精品解析：重庆市第十八中学校2026-2027学年高一上学期第一学月考试数学试题

重庆市第十八中学校2026-2027学年第一学月考试 高一（上）数学试题卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“关于的不等式有解”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知均为正实数，为非零实数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若不等式，，则的取值范围是 D. 函数的值域为 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于的不等式的解集也为 B. 若，则的最小值是3 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知则___________． 13. 不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为___________. 14. 已知，，，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求； （3）若，且，求的取值范围. 16. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围. 17. 设关于的不等式的解集为，其中，． （1）当，且时，求实数的值； （2）当，且时，求集合． 18. 已知、、、． （1）试比较与的大小，并给出证明； （2）利用（1）的结论求函数的最大值． 19. 已知函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． （1）若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； （2）若是的“子函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学校2026-2027学年第一学月考试 高一（上）数学试题卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合与集合之间的关系以及元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对于A，是集合，空集不是集合的元素，错误； 对于B，，正确； 对于C，与没有包含关系，错误； 对于D，为无理数，所以，错误. 2. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 所以， 所以集合C的子集个数为. 3. 若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即. 故选：A. 4. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数概念判断：已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对应关系逐一判断即可； 【详解】集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故A错误； 集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故B错误； 集合中当时，由对应关系可得，集合B中无对应元素，故C错误； 集合中当时，由对应关系可得； 当时，由对应关系可得；当由对应关系可得，一一对应关系成立，故D正确； 故选：D 5. 下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数，幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】对于A，的定义域和值域都为，该函数的定义域与值域相同. 对于B，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域相同. 对于C，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域相同. 对于D，的定义域为，值域为，该函数的定义域与值域不相同. 故选：D 6. “”是“关于的不等式有解”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求关于的不等式有解的等价条件，结合充分条件与必要条件的定义求结论. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得. 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件. 故选：C. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数值的正负及定义域判断即可. 【详解】由于，排除AD， 而的定义域为，排除C，故B满足题意. 故选：B 8. 已知均为正实数，为非零实数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对原式变形，利用基本不等式分析求解即可. 【详解】因为为非零实数，所以，且均为正实数， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若不等式，，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义判断A；求出抽象函数的定义域判断B；利用不等式性质求出范围判断C；借助二次函数求出值域判断D. 【详解】对于A，函数与的定义域都为，且，A正确； 对于B，由函数的定义域为，得，则函数中， ，解得，即的定义域为，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，，函数， 当且仅当，即时取等号，因此函数的值域为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则关于的不等式的解集也为 B. 若，则的最小值是3 C. 若，则关于的不等式的解集为或 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】对于A，当同号时，设， 则即，亦即，此时解集相同； 当异号时，， 则即，亦即， 显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误； 对于B，若，即的解集为， 则，且是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故B正确. 对于C，若，即的解集为， 则，且是方程的两个根， 所以，所以， 则关于的不等式，即， 两边同时除以负数得，即， 其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数先求，再求即可. 【详解】由题设可得，故， 故答案为：. 13. 不等式对于满足的所有的值都成立，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用变换主元法将一元二次不等式恒成立转化为一元一次不等式即可求解. 【详解】解：令 由条件对于满足的所有的值都成立，即 则，即 解得： 所以的取值范围为： 故答案为： 14. 已知，，，则的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】令、，将约束改写为关于的二次式，再利用其最大值求的下界，并验证等号能够取得． 【详解】令，，则． 由题设等式两边同乘，得． 因为，所以，从而． 当、时，，，且，故满足题设条件并有． 因此的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求； （3）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3）或 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合，由集合并集的定义求得； （2）由集合交集的定义求得，再由集合补集的定义求得； （3）由集合的补集求得，由集合的关系建立不等式，然后求得的取值范围. 【小问1详解】 . 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以或. 【小问3详解】 因为，所以或. 因为，且， 所以或， 解得：或. 即的取值范围或 16. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围. 【答案】（1），4 （2） 【解析】 【分析】（1）由不动点定义运算即可得解； （2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可. 【小问1详解】 当，时，， 令，即得，解得或， 所以函数的不动点为和. 【小问2详解】 因为函数恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理得， 所以，即，对恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 设关于的不等式的解集为，其中，． （1）当，且时，求实数的值； （2）当，且时，求集合． 【答案】（1） （2）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）根据的符号与根的大小分类讨论求解． 【小问1详解】 （1）当时，关于x的不等式的解集为R， 若，不等式，解得，不符合题意，舍去； 若，则满足，解得，此时不等式的解集为R． 【小问2详解】 ①当时，，原不等式可化为，此时． ②当时，原不等式可化为， ，即， 解不等式可得或， 此时． 综上所述，当时，；当时，． 18. 已知、、、． （1）试比较与的大小，并给出证明； （2）利用（1）的结论求函数的最大值． 【答案】（1），证明如下： ，当且仅当时，等号成立． （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系； （2）利用（1）中的结论对进行放缩，由此可得出，由此可求得的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 则， 即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数的最大值为． 19. 已知函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． （1）若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； （2）若是的“子函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是的“子函数”：理由： 由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可， 因为开口向上，对称轴为， 所以的值域为， 又因为的值域为， 显然，所以是的“子函数”； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“子函数”的定义，结合二次函数的性质进行求解即可； （2）根据“子函数”的定义，结合二次函数的性质、反比例函数性质、绝对值函数性质进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为， 所以当时，，易得； 当时，，由得，即， 综上：的值域为， 因为，开口向上，对称轴为， 所以当时，，即， 根据子函数的定义得，即，故； 当时，，即， 所以，即，故； 当时，，，故， 所以，解得，故； 当时，，，故， 所以，解得，故； 综上：的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $