精品解析：重庆市巴蜀中学校2026-2027学年高一上学期10月考试数学试卷

高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】根据存在命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论，所以前面是，改为，后面改为，即命题的否定为，. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由得，. 对于D，由、两式同向相加得，D正确. 对于A，取、、、，则，A错误. 对于B，取、、、，则，B错误. 对于C，取、、、，则，C错误. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件判断即可. 【详解】由可知， 所以， 所以充分性成立， 当时，满足， 但是不成立， 所以必要性不成立， 故选：A． 5. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】直接将分式不等式转化为两个一元二次不等式组，解一元二次不等式组可得. 【详解】不等式的解集等价于不等式组或的解集的并集， 解不等式组，则，解得. 解不等式组，则，解得. 所以不等式的解集为或 6. 已知集合，为全集的子集，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定全集，再拆分集合元素，确定集合，中的元素，再验证选项即可。 【详解】由，得. 集合可以分为“仅属于、不属于”和“既属于也属于”两部分， 因此. 因为，因此则. 集合可以分为“仅属于、不属于”和“既属于也属于”两部分，其中“仅属于”的元素为去掉的部分：， 因此. 选项A：，.正确； 选项B：中有3个元素，则子集个数为.正确； 选项C：，.正确； 选项D：，.错误. 7. 设，，若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再由原命题为假转化为；然后按、、分类，用的端点与不相交定出各自范围，合并即得. 注意时为空集同样满足条件. 【详解】由得，故. 命题为假命题，等价于，即不存在使. 当时，，成立. 当时，，故要使需， 解得. 当时，，故要使需， 解得. 综上，的取值范围为. 8. 正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合条件令，将条件转化为，再设，由基本不等式得，从而可得，所以问题转化为函数在上的最大值问题，由函数的单调性判断可得最大值，并检验. 【详解】因为正数满足，即. 令，设， 由得，即，所以. 又由基本不等式，当且仅当时等号成立， 即，再将代入，，， 即，两边平方得，，解得. 因为函数在上单调递增，所以当时，. 检验：基本不等式成立的条件代入，得，且， 解得，，验证条件成立. 因此，即当，时，的最大值为. 二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，设：，则成立的充分不必要条件有（ ） A. B. ， C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义分析选项即可. 【详解】对于A，若，则可推出，满足充分性； 而不能推出，不满足必要性，所以A正确； 对于B，若，，不妨取， 不能推出，不满足充分性，所以B错误； 对于C，由恒成立可知恒成立， 所以若，可得满足充分性； 而，比如不能推出，不满足必要性，所以C正确； 对于D，若，满足，但不能推出， 不满足充分性，即D错误. 10. 不等式的解集为，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 不等式解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先整理原不等式，结合一元二次不等式解集特征，韦达定理，根的差值与换元法逐一判断选项. 【详解】原不等式整理： ， 已知不等式解集为，说明该不等式为一元二次不等式，抛物线开口向下，对应方程，有两个不等实根， 对于A：二次不等式解集为两根之间， 故二次项系数，即，故A正确； 对于B：由韦达定理，对于方程，，故B正确； 对于C：， ， ， 方程有两不等实根，， ， ，， ， 故，故C错误； 对于D：是的两根，代入得： ， 在内，，两边同除以，令， ， 即，是方程的两根， ，，二次函数开口向下， 不等式，开口向下，小于取两根外侧， 又，则， 解集为或，故D正确. 11. 已知，且关于的不等式解集包含，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据不等式解集包含，得出必须是的根，从而可得出结论；B选项，利用均值不等式可求最小值；C选项，将目标式进行整理，利用换元转化为关于的二次函数，即可求最小值；D选项，通过换元整理目标式，利用均值不等式即可求最大值. 【详解】因为不等式解集包含， 若，则解集为，不符合题意； 若，则当时，， 所以，不符合题意， 故. 已知，对于不等式，零点为， 若，此时不等式的解集为或， 不包含，不符合题意； 若，此时不等式的解集为或， 不包含，不符合题意； 若，此时不等式的解集为，包含，符合题意， 故.即是的根，代入得， 即，两边平方得：，即，故A正确； 因为，当且仅当，即时等号成立， 此时取到最小值为，故B错误； 因为，则， 所以， 令，则上式化简为， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为， 所以求的最小值就转化为求在上的最小值， 因为是关于的二次函数，图象开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减， 当时取到最小值为，故C正确； 由得，所以， 令，则，由得， 所以上式， 因为，当且仅当即，对应时等号成立， 故，则，故D正确. 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则实数_________． 【答案】 【解析】 【详解】，当时，，元素不满足互异性； 当时，，元素不满足互异性； 当时，即，解得或（舍去）， 当时，集合为，符合题意，所以. 13. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用取整函数性质，把，整体当作，转化为普通绝对值不等式求解. 【详解】设得，，因为表示不超过的最大整数，所以， 故，得，得，得， 故原不等式的解集为. 14. 已知关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简连不等式，消去恒成立的左侧部分，将问题转化为开口向上的二次不等式恰有3个整数解的问题，通过分析区间端点的函数值符号建立不等式，进而求解参数范围. 【详解】原不等式为， 先处理左侧不等式：，移项合并同类项：，即， 因为，该式对任意实数恒成立，因此原不等式等价于右侧不等式， 对右侧不等式移项整理：， 设， 若，不等式化为，即，整数解有无穷多个，不符合题意； 若，二次函数开口向下，的解集为两根之外的区间，整数解有无穷多个，不符合题意； 因此必有，此时开口向上，的解集为两根之间的开区间（），整数解个数有限， （），故不在解集中； ，故在解集中； ，故在解集中， 要使解集中恰有3个整数解，则这3个整数只能是， 因此需满足：在解集中，得，不在解集中，得， 由，得； 由，得; 结合前提，最终实数的取值范围是. 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）​ （2）或或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用列出方程，并检验候选参数对应的集合交集． （2）将转化为，按二次方程判别式分类，分别检查根的个数及根是否属于． 【小问1详解】 由，得． 因为，所以且． 将代入中方程，得，即，解得或． 当时，中方程为，故，满足； 当时，中方程为，故，此时，不满足题意． 所以． 【小问2详解】 由，得． 中方程的判别式为． 当时，，从而或． 当时，为单元素集合，唯一根为． 由得或； 当时，当时，故此时． 当时，有两个不相等的实根，又，所以． 由根与系数的关系，得且，解得． 综上，或或． 16. 已知集合，，：，：． （1）若，且真假，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值零点分段求解集合，由解分式不等式得到集合，由真假，求与的交集； （2）先化简分式不等式得到集合，是的充分不必要条件等价于⫋，列区间不等式求解的范围． 【小问1详解】 由，令，得零点，，分三段讨论： 当时，不等式化为，得； 当时，不等式化为，不等式恒成立，得； 当时，不等式化为，得； 综上可得，即， 若，则有，故为或， 从而的范围为． 【小问2详解】 即有⫋，， 从而有，解得， 即实数的取值范围为． 17. 设． （1）解关于的不等式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）时，解集为； 时，解集为或； 时，解集为 时，解集为； 时，解集为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据参数的取值情况，分类求解不等式即可； （2）利用参变分离法将不等式转化为，再由换元法结合基本不等式求解即得. 【小问1详解】 不等式即. ①当时，可得，解得 ； ②当时，不等式等价于（*）， i)若，则（*）等价于， 因，解得； ii）当时，（*）等价于 I)若，即时，由可得； II）若，即时，可得； III)若，即时，可得； 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问2详解】 因时，恒成立， 即时， 恒成立， 又由，故只需恒成立， 设，再令，则， 故， 当且仅当，即时，取得最大值为， 故． 18. 现用一条长度为8的绳子围成多边形． （1）若围成一个矩形，求矩形面积的最大值； （2）若围成一个直角三角形，求直角边之和的最大值； （3）若围成一个四边形，且该四边形的对角线相互垂直，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）4 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）由题意，利用基本不等式“和定积最大”求解即得； （2）由题意，利用基本不等式“算术平均数不大于平方平均数”解不等式即得； （3）利用对角线垂直的四边形面积公式，结合（2）的结论与基本不等式计算即得. 【小问1详解】 设矩形的两邻边长为，，则，即， 故矩形面积，当且仅当时等号成立， 即当时，矩形面积取得最大值4； 【小问2详解】 设两直角边长分别是，，因其周长为8，可得， 则，因为，当且仅当时，等号成立， 即，也即 代入可得，即， 从而，当且仅当时等号成立， 即直角边之和的最大值为； 【小问3详解】 如图，分别设，，，， 依题意有， 由（2）推理得，， ，， 将以上不等式左右分别相加， 可得， 即， 故， 当且仅当时等号成立，即四边形面积的最大值为4． 19. 对于至少含两个元素的有限整数集，把其中任意两个不同元素之差的绝对值组成的集合记为，例如，，则． （1）若，求； （2）已知是一个含有0的四元素非负整数集，且，求所有符合条件的集合； （3）有限整数集满足，记集合元素个数为，求证：． 【答案】（1） （2）和； （3）证明：若，则中至多有个元素，不满足题意； 若，五个不同的整数一共组成对， 由于中有十个不同的数，这十对整数所得的差的绝对值必须互不相同， 恰为1，2，⋯，10， 其中，奇数差应恰有五个， 设中有个奇数、个偶数，两个整数之差为奇数， 当且仅当其中一个为奇数、另一个为偶数，故奇数差的个数为 但与的和为奇数，二者必一奇一偶，所以必为偶数，不可能等于5，矛盾. 因此，不存在符合条件的五元素整数集； 从而． 法二：若，则中至多有个元素，不满足题意； 若，将中的元素从小到大记为， 十个正差相加时，被减去四次，被加上四次：被加上一次、减去三次，被加上三次、减去一次；的系数为0， 故十个正差的总和为为偶数， 但题设又要求这个和等于55，矛盾，故这样的集合不存在； 从而． 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义列举计算即可； （2）根据条件先确定四个元素中最大与最小元素，设其中的两个元素，根据定义依次讨论计算即可； （3）先证若，则中至多6个元素，舍去；法一、讨论，两个数一对作差取绝对值组成10个不同结果，通过结果的奇偶属性结合反证法得出结论；法二、讨论时，设其中五个元素依大小排序，作差有10种差值为正的情况，再将其作和确定总和为偶数与结果矛盾从而确定结论. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以； 【小问2详解】 的最小元素为0，而最大差为6，所以的最大元素为6． 设，，其中，为整数， 四个元素共组成六对，所得正差依次为，，6，，，， 由于恰有六个元素，这六个差必须互不相同，且恰为1，2，3，4，5，6 将它们相加，得， 即，所以，于是， 由，得，故或2， 当时，时，六个差依次为1，4，6，3，5，2： 当时，时，六个差依次为2，5，6，3，4，1； 两者均符合题意，因此，所有符合条件的集合为和； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 6. 已知集合，为全集的子集，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 7. 设，，若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 且 8. 正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，设：，则成立的充分不必要条件有（ ） A. B. ， C. D. 10. 不等式的解集为，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 不等式解集为或 11. 已知，且关于的不等式解集包含，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则实数_________． 13. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 14. 已知关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则实数的取值范围是_________． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合，，：，：． （1）若，且真假，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 设． （1）解关于的不等式； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 18. 现用一条长度为8的绳子围成多边形． （1）若围成一个矩形，求矩形面积的最大值； （2）若围成一个直角三角形，求直角边之和的最大值； （3）若围成一个四边形，且该四边形的对角线相互垂直，求四边形的面积最大值． 19. 对于至少含两个元素的有限整数集，把其中任意两个不同元素之差的绝对值组成的集合记为，例如，，则． （1）若，求； （2）已知是一个含有0的四元素非负整数集，且，求所有符合条件的集合； （3）有限整数集满足，记集合元素个数为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $