精品解析：福建省莆田第一中学2025-2026学年上学期九年级第一学段考试数学试卷

莆田一中2025－2026学年度上学期第一学段考试试卷 初三B卷数学 满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 书架上有1本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上（下）平移个单位可得到，将抛物线向左（右）平移个单位可得到，平移口诀为“上加下减，左加右减”．现将抛物线向下平移1个单位后所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，由绕点旋转得到，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 7. 切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，（例如一年前生产甲种药品的成本80元，现在生产成本为元，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，已知起始点的坐标为，则第次旋转结束时，点的坐标为（） A. B. C. D. 10. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　） A. 2 B. 8 C. 2 D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图是二次函数的图象，当时随的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 13. 如图，，，，则的长为_____． 14. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的m个球，其中有黄球3个，如果从中随机摸出一个，那么摸到黄球的可能性为大小是，则m是______． 15. 已知，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，的直径弦（不是直径）．若，则_____． 16. 某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的2000名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，请你估计这2000名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____． 节水量 0.2 0.25 0.4 0.5 1 家庭数/个 5 4 5 4 2 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图．已知的顶点，，的坐标分别是，，． （1）作出关于原点中心对称的图形； （2）分别写出点，，的坐标． 19. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作，与交于点， 则①形状为_____三角形（锐角、直角、钝角）； ②的位置关系是_____（相交、相切、相离）． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的值． 21. 为保障校园安全，南安市实验中学校门口都安装了人脸识别闸机．我们学校开设了，，三个刷脸通道．某天早晨，小明和小慧将随机通过刷脸通道进入校园． （1）小明通过刷脸通道的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求出小明和小慧从同一刷脸通道通过的概率． 22. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 23. 如图，用一段30米长的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米．设平行于墙的边长AB为x米，围成的矩形面积为S． （1）AD＝_________（用含有x的式子表示），求出S与x的函数关系式； （2）求矩形面积的最大值． 24. 如图，与相切于点，，分别交于点，，． （1）当时，求的长； （2）在（1）的条件下，，求阴影部分的面积． 25. 如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，点P是第二象限内抛物线上的一点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）若点P的纵坐标为5，求的面积； （3）设四边形的面积为S，求S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2025－2026学年度上学期第一学段考试试卷 初三B卷数学 满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2. 书架上有1本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，理解题意，运用概率公式进行求解，即可作答． 【详解】解：∵书架上有1本数学书、1本物理书． ∴从中任取1本书是数学书的概率为， 故选：C 3. 将抛物线向上（下）平移个单位可得到，将抛物线向左（右）平移个单位可得到，平移口诀为“上加下减，左加右减”．现将抛物线向下平移1个单位后所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移口诀是解题的关键．根据抛物线平移口诀“上加下减”，对原抛物线进行向下平移1个单位的操作来确定解析式． 【详解】∵原抛物线为，向下平移1个单位， ∴新解析式为． 故选：． 4. 已知实数，满足，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．将已知条件代入表达式中，直接化简计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，由绕点旋转得到，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转前后对应角相等是解题的关键．根据旋转的性质，旋转前后的图形对应角相等，从而确定与的关系来求解． 【详解】解：∵ 由绕点旋转得到， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：． 6. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与位似 ∴ ∵与的位似比是1:2 ∴与的相似比是1:2 ∴与的周长比是1:2 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质． 7. 切线的性质定理告诉我们，圆的切线垂直于过切点的半径．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用圆周角定理求出，再根据切线性质得出，最后结合三角形内角和求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ 以为直径的与相切于点 ∴ ∴ 故选：． 8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，（例如一年前生产甲种药品的成本80元，现在生产成本为元，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均下降率问题．根据年平均下降率的定义，成本每年以相同比例下降，两年后的成本为初始成本乘以(下降率)的平方． 【详解】解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意得 ． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，已知起始点的坐标为，则第次旋转结束时，点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的旋转以及正多边形的性质，熟练掌握旋转的性质以及正六边形的性质是解题的关键．先确定旋转周期，再计算第次旋转后点的位置，进而求出其坐标． 【详解】解：∵每次旋转，正六边形的中心角为， ∴旋转次为一个周期，即旋转后回到原位置． ∴第次旋转，旋转角度为，相当于从起始位置顺时针旋转，也可看作逆时针旋转． 连接， ∵点是正六边形的中心， ∴， ∴将绕点顺时针旋转，第次旋转结束时，点与点重合， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∵ ∴点关于轴对称的点为点， ∵起始点的坐标为， ∴，即第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 10. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　） A. 2 B. 8 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可． 【详解】解：连接BE， ∵AE为⊙O直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OD⊥AB，OD过O， ∴AC＝BC＝AB＝＝4， ∵AO＝OE， ∴BE＝2OC， ∵OC＝3， ∴BE＝6， 在Rt△CBE中，EC＝==. 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如图是二次函数的图象，当时随的增大而_____．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴与单调性的关系是解题的关键．先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据对称轴右侧的单调性分析． 【详解】解：对于二次函数， ∵ 二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上， 又∵ 对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大． 故答案为：增大． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程可得关于a的方程，解这个方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 13. 如图，，，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，通过已知的线段比例关系求出EF的长． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ 解得 故答案为： 14. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的m个球，其中有黄球3个，如果从中随机摸出一个，那么摸到黄球的可能性为大小是，则m是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查概率计算公式的使用，根据概率黄球个数总数，变形得到总数黄球个数概率，即可解题． 【详解】解：（个）， 故答案为：6． 15. 已知，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，的直径弦（不是直径）．若，则_____． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先利用直径与弦垂直的性质结合直角三角形内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等求出． 【详解】解：∵ 直径弦，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 16. 某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的2000名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况如表，请你估计这2000名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____． 节水量 0.2 0.25 0.4 0.5 1 家庭数/个 5 4 5 4 2 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握样本平均数的计算方法并运用其估计总体是解题的关键．先计算样本的平均节水量，再用平均节水量乘以总人数来估计总体的节水总量． 【详解】解：样本平均节水量： ， 总体节水总量： 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， ∴，， 【小问2详解】 ， ∵，，， ∴， 则方程有两个不相等实数根， ∴， ∴，， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 18. 如图．已知的顶点，，的坐标分别是，，． （1）作出关于原点中心对称的图形； （2）分别写出点，，的坐标． 【答案】（1） 如图：即为所作， （2），， 【解析】 【分析】本题考查了作图—中心对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握关于原点中心对称的图形的性质是解此题的关键． （1）根据关于原点中心对称的图形的性质作出即可； （2）根据（1）中作出的图形写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：，，． 19. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用：在（1）的条件下，以点为圆心，长为半径作，与交于点， 则①形状为_____三角形（锐角、直角、钝角）； ②的位置关系是_____（相交、相切、相离）． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2）①直角；②相切． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、直线与圆的位置关系及直角三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质和直线与圆的位置关系判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作出的平分线即可； （2）①通过角平分线的性质、圆的半径相等及直角三角形的性质判断的形状；②根据直线与圆的位置关系判定方法，结合角平分线的性质判断与的位置关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 连接，过作于， ∵平分，， ， ∵， ∴， 由垂线段最短可得、重合， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； ②∵，且是的半径， ∴与相切， 故答案为：相切． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理，熟练掌握根的判别式的意义和韦达定理的内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，当时方程有两个实数根，据此列不等式求的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出和的值，代入已知等式求解，再结合（1）中的范围确定最终值． 【小问1详解】 解：∵ 方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴ ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵ 对于方程，根据韦达定理，，， 又∵ ， ∴ ， 解得， ∵ ，符合（1）中的取值范围， ∴ ． 21. 为保障校园安全，南安市实验中学校门口都安装了人脸识别闸机．我们学校开设了，，三个刷脸通道．某天早晨，小明和小慧将随机通过刷脸通道进入校园． （1）小明通过刷脸通道的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求出小明和小慧从同一刷脸通道通过的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，列表求概率， 对于（1），根据概率公式计算； 对于（2），列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，即可得出答案． 【小问1详解】 因为一共有A，B，C三个通道，小明通过A通道刷脸的该概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 一共有9种可能出现的结果，符合条件的有3种， 所以小明和小慧从同一个刷脸通道通过的概率是． 22. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 【答案】 （1）证明∵AE平分， ∴， 在与中， ∵， ， ∴； （2）CD的长为2． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得． 【详解】解：（1）略； （2）解：∵D为AE中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CD的长为2． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 23. 如图，用一段30米长的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米．设平行于墙的边长AB为x米，围成的矩形面积为S． （1）AD＝_________（用含有x的式子表示），求出S与x的函数关系式； （2）求矩形面积的最大值． 【答案】（1）， （2）112.5平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，由AB为x米，，即可表示出AD的长；根据矩形的面积公式即可写出S与x的函数关系式； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵设平行于墙的边长AB为x米，， ∴，即， ∴（米）； ∴矩形面积； 【小问2详解】 ，解得：， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当x=15时，S有最大值为112.5平方米． 【点睛】此题考查了二次函数应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系进而表示出矩形的长和宽． 24. 如图，与相切于点，，分别交于点，，． （1）当时，求的长； （2）在（1）的条件下，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过连接，利用切线性质、弦与圆心角的关系，证明三角形全等，从而得出的长； （2）先根据全等三角形得出线段关系，再结合勾股定理求出，进而确定角度，最后通过三角形面积与扇形面积的差求出阴影部分面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， 在和中， （）， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ，是直角三角形， 根据勾股定理，得， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、弦与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握各图形的性质及公式是解题的关键． 25. 如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，点P是第二象限内抛物线上的一点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）若点P的纵坐标为5，求的面积； （3）设四边形的面积为S，求S的最大值． 【答案】（1） （2）12 （3）32 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点P的纵坐标代入（1）中函数解析式，进而问题可求解； （3）由（1）可设点，然后把四边形面积表示出来，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可设二次函数解析式为，则把点代入得： ， ∴， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ∵点P是第二象限内抛物线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示， 由题意可得：，设点，且， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $