1.4　两条直线的交点同步练2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A级基础巩固、B级能力提升、C级创新拓展的三层设计，构建从单一知识点到综合应用的递进路径，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|交点坐标计算、垂直关系判定、直线方程求解|以选择、填空为主，如直接求两直线交点（第1题）、利用垂直求参数（第5题），夯实概念理解与运算能力| |B级|射线交点范围、欧拉线应用、线段相交条件|结合几何情境，如欧拉线求外心（第10题）、直线与线段恒相交求参数范围（第11题），培养推理意识与空间观念| |C级|多直线位置关系、定点与面积最值|设置开放性问题，如不能构成三角形的参数讨论（第14题）、定点相交面积最值（第15题），发展创新意识与模型观念|

1.4　两条直线的交点 A级　必备知识基础练 1.直线x－2y－6=0与直线2x＋y－2=0的交点坐标为(　　) A．(0，－3)　　 B．(1，0) C．(3，－4)　　 D．(2，－2) 2.(2025淮安高二月考)若直线l1：Ax＋3y＋C=0与l2：2x－3y＋4=0的交点在y轴上，则C的值为(　　) A．4　　 B．－4 C．4或－4　　 D．与A的取值有关 3.过直线l1：3x＋y－1=0与l2：x＋2y－7=0的交点，且与直线l1垂直的直线方程是(　　) A．x－3y＋7=0　　 B．x－3y＋13=0 C．x－3y＋6=0　　 D．x－3y＋5=0 4.(2025连云港高二月考)若三条直线2x＋3y＋8=0，x＋y＋1=0，x＋ky=0相交于一点，则实数k的值为(　　) A．－2　　 B．　　 C．2　　 D． 5.(2025通州月考)已知直线ax＋2y－1=0与直线2x－5y＋c=0垂直，且相交于点(1，m)，则m=　　　　． 6.若直线l1：y=kx＋k＋2与直线l2：y=－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是　　 ． 7.判断直线l1：nx－y=n－1，l2：ny－x=2n的位置关系．如果相交，求出交点坐标． 8.已知直线l经过直线l1：2x－y=0和l2：x＋2y－5=0的交点，且　　　　　　． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形的面积． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． ①与直线x＋3y＋2=0垂直； ②直线l在y轴上的截距为－1. B级　关键能力提升练 9.已知直线l1：mx－y＋m－1=0与射线l2：x－y－2=0(x≥0)恒有公共点，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1］⋃(1，＋∞) B．(－∞，－1］⋃［1，＋∞) C．［－1，1) D．［－1，1］ 10.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在△ABC中，已知A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2=0，则△ABC外心F的坐标为(　　) A．(－1，1)　　 B．(1，1) C．(1，－1)　　 D．(－1，－1) 11.(2025盐城高二调研)已知A(－2，4)，B(4，2)，直线l：ax－y－2=0与线段AB恒相交，则a的取值范围为　　　　． 12.已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则顶点A的坐标为　　　　． 13.已知直线l：(2m＋1)x＋(3－4m)y＋10m－15=0(m∈R)．证明：无论m取何值，直线l与直线x－2y＋5=0总相交． C级　学科素养创新练 14.若两直线(m＋2)x－y＋m=0，x＋y=0与x轴相交且不能构成三角形，则符合条件的所有m的和为　　　　． 15.已知直线l1：y=mx＋1，l2：x=－my＋1相交于点P，其中≤1. (1)求证：l1，l2分别过定点A，B，并求点A，B的坐标． (2)当m为何值时，△ABP的面积S取得最大值？并求出最大值． 答案： 1.D　解析　由解得则交点坐标为(2，－2)．故选D． 2.B　解析　两条直线的纵截距相等，即－=，所以C=－4，故选B． 3.B　解析　方法一　由可得直线3x＋y－1=0与x＋2y－7=0的交点为(－1，4)，与直线3x＋y－1=0垂直的直线斜率为，由点斜式得直线方程为y－4=(x＋1)，即x－3y＋13=0. 方法二　设所求的直线方程为3x＋y－1＋λ(x＋2y－7)=0，即(3＋λ)x＋(1＋2λ)y－1－7λ=0. 因为它与直线l1垂直，所以3(3＋λ)＋1(1＋2λ)=0，即λ=－2，故所求的直线方程为x－3y＋13=0. 4.B　解析　设三条直线交于一点P，则直线2x＋3y＋8=0，x＋y＋1=0交于点P，联立解得即P(5，－6)，∵直线x＋ky=0过点P，即5－6k=0，∴k=．故选B． 5.－2　解析　由两直线垂直得2a－10=0，解得a=5. 又点(1，m)在直线5x＋2y－1=0上， 所以5＋2m－1=0，所以m=－2. 6.－＜k＜2　解析　如图所示，直线l1恒过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限，则l1必通过线段AB上的点(不包括A，B)，由于kPA=－，kPB=2，所以－＜k＜2. 7.解　当n=－1时，l1：x＋y－2=0，l2：x＋y－2=0，联立方程组有无数组解，故两直线重合；当n=1时，l1：x－y=0，l2：x－y＋2=0， 联立方程组无解，故两直线平行；当n≠±1，联立解得所以两直线相交，交点坐标为(，)． 综上所述，当n=－1时，两直线重合；当n=1时，两直线平行；当n≠±1时，两直线相交，交点坐标为(，)． 8.解　(1)若选条件①， 由解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，2)． 设直线l的方程为3x－y＋λ=0，将点(1，2)代入直线l的方程，得3－2＋λ=0，解得λ=－1. 所以直线l的方程为3x－y－1=0. 若选条件②， 由解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，2)． 因为直线l在y轴上的截距为－1，所以直线l经过点(0，－1)， 所以直线l的斜率k==3， 所以直线l的方程为y－2=3(x－1)，即3x－y－1=0. (2)在直线l的方程3x－y－1=0中， 令x=0，得y=－1；令y=0，得x=， 所以直线l与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，－1)， 所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=×||×|－1|=． 9.C　解析　联立得x=． ∵直线l1：mx－y＋m－1=0与射线l2：x－y－2=0(x≥0)恒有公共点， ∴x=≥0，且m≠1，解得－1≤m＜1， ∴m的取值范围是[－1，1)．故选C． 10.A　解析　∵AB中点为M(1，2)且kAB==－2，∴AB垂直平分线方程为y－2=(x－1)，即x－2y＋3=0，由得即外心F(－1，1)． 11.(－∞，－3]⋃[1，＋∞)　解析　如图所示，直线l：ax－y－2=0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：ax－y－2=0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a≥=1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2=0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a≤=－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]⋃[1，＋∞)． 12.(－19，－62)　解析　依题意，直线BH的斜率k1==－，而BH⊥AC，则直线AC的方程为y－3=5(x＋6)，即y=5x＋33.直线CH的斜率k2==－，而CH⊥AB，则直线AB的方程为y－1=3(x－2)，即y=3x－5，由解得所以顶点A的坐标是(－19，－62)． 13.证明　直线l：(2m＋1)x＋(3－4m)y＋10m－15=0(m∈R)的方程可化为(2x－4y＋10)m＋x＋3y－15=0.令解得故直线l经过定点(3，4)．当直线l的斜率不存在时，方程为x=3，显然与x－2y＋5=0相交；当直线l的斜率存在时，直线l的斜率为=≠，故直线l与直线x－2y＋5=0不重合．又因为(3，4)满足x－2y＋5=0，即(3，4)是直线x－2y＋5=0上一点，所以(3，4)是直线l与直线x－2y＋5=0的公共点，综上，无论m取何值，直线l与直线x－2y＋5=0总相交． 14.－5　解析　由题知，三条直线相交于同一个点时，此时m=0，此时不能构成三角形；直线(m＋2)x－y＋m=0整理得m(x＋1)＋(2x－y)=0，由解得即直线(m＋2)x－y＋m=0经过定点(－1，－2)，当直线(m＋2)x－y＋m=0的斜率k=m＋2=0，即m=－2时，此时直线y=－2，x＋y=0与x轴不能构成三角形；当直线(m＋2)x－y＋m=0与直线x＋y=0平行时，即m=－3时，三条直线不能构成三角形．综上，两直线(m＋2)x－y＋m=0，x＋y=0与x轴相交且不能构成三角形的m的取值为m=0或m=－2或m=－3. 故答案为－5. 15.(1)证明　在直线l1的方程中，令x=0可得y=1，则直线l1过定点A(0，1)；在直线l2的方程中，令y=0可得x=1，则直线l2过定点B(1，0)． (2)解　联立直线l1，l2的方程得解得 即点P(，)， 则AP==， BP==． 因为－1≤m≤1，直线l1，l2互相垂直，所以S=AP•BP===－1)．因为S=－1)且－1≤m≤1，所以当m=0时，S取得最大值，即Smax=． 学科网（北京）股份有限公司 $