-d的最大值为. 10.(,p)　解析 如图,过点M作抛物线准线的垂线,垂足为B. 由抛物线的定义,知点M到焦点F(,0)的距离与点M到准线的距离相等,即MF=MB,所以MF+MA=MB+MA. 易知当A,B,M三点共线时,MB+MA取得最小值,所以(MF+MA)min=AB=,此时点M的坐标为(,p). 11.解 (1)根据题意可设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),结合图象,可得点C的坐标为(5,-5). 因为点C(5,-5)在抛物线上,所以52=-2p×(-5),解得-2p=-5,所以该抛物线的方程为x2=-5y. (2)设车辆高为h m, 过点B作x轴的垂线交抛物线于点D,则DB=h+0.5, 故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以通过隧道的车辆限制高度为4.05 m. 12.　解析 如图1,设AB,CD的交点为O,连接PO. 图1 由题意,得PO⊥平面AB,所以PO⊥OB. 由OB=OP=OC=2,E是母线PB的中点,得OE=. 如图2,以E为坐标原点,OE为x轴,垂直于BP的方向为y轴,建立平面直角坐标系,则C(-,2). 图2 设抛物线的方程为y2=mx,将点C的坐标代入,得4=-m, 则m=-2,所以抛物线的方程为y2=-2x,所以焦点坐标为(-,0),准线方程为x=, 所以焦点到其准线的距离为. 13.3.84　解析 建立如图所示的平面直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上. 可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0). 因为桥的跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,所以A(-10,-4),A2(-2,-4), 代入标准方程,得(-10)2=-2p×(-4),解得2p=25,所以抛物线的标准方程为x2=-25y. 把点B2的横坐标-2代入x2=-25y,得(-2)2=-25y,解得y=-=-0.16. 支柱A2B2的长度为|(-0.16)-(-4)|=3.84(m). 14.解 (1)因为抛物线x2=2py的焦点是F(0,1),所以=1, 解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y. (2)设A(2t1,),B(2t2,).因为四边形FAPB是矩形,所以,且=0,即=3,且2t1·2t2+(-1)(-1)=0,所以t1+t2=,t1t2=-3,且t4-16t2-512=0,所以(t2-32)·(t2+16)=0,解得t2=32, t1t2=1.由抛物线的定义得|FA|=+1,|FB|=+1,所以矩形FAPB的面积为S=|FA|·|FB|=(+1)(+1)=+1=1+6+1=8. 7 学科网（北京）股份有限公司 $