精品解析：陕西西安市西北大学附属中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试题

2026-2027学年上学期西大附中数学九年级第一次学情检测 考试时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 4. 若方程的两实根为、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可． 【详解】∵、是方程的两个实数根， ∴，， 又∵， 将、代入，得 ， 故选. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，要熟练掌握. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【解析】 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 6. 用配方法将二次三项式变形，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 7. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角相等，正方形的对角线相等，且互相垂直平分，解答即可． 【详解】解：①平行四边形绕对角线交点旋转后与原图形重合，是中心对称图形，为真命题． ②矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，为假命题． ③菱形的对角相等，四个角不一定都相等，为假命题． ④　正方形同时具备矩形和菱形的性质，对角线相等且互相垂直平分，为真命题． 综上，真命题为①④． 8. 如图，中，给出四个条件：①；②；③；④．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定是正方形的有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理逐一验证即可求解． 【详解】解：选择：有一个角是直角的平行四边形是矩形，邻边相等的矩形是正方形；故选择符合题意； 选择：∵平行四边形对角线互相平分， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∵， ∴矩形是正方形；故选择①③符合题意； 选择：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形也是菱形，故选择不符合题意； 选择：同理∵， ∴是矩形， 而有一个直角的平行四边形也是矩形， 故选择不符合题意； 选择：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，故选择符合题意； 选择：同理∵， ∴是矩形， 又对角线互相垂直的矩形是正方形，故选择③④符合题意； 综上，能判定是正方形的有，共组． 9. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 10. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和，则； ②若，则方程一定有解； ③若，则、一定相等； ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，，则可推出，，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得，都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④． 【详解】解：①由根与系数的关系，得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程，得， 即是方程的根， 方程一定有解，故②正确； ③由题意得，都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 与不一定相等，故③错误； ④， ， ， ，与异号， ，即， ， ，方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 两实数解一定互为相反数，故④正确； 综上，正确的有①②④，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两个比例相等，求分子和与分母和的比值，通过代入变形化简即可求解． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ，， 将其代入得：， ∵ 原式有意义，因此， ∴ 约去得． 12. 四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义，即分类讨论，即可求得的值． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再利用整体代入法计算所求式子的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 14. 某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是361万元，假设每月生产成本的下降率相同，则每月生产成本的下降率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设每月生产成本的下降率为，根据一月份和三月份的生产成本列出一元二次方程，舍去不符合实际意义的根即可求解． 【详解】解：设每月生产成本的下降率为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴每月生产成本的下降率是． 15. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：∵将矩形划分成四个全等的矩形， ∴小矩形的宽为，长为， ∵矩形的宽为，长为，且小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 16. 如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， _______． 【答案】105 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点F的位置，有难度． 作于点C，且，连接交于M，连接，证明，得，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点C，且，连接交于M，连接， ∵为等边的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值， 此时， ∴， 故答案为：105． 三、解答题（本大题共9小题，解答应写出详细的计算过程或者说明过程） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 其中，，， 计算得， 由求根公式得， 即，； 【小问3详解】 解：， 由平方差公式得， 化简得， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：， 展开得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 18. 如图，在四边形中，，．在四边形外求作一点，连接，，使四边形为矩形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，四边形为所求作： 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，掌握矩形的判定和性质，尺规作垂线的方法是关键． 根据矩形的判定和性质，运用尺规作垂线即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴运用尺规作延长线于点，则， ∴四边形是矩形， 延长，以点为圆心，以为圆心画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点， ∴四边形即为所求图形． 19. 如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】 证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根． （2）若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m取何值，此方程总有实数根； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知方程的解求参数等知识. （1）求出判别式，证明判别式恒大于或等于零即可； （2）利用因式分解法求出方程的根，根据m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数即可求出m的取值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程可化为， ∴，， ∵m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数， ∴，解得， ∴． 21. 如图，是直角三角形，，于，是上的点，的延长线与的延长线交于点，且．求证：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据余角的性质可得出，根据对顶角的性质并结合已知可得出，证明，即可解决问题. 【详解】略 22. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】（1）460个 （2）售价应提高10元 【解析】 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【小问1详解】 解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； 【小问2详解】 解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 23. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，证明，得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）设，则，由菱形的性质可得，，，，求出，由平行四边形的性质可得，结合勾股定理求出，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）可得四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 24. 如图1，矩形中，，，点在边上，，点，在线段上运动（点在点的左侧），且始终保持． （1）当四边形是菱形时，求线段的长； （2）将沿折叠得到，连接（如图2），当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，求线段的长． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）因为四边形是矩形，所以，；由四边形是菱形可得；在中，利用勾股定理算出的值，即可求出线段的长； （2）由沿折叠得到，即；以点，，，为顶点的四边形是矩形，分情况讨论 .情况一：，利用三角形等面积法和勾股定理联立方程组解出线段的值，再利用在中的勾股定理计算出的值，即可求出线段的长；情况二：当时，四边形是矩形，又因为以点，，，为顶点的四边形是矩形，从而得出，，即可求出线段的长. 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴； 在中，有， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵沿折叠得到， ∴， ∵点，，，为顶点的四边形是矩形， ∴情况一：，如图： 过点作于， ∴， ∵， ∴即， ∴①， ∵在中，有， ∴②， 联立①②得， 解得或； 在中，有， ∴， 当时， ∴； 当时， ∴； 即线段的长为或； 情况二：当时，四边形是矩形，如图： ∴， ∵， ∴， 即线段的长为或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期西大附中数学九年级第一次学情检测 考试时间：100分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 4. 若方程的两实根为、，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 6. 用配方法将二次三项式变形，结果是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形；②矩形的对角线互相垂直；③菱形的四个角相等；④正方形的对角线相等，且互相垂直平分 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8. 如图，中，给出四个条件：①；②；③；④．从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定是正方形的有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 9. 如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和，则； ②若，则方程一定有解； ③若，则、一定相等； ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，则__________． 12. 四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为______． 13. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 14. 某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是361万元，假设每月生产成本的下降率相同，则每月生产成本的下降率是__________． 15. 如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 16. 如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， _______． 三、解答题（本大题共9小题，解答应写出详细的计算过程或者说明过程） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在四边形中，，．在四边形外求作一点，连接，，使四边形为矩形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，此方程总有实数根． （2）若m为大于1的正整数，且该方程的根都是正整数，求m的值． 21. 如图，是直角三角形，，于，是上的点，的延长线与的延长线交于点，且．求证：； 22. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 23. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求菱形的面积． 24. 如图1，矩形中，，，点在边上，，点，在线段上运动（点在点的左侧），且始终保持． （1）当四边形是菱形时，求线段的长； （2）将沿折叠得到，连接（如图2），当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $