精品解析：江西吉安市吉安县文博学校2026-2027学年八年级上学期数学第一次阶段学情自测

八年级数学（一） 说明： 1．范围：1.1-2.2． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 已知是整数，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6. 如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（ ）． A. 10海里 B. 12海里 C. 16海里 D. 20海里 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 169的算术平方根是______． 8. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 10. 小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 11. 如图，点E在正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，AB＝10，则阴影部分的面积为___________． 12. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动．当点运动_______秒时，为等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列问题： （1）求的值：； （2）在中，，，，判断的形状，并说明理由． 14. 在中，，，，分别表示，，的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求（用含的式子表示）． 15. 已知的立方根是，是的算术平方根． （1）求的值； （2）求的平方根． 16. 如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，求的面积． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点． （1）在图中，以格点为顶点画一个等腰直角三角形，使它的斜边长为； （2）（1）中所画等腰直角三角形的面积为_______． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． （1）当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； （2）如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 19. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求，两点之间的距离； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 20. 小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． （1）根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：； （2）如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 22. 综合与实践：探索“如何在数轴上表示无理数” （1）操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． 大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为_______； （2）操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴分别交于点，点． 点表示的数为_______；点表示的数为_______； （3）操作三：在数轴上用记号笔标出点的位置，表示数3的点记为点，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． ①______；______； ②如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 六、解答题（本大题共12分） 23. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（一） 说明： 1．范围：1.1-2.2． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：选项A：是无限循环小数，属于有理数，不符合题意； 选项B：，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 选项C：是分数，属于有理数，不符合题意； 选项D：是整数，属于有理数，不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根号前面没有正负号，是算术平方根，结果；是平方根，有一正一负两个值，进行求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故答案为C． 3. 在中，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， 在中， ． 4. 已知是整数，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是整数，且， ∴． 5. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式得，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， ∴． 6. 如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（ ）． A. 10海里 B. 12海里 C. 16海里 D. 20海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海， ∴， 小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 169的算术平方根是______． 【答案】13 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：==13． 故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义：如果一个数的平方等于A，那么这个数就叫做A的平方根，其中非负的平方根叫做这个数的算术平方根． 8. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】利用夹逼法得到，即得，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 10. 小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 的倒数为4， 然后得到， ∴输出的数为． 11. 如图，点E在正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，AB＝10，则阴影部分的面积为___________． 【答案】76 【解析】 【分析】先判断△ABE是直角三角形，再用正方形的面积减去Rt△ABE的面积即可求解． 【详解】在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102， ∴△ABE是直角三角形， ∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE =AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76． 故答案为：76． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，理解并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键． 12. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒的速度沿射线的方向运动．当点运动_______秒时，为等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求出，设点运动秒时，为等腰三角形，有，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐一求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 设点运动秒时，为等腰三角形，有， ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ②当时，如图， ∵，， ∴， 即 ， 解得， ③当时，如图， ∴， 解得， 综上所述，的值为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列问题： （1）求的值：； （2）在中，，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：是直角三角形． 理由如下：∵在中，，，， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，求解即可得到的值； （2）本题主要考查了勾股定理的逆定理，由，，，可得出，即可得出是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 略 14. 在中，，，，分别表示，，的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴． 15. 已知的立方根是，是的算术平方根． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的概念可得，，求出的值，再代入求值即可； （2）把的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是， ∴， ∴； ∵是的算术平方根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ， ∴的平方根是． 16. 如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出，设，则，对运用勾股定理建立方程求解，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点． （1）在图中，以格点为顶点画一个等腰直角三角形，使它的斜边长为； （2）（1）中所画等腰直角三角形的面积为_______． 【答案】（1）如下图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）在正方形网格中作直角边为5的等腰直角三角形，结合勾股定理，即可获得答案； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：图略， 由图可知，，且， ∴斜边，故作图符合要求； 【小问2详解】 ∵，且， ∴该等腰直角三角形的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． （1）当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； （2）如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）图1中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得搅拌棒至少需要； 【小问2详解】 解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 19. 某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求，两点之间的距离； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】（1），两点之间的距离为 （2）海港不受台风影响，理由如下： 过点作于， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港不受台风影响． 【解析】 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【小问1详解】 解：， ， ，， ； 【小问2详解】 略 20. 小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． （1）根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【小问1详解】 解：由题意得，若，那么； 若，那么； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． （1）求证：； （2）如果， ①求证：； ②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】（1） 证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上， ∴， ∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E． ∴， ∴，， ∴； （2） 在和中 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形的面积 ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出； （2）证明即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的推导，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及勾股定理的公式是解题的关键． 22. 综合与实践：探索“如何在数轴上表示无理数” （1）操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． 大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为_______； （2）操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴分别交于点，点． 点表示的数为_______；点表示的数为_______； （3）操作三：在数轴上用记号笔标出点的位置，表示数3的点记为点，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． ①______；______； ②如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】（1）；； （2）；； （3）①；；②． 【解析】 【分析】（1）大正方形的面积是两个小正方形面积之和，小正方形的对角线可用勾股定理求出； （2）小正方形的对角线长为，故，再由两点在数轴上的位置即可确定表示的数； （3）①由（2）可知，根据线段和差关系求出；②根据对折可知，从而求出的长即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积为， 小正方形对角线长为； 【小问2详解】 解：小正方形的对角线长为， ， 点在原点右侧，点在原点左侧， 点表示的数为，点表示的数为； 【小问3详解】 解：①由（2）可知， ， ； ②由对折可知， ， ， 点表示的数为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 ①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【解析】 【分析】[解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，勾股定理分别求得，进而根据当、、共线时，最大，勾股定理，即可求解． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：； [应用拓展] 如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，， 则， ， 当、、共线时，最大，即最大， 且的最大值， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $