江西省赣州市某校2026-2027学年高一上学期第一次阶段检测数学试题

高一数学 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合A={1,2,3,4},集合B=1,3,5,7},则集合AUB=() A.{1,3,5} B.{1,2,3,4,5,7 c.{5,7} D.{2,4,5,7 2.已知命题p:x>0,使2x(x-a)>0;则命题P为() A.x≤0，有2x(x-a)≤0 B.x>0,有2x(x-a>0 C.x>0,有2x(x-a)≤0 D.x≤0，有2x(x-a)>0 3.下列四个关系式：①5eR:@Q:③0eN,@0c0其中正箱的个数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知x>2,则代数式y=x+ 的最小值为() x-2 A.2 B.4 C.3 D.无最小值 5.下列结论中不正确的是() A.“x<4”是“x<-2的必要不充分条件 B.在△ABC中，“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形的充要条件 C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0是“a,b不全为0的充要条件 D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 6.已知p:x∈A={xx<-2或x≥1}，g:x∈B={x|2mx+1≤0}，若P是9的必要条件，则实数m的 范围是() [ R c.（m[i* n.[o4 7.已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{-1<x<3},若对于任意x∈{-1≤x≤0，不等式 -2x2+bx+c+t≤8恒成立，则t的取值范围是() A.{dt≤2 B.{1≤-2} c.{4t≤-4} D.{t≤4 8。已知二次函数y=(a+b)r-2x+a+方≥0对任意x∈R恒成立，则3a+b+2的最小值为() A.V5+1 B.3V5-3 C.2W2 D.2 2 试卷第1页 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两 项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9.若a>b,则下列各式正确的是() A.a-2>b-2 B.2-a<2-b C.-2a>-2b D.a2>b2 10.下列命题中为真命题的是() A.若关于x的不等式-(m+3列x+3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是-)或号 B.“AUB=B”的充要条件是“A∩B=A" C.不等式x2-7am+12a<0(a∈R)的解集为{x3a<x<4a D若x>1,且满足x+=9,则十，的最小值为6+42 11.已知二次函数y=m2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数)的对称轴为x=1,其图像如图所示，则下列选 项正确的有() A.abc +abc=0 B.当a≤x≤1-a时，函数的最大值为c-a2 C.关于x的不等式am4+bx2>a(x2-2)+b(x2-2)的解为x>√2或 x<-√2 D.若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=2+bt+1有相同的最小值，则b-1≥V5 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12.若-5<a<1,-3<b<2,x=a+2b,则x的取值范围是 13.已知集合A={x|-2≤x<7},B={x|a+1<x≤2a-1},则使AnB=B的实数a的取值范围是 14.在研究集合时，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用cd(A)表示有限集合A中元素的个 数.设集合M=xeN20N-{reR(-+儿r2+m+e+-,若 card(M)-card(N)=1,则实数m的取值集合用列举法表示为 (共2页) 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设全集U=R,集合A={xx≤0或x≥4}，B={x-2<x<3}. (1)求(CAnB: (2)设集合M={xa<x<a+I,若MsB,求实数a的取值范围. 16.(15分)如图，OA,OB是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形OCPD的顶点C,D分 别在OA,OB上，且该矩形区域内种满了荷花.为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点 P修一条小路EF,其中点E在小路OA上，点F在小路OB上，并在△OEF区域内种满荷花.已 知OD=25m,OC=40m,且小路EF要完全位于一个以O为顶点的，边长为100m的正方形内部（包 括边界).记aOEF的面积为Sm2. (1)设EC=x(m),试用x表示OF,并写出x的取值范围. (2)当EC的长度为多少时，S取得最小值？最小值是多少？ D 17.(15分)已知集合1={xr2-3x+2=0},非空集合B={x2ax2-3(口+)x+4=0 (1)若A∩B={2},求a的值： (2)若x∈A是x∈B的必要条件，求a的值. 试卷第2页 8.(17分)如图，已知点A的坐标为-2,0，直线y三-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连 接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点、 ()求抛物线的解析式及顶点D的坐标： (2)若一元二次函数y=aπ2+bx+c在x∈t-1,t+3上的最大值为3，求实数t的值： (3)Q是第一象限内抛物线上一点，连接QC,QB,构成△QBC,当△QBC的面积达到最大值时，求出 点Q的坐标及面积的最大值. y D B 19.（17分)设U∈R为一个数集，集合A={xx=s2+3t2,s,t∈U仍. (1)设U={1,3},求集合A: (2)设U=Z,B={xx=8k+2,k∈Z,证明：若m∈A,则m庄B; (3)设U=Z,证明：若x∈A,则7x∈A. (共2页)高一数学答案 题号1234567 89 1011 答案BCCBBBA C AB ABD ACD 一、单选题 5.【答案】B 【详解】对于A选项，{xx<-2}{xx<4}, 所以“x<4”是“x<-2”的必要不充分条件，A选项正确： 对于B选项，充分性：若AB2+AC2=BC2,则∠BAC为直角， 所以△ABC为直角三角形，充分性成立： 必要性：若△ABC为直角三角形， 则“∠BAC为直角”或“∠ABC是直角或“∠ACB为直角”， 所以“AB2+AC2=BC2”或“AB2+BC2=AC2”或“AC2+BC2=AB2”, 即必要性不成立 因此“AB2+AC2=BC2是“△ABC为直角三角形的充分不必要条件，B 选项错误 对于C选项，充分性：因为a2+b2≠0，若a=b=0,则a+b2=0, 所以a=b=0不成立，所以a、b不全为0，充分性成立： 必要性：若a、b不全为0，则a2+b2>0,必要性成立. 因此“a2+b2≠0”是“a、b不全为0”的充要条件，C选项正确： 对于D选项， 充分性：取x=√2，则x为无理数，但x2为有理数，即充分性不成立： 必要性：若x2为无理数，则x是无理数，必要性成立 所以“x为无理数”是“x为无理数”的必要不充分条件，D选项正确：故 选：B. 6.【答案】B 【详解】由集合p:x∈A={x|x<-2或x≥1}，q:x∈B={x|2m+1≤0}， 因为P是9的必要条件，则BcA, 当m=0时，此时集合9为空集，满足B二A: 当m>0时，由不等式2mx+1≤0，可得x≤-) 要使得BcA,则清足<-2，即十4<0，解得0<m3 2m 49 <0时：由不等式2mx+1≤0，可得x之2即B=x之 要使得B≤A,则满足-1≥1，即2m+1s0,解得 -≤m<0, 2m 2m 综上可得，实数m的取值范围为 11 2’4 7.【答案】A 【详解】由题意得-1和3是关于x的方程-2x2+bx+c=0的两个实数根， 「-2-b+c=0 b=4 所以{-18+36+c=0'解得c=6 所以-2x2+bx+c=-2x2+4x+6, 由-2x2+bx+c+t≤8得t≤2x2-4x+2=2(x-1)2,当-1≤x≤0时 (2x-4x+2)m=2(x-102=2, 所以t≤2，则t的取值范围是t≤2，故A正确 8.【答案】C 【详解】因为二次函数y=(a+b)x'-2x+a+≥0对任意x∈R恒成 立， a+b>0 a+b>0 所以 A=4-4a+ba+60'可得1a+≥T， a+- b a+b 所以 a+b .11 b a+b a=0 a=32 当且仅当 2,=a+b时，即 a+b b=v2或 一时，上述不等式中 a+b>0 b=- 2 的两个等号同时成立， 故3a+b+2的最小值为22.故选：C b 二、多选题 9.【答案】AB 【详解】因为a>b,所以a-2>b-2,则2-a<2-b,故A,B正确： 因为a>b,所以-2a<-2b,故C错误； 若a=l,b=-2,则a2>b2不成立，故D错误 10.【答案】ABD 【详解】对于A中，不等式x2-(m+3)x+3m=(x-3)(x-m)<0, 当m<3时，不等式的解集为(m,3),要使得不等式的解集中恰有3个整 数， 则满足m∈[-1,0)： 当m=3时，不等式的解集为空集，显然不符合题意，舍去； 当m>3时，不等式的解集为(3，m),要使得不等式的解集中恰有3个整 数， 则满足m∈(6,7]， 综上可得，实数m的取值范围为[-1,0)U(6,],所以A正确； 对于B中，由AUB=B,可得A二B,所以AOB=A,即必要性成立； 反之：若A∩B=A,可得A二B,所以AUB=B,即充分性成立， 所以AUB=B的充要条件是AOB=A,所以B正确： 对于C中，由不等式x2-7ar+12a2=(x-3a)(x-4a<0, 当a>0时，不等式的解集为{x|3a<x<4a: 当a=0时，不等式的解集为空集； 当a<0时，不等式的解集为{x|4a<x<3a},所以C错误： 对于D中，因为x>1y>1,且x+y=y,可得+1-1， x y 则2+4y=2w1+4)-624r2y 9x-1y-1(x-1)(y-1) y-(x+y)+1 试卷第1页（共2页） -+2-6+6+32-64. x y x y 当且仅当 产时，即x=1+=1+时，等号成立，所以D正 x y 确. 故选：ABD 11.【答案】ACD 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故a>0, 对称轴为x三-2三1，故b=-2a<0, 图象与y轴交点在y轴正半轴，故c>0, 所以abc<0,故abc+abc=-abc+abc=0,A正确： B选项，因为b=-2a,故y=ax2-2x+c, 因为a>0,所以1-a<1, 当a≤x≤1-a<1时，y=am2-2ac+c随着x的增大而减小， 所以x=a时，y取得最大值，最大值为y=a3-2a2+c,B错误： C选项，因为b=-2a,所以ax4+bx2=ar-2ax2, a(x2-2/+b(x2-2=ar-4m2+4a-2a(x2-2）=am-6ar2+8a, 故不等式am+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2变形为4ax2-8a>0, 因为a>0,x2>2,解得：x>V2或x<-V2,故C正确： 最小值为1- b2 P+bM+1=1++1-,当12时，少取得最小值，最小值为 4 1-6 4 所以-6≥1- ,即b2-2b-4≥0，所以(b-1)2≥5， 2 4 即b-≥V5,，故D正确.故选：ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.【答案】-11<x<5 13.【答案】a<4 【详解】由AOB=B,得BSA. ①当B=☑时，可得a+1≥2a-1,解得a≤2； a+1<2a-1 ②当B≠⑦时，可得a+1≥-2，解得2<a<4,综上a<4. 2a-1<7 14.【答案】{0,1,2 【解1因为M-女eN2s0-红e0sr<2=a明，所以 card(M)=2, 因为card(M)-card(N)=l,所以card(N)=l或card(N)=3. N={xeR(x2-mx+1[mx2+(m+1x+1]=0}=(xeR(x+1(mx+1(x2-mx+1=0} 当card(N)=1时，m=0或m=1: 当card(N)=3时，m≠0且m≠1， 关于x的方程(x+I)mx+I)(x2-mx+1)=0有3个不同的实数根， 且-1，-1是方程x+10x+x2-mx+1)=0的解，且-1≠-1， m 若-1是方程x2-mx+1=0的解，则m=-2, 此时方程(c+1(mx+(x-mx+)=0的解集只有2个元素-l,与 card(N)=3矛盾； 若-是方程x-mx+1=0的解， 则m个1=0即7+2=0，无 若关于x的方程x2-mx+1=0只有一个解且不为-】和-1， m 则△=(-m)2-4=0,解得m=±2. 当m=2时，子-2x+10的解为1.此时N={12 符合题意； 当m=-2时，亡+2x+1=0的解为-1，此时N=2, 不符合题意 综上，实数m的取值集合用列举法表示为0,1,2}.故答案为：{0,1,2} 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 15.【详解】(1)因为集合A={xx≤0或x≥4，所以C,A={x0<x<4}, 又B={x-2<x<3},所以(GA)nB={x0<x<3} (2)集合M={xa<x<a+l},显然不为⑦， 为MSB,B=2<x<3,所以1S3解得-2sa2 所以实数a的取值范围为{a-2≤a≤2} 16.【详解】(1)依题意，x≤60 CPDF,即=40 得aPCE-aFDP,所以EC-PD 25DF,得DF=1000 m, 所以OF=OD+DF= 25+1000 -m, x 所以25+1000≤100，解得x≥40 :综上0sx560 3 (2)OE=OC+CE=(40+x)m, 所以 s-0.05-25+100}40+-0+25x+nw01o. 由基本不等式可得S≥ 200+225x.4000 2000m2, 当且仅当25x= 40000 ,即x=40时，等号成立， 故EC=40m时，S取得最小值，为2000m2 17.【详解】(1)化简x2-3x+2=0得(x-2)(x-1)=0,解得x=2或x=1, 所以A={1,2, 因为A∩B={2},所以2∈B且1EB, 所以8a-6(a2+)+4=0,即(3a-1(a-)=0,解得a=3或a=1, 当a=1时，2ax2-3(a2+1x+4=0,即2x2-6x+4=0,化简得 x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,即B={L,2},不符合题意，舍去： 当a写时.2ar2-3(++4=0,即子-号+4=0，化简得 3 x2-5x+6=0,解得x=2或x=3,即B={2,3},满足题意 故a的取值集合为 1 (2)若x∈A是x∈B的必要条件，则BSA, 又B≠0，由(1)可知B={或{2}或{1,2}. ①由（1)可知当B={1,2时，a=1. ②当B=时，由2a-3(a2++4=0,解得a=号或a=1,由1 知a=1不成立； 当a=号时，方程2m2-3(a2+小x+4=0,即+5x-6=0的解为x=6 或x=1,B={6,},此时BA,舍去 ③当B={2}时，由(1)可得a=3或a=l,此时a=1不成立，舍去： 当a=写时，由(1)可知B=2,3头，此时Bg4,舍去 综上所述：a的取值集合为} 18.【详解】(1)由己知直线y=-4x+3, 令=0，代入y=子+3，得y=3,测C@) 3 令y=0,代入y=-4x+3,得x=4,则B(4,0), 抛物线过点A(-2,0),B(4,0),设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4), 3 代入C(0,3),解得a= 8 则抛物线的解式为y+x+3=-42”小 8 4 3 2)由()知y=x-+,抛物线开口向下，对称轴为x 8 顶点处函数值为 若区间那-山+到包含x1,西数的最大位号+3，合去 试卷第2项（共2页） 区间[-1,1+3]在对称轴右侧，即1-1>1,1>2时，最大值在x=1-1处， 即-1+=3，解得1=3 区间[-1，+3]在对称轴左侧，即1+3<1,1<-2时，最大值在x=1+3处， 即-爱+3-+-3，解得1=3 8 (3)过点Q向x轴作垂线，交线段BC于点R 设点若+列+ 则Q-+则 3 .O网4+)-2+3. 又0<。<4，当=2时，有(S0c)=3,此时(2,3) y D A O BY 19.【详解】（1)A={4,36,28,12,共4个元素 （2)情形-：当s=2m+1,t=2n+1,(0m,neZ)时，此时2+32-2 8 2m2+6n2+2m+6n+1 4 因为2m2+6n2+2m十6n+1为奇数，则2+32-2=-2m+6m2+2m+6n+1e2 8 4 情形二：当s=2m,t=2n+1,(m,n∈Z)时，此时2+3t2-2= 8 4m2+12n2+12m+1 因为4m2+12n2+12n+1为奇数，则2+32-2=m2+12m2+12m+1Ez 8 情形三：当s=2m+1,t-2n,(m,n∈Z)时，此时2+32-2= 8 4m2+4m+12n2-1 8 因为4m2+4m十12n2-1为奇数，则2+322=m2+m+12n2-Ez 8 情形四：当s=2m,t=2n,0m,n∈Z)时，此时2432-2=-2m2+6n2-1 8 4 因为2m2+6n2-1为奇数，则+322=2m2+6m21e2 4 综上所述，若m∈A则m庄B,证毕！ (3)令7x=7s2+21t2=Qs+t)2+3(ms+nt)2=02+3m2)s2+ 2Qu +3mn)st (u2 +3n2)t2 (λ2+3m2=7 此时{μ2+3n2=21,解得其中一组解为λ=2，u=3,m=1,n=-2,于 μ+3mn=0 是7x=7s2+21t2=(2s+3t)2+3(s-2t)2 因为s,t∈Z,则2s+3t∈Z,s-2t∈Z 于是，若x∈A,则7x∈A