精品解析：陕西西安市工业大学附属中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 耀州瓷出产于西安以北一百多千米的铜川，是我国古代北方青瓷的代表，创烧于唐，鼎盛于宋，是中国古代六大陶瓷之一，素有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，主视图和左视图相同的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图、左视图的定义，结合各选项中瓷器的几何特征进行判断即可． 【详解】解：A、瓷器有壶嘴和把手，主视图和左视图不同； B、瓷器有三足，主视图和左视图不同； C、瓷器左右有耳，主视图能看到两个耳，左视图只能看到耳的侧面，不同； D、瓷器近似为旋转体，不考虑花纹，其主视图和左视图均为瓶身轮廓，相同． ∴主视图和左视图相同的是D． 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3. 如图，在中，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形相似对应边成比例，得到，根据，求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 5. 一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共100个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.5．则可估计袋中白球的个数是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率估计数量．先求出白球的频率，再用总球数乘以该频率即可得到白球的个数． 【详解】解：已知红球的频率为0.2，黄球的频率为0.5，总频率为1， 因此白球的频率为： 设袋中白球有个， 根据频率公式： 解得： 因此，袋中白球的个数估计为30个， 故选：C． 6. 如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为（ ） A. 0.4 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 7. 关于的一元二次方程有实数根，的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根得到判别式，解该不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故的值可以是． 8. 如图，菱形的两条对角线相交于点，过点作，且，连接、，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，再依次证明是等边三角形，四边形是矩形，利用勾股定理计算出，，进而即可求解． 【详解】解：菱形的两条对角线相交于点， ，，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又，即， 四边形是矩形， ，， ， 的周长为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：，且， ． 10. 如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为______． 【答案】##1260度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟悉掌握内角和公式是解题的关键． 根据多边形内角和公式运算即可． 【详解】解：正九边形内角和， 故答案为：． 11. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点分别是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵两个端点固定在乐器面板上，支撑点分别是靠近点的黄金分割点， ∴， ∵， ∴． 12. 若、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程解的定义和根与系数的关系得到对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 13. 等腰，，，M是中点，点分别是边和上动点，若，N是中点，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点P，连接并延长交于Q，先根据等腰直角三角形的性质得到，，，再证明得到，设，根据三角形的中位线定理得到，，，证明，利用相似三角形的对应边成比例求得，则，利用三角形的面积公式求得，进而利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：连接，取的中点P，连接并延长交于Q， ∵，，M是中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，设， ∵N是中点，P是的中点， ∴是的中位线，， ∴，，即， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴，当时取等号， ∴的最大值为 三、解答题（共8小题，计分61分．解答应写出过程） 14. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得：，． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 把代入得原式． 16. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1． 【答案】答案见解析 【解析】 【详解】试题分析：延长BA到A1使BA1=2BA，延长BC到C1使BC1=2BC，则△A1B1C1满足条件． 试题解析： 如图，△A1B1C1为所作． 17. 如图，在Rt中，，是边的中点，连接，作，垂足为，连接． （1）求证：； （2），求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得（负值已舍去）． 18. 如图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，；根据光的反射定律，，．求此公益广告牌的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】根据垂直的意义得到，结合得到，再证和，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为米． 19. 金秋十月，硕果累累．苹果相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解苹果的收益情况，从第1天销售开始．小明对自己家苹果园连续15天的销售情况进行了统计与分析 第天的单价与的关系表： 第1天 第2天 第3天 第4天 … 第天 单价（元/箱） 48 46 44 42 … 第天的单价与近似地满足一次函数关系．已知第1天销售了15箱．以后的每一天都比前一天多销售5箱．每天的固定成本为480元． （1）第天的单价是_____元/箱（用含的代数式表示） （2）求哪一天小明家销售苹果可获得利润为1220元？ 【答案】（1） （2）第8天和第15天小明家销售苹果可获得利润为1220元 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第x天的单价y元与x满足的一次函数关系式为， 由题中表格可知：当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵第1天销售了15箱．以后的每一天都比前一天多销售5箱． ∴第天的销量为箱． ∴， ∴， 解得， 所以，第8天和第15天小明家销售苹果可获得利润为1220元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过轴负半轴上的点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线向上平移12个单位，平移后的直线与直线交于点，与轴交于点；点为直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，理由如下： 把直线向上平移12个单位后的表达式为：，即， 联立，解得，即， 令，解得，则， ， 又，， ，故， ∵点M在直线上， ∴，设点M的坐标为， 当点E、D、M、N是以为对角线的矩形时，则， 则， 即， 整理得：，解得或（舍去，与点重合）， ，此时； 当点D、E、M、N是以为对角线的矩形时，则， 则， 即， 整理得：，解得， ，此时； 综上，存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据点B在直线上，可求得直线AB的解析式，进而可求得点A的坐标；由OA=OC ，可得点C的坐标，用待定系数法则可求得直线AC的表达式； （2）根据题意可确定，再分以为对角线和以为对角线两种情况，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：在直线上， ， 即直线的解析式为：， 令，得， ，且， ， ∵点C在y轴负半轴上， ， 设直线的表达式为：，其中， 把A、C两点的坐标分别代入中，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 略 21. 解决下列问题： （1）如图，，，是上一点，使得，若，，则_____； （2）如图，在和中，直角顶点重合于，，点在上，，且，连接，若，求的长； （3）四边形中，，，已知，，，在四边形内或边上存在一点，使得，连接，当最小时，是直线上的动点（不与点重合），作，连接，当最小时，求出此时的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）证明，得到，再利用勾股定理求出及，进而代入计算即可； （）证明，得到，即得，进而可证，得到，设，，得，再代入比例式解答即可； （）由已知可得，即得，设底边的高为，利用三角形面积公式得，即得到点在距离为的直线上运动，当最小时，点在上，此时，，过点作于点，设，由得，，即得，，得到，进而得，在上取，由可得点在线段上运动，当时，取最小值，再利用三角形的面积公式和勾股定理分别求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形中，，， ∴四边形是直角梯形，， ∴， ∵， ∴， 设底边的高为，则， 解得， ∴点在距离为的直线上运动，如图， 当最小时，点在上，此时，， 过点作于点，设， ∵， ∴，， ∵， ∴同理（）可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在上取，则，， ∵， ∴点在线段上运动， 当时，取最小值， 此时，， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 耀州瓷出产于西安以北一百多千米的铜川，是我国古代北方青瓷的代表，创烧于唐，鼎盛于宋，是中国古代六大陶瓷之一，素有“巧如范金，精比琢玉”的美誉．在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，主视图和左视图相同的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 如图，在中，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共100个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2、0.5．则可估计袋中白球的个数是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 6. 如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为（ ） A. 0.4 B. 2.5 C. 3 D. 5 7. 关于的一元二次方程有实数根，的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，菱形的两条对角线相交于点，过点作，且，连接、，若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知的值为_____． 10. 如图所示，第四套人民币中1角硬币边缘镌刻的图形是正九边形，其内角和为______． 11. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点分别是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为_____． 12. 若、是方程的两个实数根，则的值为_____． 13. 等腰，，，M是中点，点分别是边和上动点，若，N是中点，则的最大值为_____． 三、解答题（共8小题，计分61分．解答应写出过程） 14. 解方程： 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）、以点B为位似中心，在网格内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC 位似，且相似比为2：1． 17. 如图，在Rt中，，是边的中点，连接，作，垂足为，连接． （1）求证：； （2），求的长． 18. 如图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，；根据光的反射定律，，．求此公益广告牌的高度． 19. 金秋十月，硕果累累．苹果相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解苹果的收益情况，从第1天销售开始．小明对自己家苹果园连续15天的销售情况进行了统计与分析 第天的单价与的关系表： 第1天 第2天 第3天 第4天 … 第天 单价（元/箱） 48 46 44 42 … 第天的单价与近似地满足一次函数关系．已知第1天销售了15箱．以后的每一天都比前一天多销售5箱．每天的固定成本为480元． （1）第天的单价是_____元/箱（用含的代数式表示） （2）求哪一天小明家销售苹果可获得利润为1220元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过轴负半轴上的点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线向上平移12个单位，平移后的直线与直线交于点，与轴交于点；点为直线上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 解决下列问题： （1）如图，，，是上一点，使得，若，，则_____； （2）如图，在和中，直角顶点重合于，，点在上，，且，连接，若，求的长； （3）四边形中，，，已知，，，在四边形内或边上存在一点，使得，连接，当最小时，是直线上的动点（不与点重合），作，连接，当最小时，求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $