精品解析：安徽安庆市十四中学2026-2027学年九年级上学期阶段学情调研数学试题

安庆十四中初三月度调研 数学试题 时间：120分钟　总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，两点都在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知，，为二次函数的图像上三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 7. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（ ） A. B. C. D. 不能确定 9. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 二次函数y＝﹣﹣5的图象的顶点坐标是 _____． 12. 已知是二次函数，则m的值为______． 13. 如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 14. 在平面直角坐标系中，关于x的函数和的图象相交于点P、Q． （1）若点P的横坐标为1，则_______． （2）若P、Q两点都在x轴的上方，且，则实数a的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数y=x2+2x+k-2的图象与x轴有两个交点，求实数k的取值范围． 16. 如图，已知抛物线经过点和点．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 17. 一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． （1）当时，求的取值范围； （2）求的面积． 19. 已知二次函数的解析式为． （1）若点在该二次函数的图象上，求的值； （2）当时，函数有最大值和最小值，求证：． 20. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）直接写出y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． （1）请求出点，的坐标； （2）若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 22. 如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且． （1）求k，p的值； （2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标． 23. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点． （1）判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点． ① 求a，c的值； ② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆十四中初三月度调研 数学试题 时间：120分钟　总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． ，是一次函数，此选项不符合题意； B． ，只有满足时是二次函数，此选项不符合题意； C． ，是二次函数，此选项符合题意； D． ，不是二次函数，此选项不符合题意． 2. 若，两点都在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得． 3. 已知，，为二次函数的图像上三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键思路是先确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减来比较函数值的大小即可． 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为：， 因为， 所以二次函数的图像开口向上，离对称轴越远函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为， 所以． 故选：C． 4. 某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 5. 抛物线的顶点一定不在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 无论取何值，，即纵坐标大于横坐标， 第四象限点的纵坐标是负数，横坐标是正数，符合题意． 6. 如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 与的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小， 当时，，故选项C符合题意； 当时，的取值范围是，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键． 7. 一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 8. 已知实数，，满足，且，那么，，中最大的数为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法，分别比较和的大小关系，即可求解； 【详解】解：，， ， ； ， ； 最大． 9. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断A，由当时，，当时，，故，从而，进而可判断C，由函数图象可判断D，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断B． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴， 故A错误； 由图可得，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故C错误； 由图可得，当时，， 故D错误； ∵， ∴当时，， ∴， ∴，即， 故B正确． 10. 二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断； ②将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合当时，对应的函数值，即可表示出m+n的取值范围； ③根据点（1，2）与当时，对应的函数值可知方程的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程的负实数根的取值范围； ④分类讨论，当在抛物线的右侧时，的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有，求出对应的t即可；当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，求出对应的t即可. 【详解】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①错误； ②∵a、b互为相反数， ∴将x=-1与x=2代入解析式得：， 则：， ∵当时，对应的函数值， ∴得：，即：， ∴. 故②正确； ③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值， ∴方程的正实数根在1和 之间， ∵抛物线过点（0，2）与点（1，2）， ∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线， ∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间. 故③正确； ④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值， ∴可以判断抛物线开口向下， ∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立， ∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时； ∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足， ∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，， ∴综上当时，. 故④错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题. 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 二次函数y＝﹣﹣5的图象的顶点坐标是 _____． 【答案】（2，﹣5） 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点形式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：二次函数y＝﹣﹣5的解析式是顶点形式， 所以图象的顶点坐标是（2，﹣5）． 故答案为：（2，﹣5）． 【点睛】本题考查了求二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法． 12. 已知是二次函数，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的概念，直接利用二次函数的概念进行求解即可．掌握形如的函数，是二次函数，是解题的关键． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：1． 13. 如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数解析式，代入、横坐标写出两点坐标；再利用、坐标求出直线的解析式，算出点的横坐标；最后结合三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：、在反比例函数图象上，横坐标为，横坐标为， ，， 设直线解析式为，则 ， 解得，， 直线：， 令，则， ， ，， ， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限 ， ． 14. 在平面直角坐标系中，关于x的函数和的图象相交于点P、Q． （1）若点P的横坐标为1，则_______． （2）若P、Q两点都在x轴的上方，且，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）联立得，，整理得，，由点P的横坐标为1，将代入得，，计算求解即可； （2）由，可知当，则，解得，，，则抛物线开口向上，且与轴的两个交点为和，①当时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图1，则当时，，解得，，进而可得；②当时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图2，则当时，，解得，，进而可得；然后作答即可． 【详解】（1）解：联立得，， 整理得，， ∵点P的横坐标为1， ∴将代入得，， 解得，， 故答案为：0； （2）解：∵， 当，则，解得，，， ∴抛物线开口向上，且与轴的两个交点为和， ①当时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图1， ∴当时，，解得，， ∴； ②当时，若P、Q两点都在x轴的上方，如图2， ∴当时，，解得，， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，二次函数的图象与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数y=x2+2x+k-2的图象与x轴有两个交点，求实数k的取值范围． 【答案】k＜3． 【解析】 【分析】根据图象与x轴有两个交点得到，即可求出k的取值范围． 【详解】∵图象与x轴有两个交点， ∴， ∴， 得k＜3． 【点睛】此题考查二次函数的判别式，熟记判别式的三种情况并熟练解题是关键． 16. 如图，已知抛物线经过点和点．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的解析式，再根据三角形面积公式求出点的纵坐标，最后代入抛物线解析式求出横坐标即可． 【详解】解：， ， 设点的坐标为， ， ， 解得，即或， 当时，，即， 解得， 或， 当时，，即， 解得， ， 综上所述，点的坐标为或或． 17. 一个二次函数，其图像由抛物线向右平移1个单位所得． （1）写出平移后的抛物线的函数表达式； （2）若将（1）中的抛物线再向上平移个单位后经过点，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的平移法则即可得到答案，二次函数的平移法则为：左加右减，上加下减； （2）先根据平移法则得到解析式，再将点的坐标代入即可求出k的值． 【小问1详解】 解：∵向右平移1个单位得， ∴平移后的抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 ∵将向上平移个单位后得， ∴平移后的表达式为：， ∵平移后抛物线经过点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移法则． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． （1）当时，求的取值范围； （2）求的面积． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）先把点代入一次函数求出的值，再将点代入反比例函数求出；联立两个函数解析式求出交点坐标；观察图像，找出一次函数图象在反比例函数图象下方对应的取值范围． （2）求出一次函数与轴交点的坐标，利用，代入坐标计算三角形面积． 【小问1详解】 解：点在一次函数上， ， ， ， 在反比例函数上， ， ， ， 联立方程组 ， ， 解得， 当时，， ， ， 结合图象，当时，的取值范围是或． 【小问2详解】 解：一次函数，当时，， 直线与轴交点，， ∴ ． 19. 已知二次函数的解析式为． （1）若点在该二次函数的图象上，求的值； （2）当时，函数有最大值和最小值，求证：． 【答案】（1）或； （2） 证明：， 抛物线开口向上，对称轴为， 在时，随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 当时函数取得最小值； 当时函数取得最大值； ， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是二次函数的解析式转化为顶点式，找出二次函数的对称轴． 把点代入二次函数的解析式中，可得：，解方程求出的值； 把二次函数的解析式转化为顶点式，利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法证明即可． 【小问1详解】 解：点在二次函数上， ， 整理得：， 解得：或； 【小问2详解】 略 20. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查、每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）直接写出y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），售价为70元时获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得二次函数解析式，将其配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结果． 【小问1详解】 解：设， 将代入得： ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， 又∵， 当时，有最大值，， 答：W与x之间的函数表达式为，售价为70元时获得最大利润，最大利润是元． 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点（在的左侧），与y轴交于点，顶点为． （1）请求出点，的坐标； （2）若是第二象限的抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查二次函数的性质，解题的关键在于求解抛物线与坐标轴的交点坐标． （2）本题考查二次函数的性质以及二次函数最值问题，解题的关键在于通过求解抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，再利用二次函数的性质来求解线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：令，得，即， 解得， 点在点的左侧， ， ， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：线段长度的最大值为． 22. 如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且． （1）求k，p的值； （2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为(4，2) 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解； （2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与y轴交点为B， ∴， 即． ∵点A的横坐标为2， ∴． ∵， ∴， 设， ∴， 解得． ∵点在双曲线上， ∴， 把点代入，得， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴． ∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为（4，2）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点． （1）判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点． ① 求a，c的值； ② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围． 【答案】（1）存在且坐标为 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据“慧泉”点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得方程，解方程可得答案； （2）①根据“慧泉”点的定义得，由该方程有唯一解，根据韦达定理可求得a，c的值②先根据对称性求出二次函数与的另一交点，再结合图像及二次函数性质可求n的范围 【小问1详解】 解：由“慧泉”点定义得： 解得： 当时， 所以存在“慧泉”点，坐标为 【小问2详解】 解：①∵的图像上有且只有一个“慧泉”点 即有两个相等实根 由根与系数的关系可得： 解得： ②由①得，求得对称轴为，最大值为 画出与的图像，如下图所示 由对称性易求另一交点坐标为 ∴由图像可求得： 【点睛】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质以及韦达定理等知识，准确理解“慧泉”点的含义以及熟练应用二次函数的性质结合图像解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $