培优练3 直线与椭圆同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

培优练3　直线与椭圆 A级　必备知识基础练 1.直线＋=1与椭圆＋=1(a＞b＞0)的位置关系为(　　) A．相离　　 B．相切 C．相交　　 D．无法确定 2.已知直线l：y=x＋m与椭圆C：＋=1有公共点，则m的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．[－3，3] C．(－∞，－2]⋃[2，＋∞) D．(－∞，－3]⋃[3，＋∞) 3.(2025常州高二质检)已知直线l：y=kx＋1，椭圆C：＋y2=1，则“k=0”是“l与C相切”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4.(2025无锡高二质检)经过椭圆＋y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为(　　) A．　　 B． C．2　　 D． 5.(2025泰州高二质检)焦距为2，并且截直线y=2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为(　　) A．x2＋=1 B．x2＋3y2=1 C．＋=1 D．x2＋=1或＋y2=1 6.椭圆＋=1上的点到直线l：x－2y－12=0距离的最小值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 7.(多选题)已知椭圆E：＋=1的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A．若直线l垂直于x轴，则|AB|= B．|AB|∈[，6] C．若|AB|=5，则直线l的斜率为 D．若|AF|=2|BF|，则|AB|= B级　关键能力提升练 8.(多选题)已知椭圆C：＋=1的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P(－，)为线段MN的中点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的离心率为 B．椭圆上不存在点Q使得∠F1QF2=90° C．直线l的方程为x－y＋1=0 D．△F1MN的周长为4 9.已知椭圆C：＋y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m=(　　) A．－3 B．－或－3 C．－ D．－ 10.已知椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)，过点A(－a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为． (1)求椭圆的方程． (2)对于D(－1，0)，是否存在实数k，使得直线y=kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． C级　学科素养创新练 11.已知离心率为的椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆E上，且△MF1F2的周长为4＋2． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点(1，0)的直线l与椭圆E交于C，D两点(不同于左、右顶点)，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，证明：为定值． 答案： 1.C　解析　因为直线＋=1过点(a，0)，(0，b)，而(a，0)，(0，b)为椭圆＋=1(a＞b＞0)的右端点和上端点，故直线＋=1与椭圆＋=1(a＞b＞0)相交．故选C． 2.B　解析　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得消去y得9x2＋10mx＋5m2－20=0①， 因为直线l与椭圆C有公共点，所以方程①有实数根，则Δ=(10m)2－36(5m2－20)≥0，得－3≤m≤3.故选B． 3.C　解析　当k=0时，直线l：y=1，直线与椭圆相切，当“l与C相切”时，联立有(4k2＋1)x2＋8kx=0，令Δ=(8k)2－4×(4k2＋1)×0=0，有k=0，所以k=0是直线与椭圆相切的充要条件．故选C． 4.B　解析　在＋y2=1中，a2=2，b2=1，所以c2=a2－b2=1，即c=1，故左焦点为F1(－1，0)，而tan 60°=，故直线l的方程为y=(x＋1)，联立＋y2=1得7x2＋12x＋4=0，Δ=122－4×7×4＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2=－，x1x2=，则由弦长公式得|AB|=•=．故选B． 5.A　解析　设椭圆方程为＋=1，且m＞0，n＞0，m≠n． 设直线y=2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知=，即x1＋x2=， 所以y1＋y2=(2x1－1)＋(2x2－1)=2(x1＋x2)－2=2×－2=－，又A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，可得两式相减得＋=0，整理得=－，则•=•，所以=，又直线y=2x－1的斜率为2，所以2=，即n=3m，所以n＞m，椭圆＋=1的焦距为2，所以c=，则a2=b2＋c2=b2＋2， 故可得解得故椭圆的标准方程为x2＋=1.故选A． 6.B　解析　设与直线x－2y－12=0平行且与椭圆相切的直线方程为x－2y＋m=0， 联立方程消去x，整理得16y2－12my＋3m2－48=0，所以Δ=144m2－64(3m2－48)=0，解得m=±8，当m=－8时，两平行直线的距离为=，当m=8时，两平行直线的距离为=4． 所以最小值为．故选B． 7.BD　解析　依题意，椭圆E：＋=1的左焦点为F(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于A选项，l⊥x轴，直线l：x=－2，由得|y|=，则|AB|=，A选项错误； 对于B选项，l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x＋2)， 由消去y并整理可得(9k2＋5)x2＋36k2x＋36k2－45=0， 则x1＋x2=，x1x2=，|AB|=•=•==，显然k2＋1≥1，0＜≤4，于是得＜|AB|≤6，由选项A知，当l⊥x轴时，|AB|=，因此≤|AB|≤6，B选项正确； 对于C，当|AB|=5时，由选项B得=5，解得k=±，C选项错误； 对于D，因为|AF|=2|BF|，有=2，则x1＋2=2(－2－x2)，即x1＋2x2=－6，而－3≤x1≤3， |FA|====3＋x1， 同理|FB|=3＋x2，则有3＋x1=2(3＋x2)，即x1－2x2=，于是得x2=－，因此|AB|=|AF|＋|BF|=3|BF|=3(3＋x2)=，D选项正确．故选BD． 8.BCD　解析　椭圆C：＋=1的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0，1)，则a2=m2，b2=2，c2=a2－b2=m2－2=1，可得m2=3，故a=，对于A，椭圆的离心率为e===，A错误； 对于B，假设在椭圆上存在点Q(x，y)，使得∠F1QF2=90°，且x2=2－，=(x，y＋1)，=(x，y－1)，∴•=x2＋y2－1=2－＋y2－1=＋1=0，在实数范围内无解， ∴椭圆上不存在点Q使得∠F1QF2=90°，B正确； 对于C，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意可得 若直线MN的斜率不存在，则线段MN的中点在x轴上，不合乎题意， 所以直线MN的斜率存在，则由 可得=－， 即=－，所以直线MN的斜率为kMN==1，因此直线l的方程为y－=x＋，即x－y＋1=0，C正确； 对于D，因为0－1＋1=0，所以直线l过椭圆的上焦点F2，所以△F1MN的周长为|F1M|＋|MN|＋|F1N|=|F1M|＋|F2M|＋|F2N|＋|F1N|=4a=4，D正确．故选BCD． 9.C　解析　设直线y=x＋m与x轴的交点为M，则M(－m，0)． 所以S△F1AB=|MF1||yA－yB|，S△F2AB=|MF2||yA－yB|． 因为S△F1AB=2S△F2AB， 所以|MF1|=2|MF2|． 由＋y2=1得c=，即F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|=2． 所以|－＋m|=2|＋m|，解得m=－或－3． 因为y=x＋m与C有两个交点，联立消去y得4x2＋6mx＋3m2－3=0，则Δ=36m2－16(3m2－3)＞0，解得m2＜4.所以m=－．故选C． 10.解　(1)因为过点A(－a，0)，B(0，b)的直线的倾斜角为， 所以=tan，即=， 过点A(－a，0)，B(0，b)的直线方程为y=(x＋a)，故原点到该直线的距离为=，解得a=，故b=1，所以椭圆的方程是＋y2=1. (2)不存在． 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将y=kx＋2代入＋y2=1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9=0， 则Δ=144k2－36(3k2＋1)＞0，解得k＞1或k＜－1， 设PQ的中点为M，则xM==－，yM=kxM＋2=． 由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ， ∴kDM===－， ∴3k2－4k＋1=0，得k=1或k=，由于k＞1或k＜－1，故k=1，k=均使方程没有两相异实根， ∴满足条件的k不存在． 11.解　(1)设椭圆E的方程为＋=1(a＞b＞0)， 由题意可知解得 所以椭圆E的方程为＋=1. (2)由题意知直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x=my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 联立方程组得(m2＋2)y2＋2my－3=0， ①÷②得，==，所以my1y2=，=======，所以为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $