精品解析：安徽铜陵市2026-2027学年度第一学期九年级教学质量监测一数学（人教版）试题

九年级教学质量监测一 数学 注意事项：满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2. 下列与抛物线形状相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象，对于二次函数，图象的形状只与的大小有关，据此即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的形状只与的大小有关，相同，则它们的形状相同， ∴由选项可知，C选项的与抛物线形状相同． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式的顶点坐标为．根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4. 下列一元二次方程无实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根判断即可． 【详解】解：A、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C、，则该方程无实数根，故本选项符合题意； D、，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5. 抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（ ） A. B. 2023 C. 2026 D. 2029 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，熟练掌握抛物线的平移规律是关键．利用“左加右减，上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将已知点代入求解a的值即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得． 故选：D． 6. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】解：若，是一元二次方程的两个根， 则，，即， ∴ ． 7. 已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 8. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；直接计算点A和点B的纵坐标和的表达式，利用b的范围比较它们与6的大小关系以及和的大小关系即可． 【详解】解：把点，分别代入抛物线得， ，， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可得，，根据对称轴可得，即可判定①；根据对称性可得抛物线与轴的一个交点横坐标在之间，即得当时，，即可判定②；由图象可知，当时，，当时，，即得，即得到，即可判定③；由，再结合对称轴可判定④，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴上， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴的一个交点横坐标在之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的一个交点横坐标在之间， ∴当时，，即，故②正确； 由图象可知，当时，， ∴， ∴， 由图象可知，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，即，故④正确； 综上，正确结论的个数为． 10. 如图，抛物线y= a1x2与抛物线y=a2x2 +bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 ，则由抛物线的对称性可知，，从而可得，，再由即可得到，再根据即可得到． 【详解】解：设 ， ∴由抛物线的对称性可知，， ∴，， ∵， ∴即， 又∵， ∴， ∴即， ∴或（舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，解题的关键在于能够求出． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程可得关于n的方程，然后解n的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 如果抛物线有最高点，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线有最高点， 因此开口向下，二次项系数， 解得． 故答案为：． 13. 已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质，在的范围内，当时函数值取得最小值，当时函数值取得最大值，根据函数值的最大值与最小值之和为15列方程，可以求得的值． 【详解】解：二次函数（n为常数）， 该函数的对称轴为直线，图象开口向上， 当时，函数值的最大值与最小值之和为15， 当时取得最小值，当时取得最大值， ， 解得或8， ， ． 14. 如图，抛物线的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且． （1）______________________； （2）若是抛物线上的一点且，则点的坐标为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合．解决本题的关键主要是作辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形． 设，根据抛物线的解析式可知，抛物线的顶点的坐标是，则可得点的坐标是，把点的横坐标代入解析式可以求出，根据可列方程，解方程求出的值即为的长度； 过点作，取，作轴交抛物线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线的解析式和直线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】解：设， 抛物线的顶点的坐标是， 则点的坐标是， 当时，， ， ， 可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， ， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，取，作轴于点， ， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 由可知，， 点的坐标是，点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， 由可知， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 解方程组， 可得：，(与点重合，舍去)， 点的坐标是． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】， ， 或， 解得：，． 16. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意设该抛物线的函数解析式为， 将点代入上式，得， ∴该抛物线的函数解析式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：7月份售出300套，9月份售出432套．若月平均增长率相同，求该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率． 【答案】该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为 【解析】 【详解】解：设该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率为． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根可判断其根的判别式，即得出关于m的不等式，解出m的解集即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，即得到关于和的方程组，解出和，再将其中一个值代入原方程组，求出m即可． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根为和， ∴． 即得方程组， 解得：． ∴可将代入，得：， 解得：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数（，a，b均为常数）过点． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】（1）直线； （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式，得出，进而根据对称轴公式，即可求解； （2）根据（1）的结论结合已知得出该二次函数图象的顶点坐标为，进而求得解析式，令，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， ， ， ∴该二次函数图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∵函数y的最大值为5， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 将点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 当时，， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为． 20. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为 （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； 【小问2详解】 略 21. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题． （1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图像上点的坐标特征求得点的横坐标即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴． 令，则， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，以及三角形面积公式等知识点． 22. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式的不动值是________； （2）已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 【答案】（1）3或； （2）①；②或2 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出一元二次方程进行求解即可； （2）①根据新定义，列出一元二次方程，根据此代数式仅有一个不动值，得到方程有两个相等的实数根，进而根据判别式求出的值即可；②利用根与系数的关系进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得，即， ， ，， 【小问2详解】 解：①由题意得， ， ∵仅有一个不动值， ，即， 整理得， ， ， 解得（不合题意，舍去）或， ； ②由题意得， 整理得， 设该方程的两个解分别为s，t， ，， ， 为整数， 为整数， ∵为正整数， ∴或2． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和直线同时经过，两点． （1）求的值； （2）若两点均在抛物线上，且．当时，求的最大值； （3）若点在线段上（不与点，重合），点在抛物线（）上，且，当时，求的值． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入可求得a、c，再将代入可求得b； （2）先说明抛物线的对称轴为直线，再分，两点关于直线对称和不对称两种情况，分别求最值即可； （3）由（1）知直线为，即，进而得到，整理得，然后求解并取符合题意的解即可． 【小问1详解】 ．解：直线经过两点， ，解得， 抛物线经过点， ，即，解得． 综上，． 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线为， 其对称轴为直线， 若，两点关于直线对称，则； 若两点不关于直线对称， 则由题意得， ， ， ，即的最大值为． 综上，的最大值为． 【小问3详解】 解：由（1）知直线为， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， 整理得， ，解得：或， ， ， （不合题意，舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学质量监测一 数学 注意事项：满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列与抛物线形状相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程无实数根的是（　　） A. B. C. D. 5. 抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（ ） A. B. 2023 C. 2026 D. 2029 6. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 7. 已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y= a1x2与抛物线y=a2x2 +bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 12. 如果抛物线有最高点，那么实数的取值范围是________． 13. 已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 14. 如图，抛物线的顶点为，过点左侧抛物线上一点作轴于点，且． （1）______________________； （2）若是抛物线上的一点且，则点的坐标为___________ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：7月份售出300套，9月份售出432套．若月平均增长率相同，求该品牌边刷套装8、9两个月销售量的月平均增长率． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根，求m的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数（，a，b均为常数）过点． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 20. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 22. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式的不动值是________； （2）已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和直线同时经过，两点． （1）求的值； （2）若两点均在抛物线上，且．当时，求的最大值； （3）若点在线段上（不与点，重合），点在抛物线（）上，且，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $