3.3.2　抛物线的几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到创新拓展，适配新授课知识巩固与学科素养提升，体现“三会”核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|抛物线标准方程、焦点、准线等基础概念|含太阳灶、河流等实际情境题，强化数学眼光观察现实世界| |B级|距离公式、焦点弦、定义应用等综合知识|飞行器轨迹问题融合逻辑推理，培养数学思维| |C级|直线与抛物线综合、光学性质等创新内容|光学性质最小距离题，提升数学语言表达与创新意识|

3.3.2　抛物线的几何性质 A级　必备知识基础练 1.下列关于抛物线y=2x2的描述中正确的是(　　) A．开口向上，焦点坐标为(0，) B．开口向右，焦点坐标为(0，) C．开口向上，焦点坐标为(0，) D．开口向右，焦点坐标为(0，) 2.若抛物线y2=2mx的焦点与圆x2＋y2－4x=0的圆心重合，则m的值为(　　) A．－2　　 B．2　　 C．－4　　 D．4 3.(2025无锡高二月考)若抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2)在抛物线上，则抛物线的方程为(　　) A．y2=－2x　　 B．y2=－4x C．y2=2x　　 D．y2=4x 4.若抛物线y2=2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若AB=2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 5.已知点M(4，y0)在抛物线C：y2=2px(p＞0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则△OFM的面积为(　　) A．1　　 B．2　　 C．　　 D．2 6.一条光线从抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线(光线从焦点射出，则其反射光线平行于抛物线的对称轴)经过点A(5，4)，若|AB|＋|FB|=6，则抛物线的标准方程为　　　　． 7.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面型的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的焦点位置； (2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求容器的每根钢筋的长度． 8.如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4 km，城镇P位于点O的北偏东30°处，|OP|=10 km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网． (1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程； (2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案(作出图形，在图中标出此时码头Q的位置)，并求公路总长的最小值(结果精确到0.001 km)． B级　关键能力提升练 9.抛物线y2=－x上的点到直线x＋y－1=0的最短距离是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 10.抛物线Γ：x2=4y，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若|PF|=|QF|，则△PFQ的面积为(　　) A．4　　 B．2　　 C．4　　 D．8 11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．若|AF|=4|BF|，则AB的中点到准线的距离为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 12.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作l的垂线交l于点E，且∠PFE=60°，|PF|=6，则抛物线C的方程为　　　　　　　　． 13.如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处．已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪声污染，距离该飞行器1千米以内(含边界)为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪声污染就会减弱1级，直至0级为无噪声污染(飞行器的大小及高度均忽略不计)． (1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪声污染？ (2)小镇B受该飞行器噪声污染的最强等级为多少级？ C级　学科素养创新练 14.(2025泰州高二质检)设抛物线E：y2=8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|=3，则△BCF与△ACF的面积之比=(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 15.抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为y2=2px(p＞0)，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为y2=4x，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为　　　　． 答案： 1.A　解析　由抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，)．故选A． 2.D　解析　由抛物线方程y2=2mx可知其焦点为(，0)，将圆的方程变形为(x－2)2＋y2=4，可知其圆心为(2，0)，根据题意可得=2，所以m=4. 3.B　解析　根据题意，设抛物线的方程为y2=mx(m≠0)，因为点(－5，2)在抛物线上，所以20=－5m，解得m=－4，所以抛物线的方程是y2=－4x，故选B． 4.A　解析　易得线段AB所在的直线方程为x=1，又抛物线的焦点坐标为(，0)，所以焦点到直线AB的距离为1－=． 5.B　解析　由题意得，抛物线的准线方程为x=－，焦点F(，0)，由抛物线的性质知点M到焦点的距离等于到准线的距离，可得5=4＋，解得p=2，即抛物线的方程为y2=4x，焦点F为(1，0)，将M代入抛物线方程可得=16，解得|y0|=4，所以S△OFM=OF•|y0|=×1×4=2. 6.y2=4x　解析　因为|AB|＋|FB|=6，所以5＋=6，解得p=2，所以抛物线的标准方程为y2=4x． 7.解　(1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得点A坐标是(2，6)，设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，则36=2p×2，解得p=9，则抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F(4.5，0)，所以焦点在经过抛物面顶点且与镜口圆面垂直的直线上，距顶点4.5 m的抛物面内部． (2)因为盛水的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根钢筋长， 所以每根钢筋长为2＋=2＋4.5=6.5 m． 8.解　(1)如图，建立平面直角坐标系，由题意得，=0.4，则抛物线C：y2=1.6x． (2)如图，设抛物线C的焦点为F，则F(0.4，0)，连接PF，与抛物线交于点Q． ∵城镇P位于点O的北偏东30°处，|OP|=10 km，∴P(5，5)， 根据抛物线的定义知，公路总长=|Q′F|＋|Q′P|≥|PF|=≈9.806. 当Q′与Q重合时，公路总长最小，最小值为9.806 km． 9.B　解析　设抛物线y2=－x上点P坐标为(－m2，m)，则点P到直线x＋y－1=0的距离d==|－(m－)2－|=|(m－)2＋|≥． ∴当m=，即点P坐标为(－，)时，d取得最小值，为．故选B． 10.C　解析　抛物线的准线方程为y=－1，焦点为F(0，1)．设点P的坐标为(m，n)，则点Q的坐标为(m，－1)，|PQ|=n＋1.由抛物线的定义，知|PF|=|PQ|=n＋1. 因为|PF|=|QF|=，△PFQ为等边三角形，所以n＋1=．又n=m2，所以m=±2，n=3，所以点P的坐标为(±2，3)，所以|PF|=4， 所以S△PFQ=×2×4=4． 11.C　解析　如图，设抛物线的准线交x轴于点N，AB的中点为P，过A，B，P作准线的垂线，使得AC⊥CD，BD⊥CD，PQ⊥CD，BE⊥AC，BE⊥x轴于点M．设|BF|=t，则|BD|=t，|AF|=|AC|=4t，|AE|=3t．又=，则|MF|=． 又|MN|=t，则|FN|==p=2，即t=，则|PQ|===． 12.y2=6x　解析　如图，设准线与x轴的交点为H，准线方程为x=－，焦点为(，0)． 由抛物线的定义知|PE|=|PF|，又∠PFE=60°，所以△PFE为等边三角形，且∠FEH=30°，所以|EF|=|PF|=6，则|HF|=|EF|=3.又因为|HF|=p，所以p=3，故抛物线C的方程为y2=6x． 13.解　(1)由题设，构建以EF的中点O为原点，过O平行于AE的直线为x轴，BE为y轴的直角坐标系，如图所示，∴A(－8，2)，B(0，－10)，E(0，2)，F(0，－2)，O(0，0)，要使新型飞行器在试飞过程中到F和到直线AE的距离始终相等，∴其轨迹为以AE为准线，F为焦点的抛物线，故轨迹方程为x2=－8y，∴O在轨迹上，即该飞行器经过线段EF的中点O， 连接AF，交抛物线于P，而|FA|==4， ∴|PA|=|FA|－|PF|=4－|PF|＜10千米，故小镇A会受到该飞行器的噪声污染． (2)设飞行器P的坐标为(x，y)， ∴|PB|===，又y≤0， ∴当y=－6时，|PB|min=8千米，故小镇B受该飞行器噪声污染的最强等级为3级． 14.C　解析　如图，过点B作BD垂直准线x=－2于点D， 则由抛物线定义可知|BF|=|BD|=3，设直线AB为x=my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨设m＞0，则y1＞0，y2＜0，所以x2＋2=3，解得x2=1，则=8x2=8，解得y2=－2，则B(1，－2)，所以－2m＋4=1，解得m=，则直线AB为x=y＋4，所以当x=－2时，即y＋4=－2，解得yC=－4，则C(－2，－4)，联立x=my＋4与y2=8x得y2－8my－32=0，则y1y2=－32，所以y1=8，其中====．故选C． 15.4　解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，两条平行光线的距离为d，由题意可知d=|y1－y2|，因为F(1，0)，直线PQ过点F，所以可设直线PQ的方程为x=my＋1，m∈R， 由消去x得y2－4my－4=0，则y1＋y2=4m，y1y2=－4， 则d=|y1－y2|==4≥4，当且仅当m=0时取等号，所以两条平行光线的最小距离为4. 故答案为4. 学科网（北京）股份有限公司 $