精品解析：福建厦门市梧桐实验学校2026-2027学年九年级10月学情自测数学 卷

厦门市梧桐实验学校九年级数学学科阶段练习 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. y＝3x＋1 B. y＝3x2﹣6 C. D. y＝﹣2x3＋x﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如的函数，判断即可． 【详解】解：A、该函数是一次函数，故本选项不符合题意； B、该函数二次函数，故本选项符合题意； C、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意； D、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 2. 一元二次方程x2-3x=0的解是( ) A. x1=x2=3 B. x1=x2=-3 C. x1=0,x2=3 D. x1=0,x2=-3 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】x2-3x=0 x（x−3）＝0， x＝0或x−3＝0， 所以x1＝0，x2＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 3. 将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. y=2(x+3)2+4 B. y=2(x+3)2 C. y=2(x－3)2+4 D. y=2(x－3)2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2），可得到将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4），即可求解． 【详解】解：∵抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2）， ∴将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4）， ∴平移后得到抛物线的解析式是y=2(x+3)2+4． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的求解步骤，进行求解即可． 【详解】解： 移项： 左右两边加上一次项系数一半的平方： 化简： 故选：D 【点睛】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的步骤． 5. 已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握顶点解析式的性质． 根据二次函数的增减性，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，可知函数在处取得最小值，因此抛物线开口向上且对称轴为直线． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， ∴ 二次函数在处有最小值，抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵ 二次函数的标准形式为，其中对称轴为， ∴，且． 选项B中，，对称轴为，，满足条件． 其他选项：A和C对称轴为，不符合；D对称轴为但，开口向下，不满足增减性要求． ∴ 该二次函数的解析式可以是； 故选：B． 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 7. 若是一元二次方程的两个根，以下方程满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、中，，符合题意； B、中，，不符合题意； C、中，，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意． 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x 0 1 3 y 5 0 0 下列结论：①抛物线开口向下；②抛物线对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而增大，上述说法中正确的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性是解题的关键． 根据二次函数的性质、结合表中数据解答． 【详解】解：把，，代入得到 解得，， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上，故①错误； ∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴是直线，故②正确； ∵， ∴顶点坐标为， 故③错误， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故④正确； 故选：B． 9. 已知关于的方程均为常数，且的两个根分别是，则方程的两个根分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 根据题意把看作一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵的方程的两个根分别是， ∴对方程，， ∴． 故选：D． 10. 已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线解析式可确定对称轴为，根据点与对称轴的距离的大小以及函数值的大小关系即可判断的符号，即开口方向． 【详解】解：∵的对称轴为，且 ∴若， 则离对称轴远，则抛物线的开口朝下，即，故B不正确 若， 则离对称轴远，则抛物线的开口朝上，即，故D正确 对于A，C选项不能判断的符号 故选D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知二次函数经过，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键；把点代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：把点代入二次函数得：， 故答案为1． 12. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入方程即可求出m的值． 【详解】解：二次方程的一个根为2， ， ， 故答案为：． 13. 抛物线的开口向___________，顶点坐标为___________． 【答案】 ①. 上 ②. 【解析】 【详解】解：∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴顶点坐标为． 14. （奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者，在每轮传染中，假设平均一个人传染了x人，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 根据经过两轮传染后共有144人患病，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮过后共有人患病， 第二轮过后共有人患病， ∴， 故答案为：． 15. 已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为50； 故答案为50． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，若2b＋c＝﹣2，b＝﹣2﹣t，且AB的长为kt，其中t＞0，k的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得抛物线为y＝x2+（﹣2﹣t）x+（2t+2），设抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝4+2t，x1x2＝4t+4，由AB的长为kt，得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2t2，即（4+2t）2﹣4（4t+4）＝k2t2，进而即可求得k的值． 【详解】解：∵2b+c＝﹣2，b＝﹣2﹣t， ∴c＝2t+2， ∴抛物线为y＝x2+（﹣2﹣t）x+（2t+2）， 设抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝＝4+2t，x1x2＝＝4t+4， ∵AB的长为kt， ∴|x1﹣x2|＝kt， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2t2，即（4+2t）2﹣4（4t+4）＝k2t2， 整理得：4t2＝k2t2， ∴k2＝4， ∵kt＞0，t＞0， ∴k＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，交点坐标和系数的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂、二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、绝对值及二次根式的运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 19. 已知二次函数． （1）画出函数图象； … … … … （2）当时，结合图象直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列表，描点并连线画函数图象即可； （2）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：列表如下： … … … … 函数图象见答案； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围为． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围． （2）当时，求另一个根的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴另一个根的值是1． 21. 随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，山东省2022年公共充电桩的数量约为5万个，2024年公共充电桩的数量多达16.2万个，位居全国首位． （1）求山东省2022年至2024年公共充电桩数量的年平均增长率； （2）按照这样的增长速度，预计山东省2025年公共充电桩数量能否超过30万个？为什么？ 【答案】（1）年平均增长率为； （2）预计山东省2025年公共充电桩数量不会超过30万个． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设山东省2022年至2024年公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据广东省2022年及2024年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据山东省2025年公共充电桩数量=广东省2024年公共充电桩数量×（1+增长率），即可求出结论． 【小问1详解】 解：设山东省2022年至2024年公共充电桩数量的年平均增长率为， ， 解得：，（不合题意，舍去） 答：年平均增长率为； 【小问2详解】 解：该省2025年公共充电桩数量 答：预计山东省2025年公共充电桩数量不会超过30万个． 22. 如图抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为点． （1）求，，，四点的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）在中分别求出时的函数值和时自变量的值可得点和点的坐标，在中，求出时自变量的值可得点的坐标，把抛物线解析式化为顶点式可得点的坐标； （2）根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴，； 在中，当时，，解得或， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， ∴ ． 23. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）填空：______，______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当时， （3） 解：不存在t的值，使得五边形的面积等于．理由如下： 矩形的面积， ∵五边形的面积等于， ∴， 即， 整理得：， ∵， ∴不存在t的值，使得五边形的面积等于． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）由题意可知，则，进而可以解决问题； （2）在中，由勾股定理得出方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据五边形的面积等于，列出一元二次方程，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理可得， ∴， 解得（舍去），． ∴当时，； 【小问3详解】 略 24. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求的值． （2）已知二次函数的最小值为，求该函数的表达式． （3）在（2）的条件下，若，在该二次函数上不同的两个点，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3） ，在该二次函数上不同的两个点， 时，， ，是方程的两个根， ，即， ， ， 【解析】 【分析】利用给出点A与B的纵坐标相等，能得出对称轴，利用对称轴的公式能求出的值； 由得出，将二次函数解析式整理得出，根据函数有最小值，得出，由，解出a的值，求出解析式； 根据一元二次方程的根与系数的关系，分别推导等号左右两边，得出证明． 本题考查了二次函数的性质与一元二次方程根与系数的关系． 【小问1详解】 解：图象经过点，， 函数的对称轴为直线， ， ，即； 【小问2详解】 解：， ， 函数有最小值， ， ， 解得或舍， 函数的解析式为； 【小问3详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q． （i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标； （ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值．若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）（i）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（，），M4（，）；（ii）存在，的最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式． （2）（i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础．若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点．②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点． （ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由解析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度． 【详解】解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）． ∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点， ∴，解得． ∴抛物线的函数表达式为：． （2）（i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1． 设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上． ∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1）． 则平移后抛物线的函数表达式为：． 解方程组：， 解得，． ∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）． 过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则 PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2， ∴PQ==AP0． 若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）， 由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知， △ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=． 如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点． ∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1． ∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5．∴直线l1的解析式为：y=x﹣5． 解方程组，得：，． ∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）． ②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为． 如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）． 由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知： △AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为． 过点F作直线l2∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点． ∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2， ∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b1=﹣3．∴直线l2的解析式为：y=x﹣3． 解方程组，得：，． ∴M3（，），M4（，）． 综上所述，所有符合条件的点M的坐标为： M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（，），M4（，）． （ii）存在最大值．理由如下： 由（i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值． 如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q． 连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ， ∴四边形PQFN为平行四边形． ∴NP=FQ． ∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′． ∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为． ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市梧桐实验学校九年级数学学科阶段练习 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. y＝3x＋1 B. y＝3x2﹣6 C. D. y＝﹣2x3＋x﹣1 2. 一元二次方程x2-3x=0的解是( ) A. x1=x2=3 B. x1=x2=-3 C. x1=0,x2=3 D. x1=0,x2=-3 3. 将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. y=2(x+3)2+4 B. y=2(x+3)2 C. y=2(x－3)2+4 D. y=2(x－3)2 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（ ） A.   B.   C.   D.   6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一元二次方程的两个根，以下方程满足的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x 0 1 3 y 5 0 0 下列结论：①抛物线开口向下；②抛物线对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，y随x的增大而增大，上述说法中正确的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知关于的方程均为常数，且的两个根分别是，则方程的两个根分别是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知二次函数经过，则a的值为______． 12. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为_____． 13. 抛物线的开口向___________，顶点坐标为___________． 14. （奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者，在每轮传染中，假设平均一个人传染了x人，则根据题意可列方程为______． 15. 已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，若2b＋c＝﹣2，b＝﹣2﹣t，且AB的长为kt，其中t＞0，k的值为___． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 已知二次函数． （1）画出函数图象； … … … … （2）当时，结合图象直接写出的取值范围___________． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围． （2）当时，求另一个根的值． 21. 随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，山东省2022年公共充电桩的数量约为5万个，2024年公共充电桩的数量多达16.2万个，位居全国首位． （1）求山东省2022年至2024年公共充电桩数量的年平均增长率； （2）按照这样的增长速度，预计山东省2025年公共充电桩数量能否超过30万个？为什么？ 22. 如图抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为点． （1）求，，，四点的坐标； （2）求四边形的面积． 23. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）填空：______，______（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求的值． （2）已知二次函数的最小值为，求该函数的表达式． （3）在（2）的条件下，若，在该二次函数上不同的两个点，且，求证：． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q． （i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标； （ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值．若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $