精品解析：安徽省安庆市石化第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

石化一中初三12月份数学随堂练习（满分150） 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（ ） A. k＞2 B. k≥2 C. k＜2 D. k≤2 2. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（　　） A. ①＞②＞③ B. ①＞③＞② C. ②＞③＞① D. ②＞①＞③ 5. 下面四条线段中成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（ ） A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 7. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 若无论取何值，代数式的值恒为非负数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 9. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A. B. C. D. 10. 图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线的对称轴为______． 12. 在中，，，则________． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为_____． 14. 如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 三、解答题：共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 计算：sin45°•cos45°-tan60°÷cos30° 16. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为，，且，，，的延长线交于点G．请根据他们测量的数据求塔的高度．（参考数据：，，） 17. 如图，在中，，，P为内部一点，且． （1）求证：； （2）求证：． 18. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子，柱子顶端处装上喷头，由处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是米，离柱子的距离为米． 求这条抛物线的解析式； 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 19. 知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到两处景区游玩，他们从家处出发，向正西行驶160到达处，测得处在处的北偏西15°方向上，出发时测得处在处的北偏西60°方向上 （1）填空： 度； （2）求处到处的距离即的长度（结果保留根号） 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接． （1）求双曲线的表达式； （2）若，求的值． 21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____； （2）若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 22. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点． （1）求该函数的解析式． （2）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 23. 如图1，中，于点在边上，交于，过点作于点． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）连接，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石化一中初三12月份数学随堂练习（满分150） 一．选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（ ） A. k＞2 B. k≥2 C. k＜2 D. k≤2 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象在第一、三象限内，则可知2-k＞0，解得k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数y=的图象在第一、三象限内， ∴2-k＞0， 解得 k<2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，y随x的增大而增大． 2. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦值，根据，设，，勾股定理得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， 设，， 则：， ∴； 故选A． 3. 如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 4. 在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（　　） A. ①＞②＞③ B. ①＞③＞② C. ②＞③＞① D. ②＞①＞③ 【答案】C 【解析】 【分析】由越小，开口越大即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵越小，开口越大， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题关键是熟练掌握越小，开口越大． 5. 下面四条线段中成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：、由于，所以不成比例，不符合题意； 、由于，所以不成比例，不符合题意； 、由于，所以成比例，符合题意； 、由于，所以不成比例，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的知识，解题的关键是只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 6. 一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（ ） A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解答的关键．由羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等可求得抛物线的对称轴，再二次函数的性质判断羽毛球的最高点即可． 【详解】解：∵羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴方程为， ∵， ∴距离对称轴越远，函数值越小，高度越低， ∵与对称轴的距离最近， ∴当第秒时，羽毛球的高度最高， 故选：B． 7. 将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识，其中相似三角形的判定与性质是解题的关键；由题意得，则； 设，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理得，从而求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设； ∵，， ∴在中，，由勾股定理得， ∴， ∴与的面积之比为． 故选B． 8. 若无论取何值，代数式的值恒为非负数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x＋1−3m）（x−m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解． 【详解】解：（x＋1−3m）（x−m） ＝x2＋（1−4m）x＋3m2−m， ∵无论x取何值，代数式（x＋1−3m）（x−m）的值恒为非负数， ∴△＝（1−4m）2−4（3m2−m）＝（1−2m）2≤0， 又∵（1−2m）2≥0， ∴1−2m＝0， ∴m＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，二次函数与一元二次方程的关系，偶次方非负数的性质，根据题意得出（x＋1−3m）（x−m）的值为非负数时△≤0是解题的关键． 9. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点B作于H，先证明，进而解直角三角形得到，，再证明得到，则，利用勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：B． 10. 图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由已知得到，再得出与的关系，由三角函数关系求得CF、BF的值，通过，用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵是斜边上的中线， ∵（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴， 又∵， 在△ABC中，， 在△AEC中，， ∴， ， ，设， 则，即， 解得（负值舍掉）， ， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键． 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线的对称轴为______． 【答案】直线 【解析】 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解： ∴抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称轴，将抛物线的解析式化为顶点式是解题的关键． 12. 在中，，，则________． 【答案】3或1 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，角的直角三角形的性质，以及两锐角互余，解题的关键是根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键． 根据已知得出两种不同的图形，分别作出三角形的高，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1所示：作， ，，， ， ， ， ， ， 如图2所示：作延长线于点， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：3或1． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，，垂足为G，，则的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质和角平分线定义得是等腰三角形，再说明是等腰三角形，可得，进而得出，然后说明的周长等于16，再根据相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵在中，的平分线交于点E， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，. ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且， ∴， ∴． ∴在中，， 可得：. 又∵， ∴， ∴的周长等于. 又∵， ∴，相似比为， ∴的周长为． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，理解相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1）___________． （2）连接，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质即可得出结果； （2）取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，在中，根据两点之间线段最短即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）取的中点O，连接， 由（1）中，得 ， 即， 在中，， 在中，， 在中，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，相似三角形的判定与性质等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 三、解答题：共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 计算：sin45°•cos45°-tan60°÷cos30° 【答案】 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：sin45°•cos45°-tan60°÷cos30° =×- = 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 16. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高的测角仪测得塔顶A的仰角为，然后沿方向前行到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为，，且，，，的延长线交于点G．请根据他们测量的数据求塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】塔高的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可设 ，则，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， ， 设 ， ， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 答：塔高的长约为． 17. 如图，在中，，，P为内部一点，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）通过导角证明，根据两组对角相等即可证明； （2）根据为等腰直角三角形，可得，根据可得，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子，柱子顶端处装上喷头，由处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是米，离柱子的距离为米． 求这条抛物线的解析式； 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【答案】（1）；（2）不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【解析】 【分析】（1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由A、P两点坐标求解析式； （2）求水池半径即时求当y＝0时x的值． 【详解】(1)由题意知：顶点A为，为， 设这条抛物线解析式为， ∴， 解之得． 所以这条抛物线的解析式为； (2)令，则， 解得， 所以若不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 19. 知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到两处景区游玩，他们从家处出发，向正西行驶160到达处，测得处在处的北偏西15°方向上，出发时测得处在处的北偏西60°方向上 （1）填空： 度； （2）求处到处的距离即的长度（结果保留根号） 【答案】（1）45；（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可； （2）过点作于点，可得出，在中，，由此可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：45； （2）解：过点作于点 在中， ∴（） 在中， ∴（） 答：处到处的距离即的长度是 【点睛】 本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角问题，属于基础题目，比较容易掌握． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点B在双曲线上，且满足，连接． （1）求双曲线的表达式； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，证明，得出，根据中，，得出，求出，，求出B的坐标为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点在双曲线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示： 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴，． ∵中，， ∴， ∴，． ∴B的坐标为， ∴将代入得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定方法． 21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____； （2）若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）四边形面积的最大值为4． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式求得当和时y的值，再结合函数图象作答即可； （2）过点M作轴于点N，连接，设点，则，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可解决问题． 【小问1详解】 解：对于， 令，则，即， 令，则， 由函数图象知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【小问2详解】 如图，过点M作轴于点N，连接， 令，则， 解得：， ， 设，则，， ， ， ， ， 当时，有最大值为4， 四边形面积的最大值为4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数的面积问题、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． 22. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点． （1）求该函数的解析式． （2）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数解析式，将点和点代入二次函数中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的最值，以及平移规律，根据顶点始终在二次函数上，得到顶点坐标为，得到平移后的解析式，根据直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q，表示出，再根据二次函数的最值，即可解题． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和点， ，解得， 该函数的解析式为； 【小问2详解】 解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上， 顶点坐标为，故平移后的解析式为， ， 直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q， （）， ， 当时，长的最大值为． 23. 如图1，中，于点在边上，交于，过点作于点． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）连接，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，再由全等三角形的性质可得结果； （2）由可得，设，由可得 ，再代入求得x的值，最后由勾股定理求得结果； （3）由得，，证明得，从而，由得，可得，得出，求出，进而可求出的值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）知 ∴ 设 ∵ ∴， ∴ ∴ 解得 在中，，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $