天津市蓟州区九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册26.4实际问题与二次函数（1）--面积问题）

一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【26.4实际问题与二次函数（1）--面积问题】 学段学科 【初中】【数学】 适用年级 【九年级】 教材版本 【人教版】 对应内容 【第二十六章 二次函数】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长_40_分钟 设计者 【张密】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标分析：本作业对应的学科核心素养是数学运算、模型观念、几何直观、推理能力，需达成能够建立二次函数模型解决几何面积最值问题的学业质量标准。 教材地位：本节课是二次函数实际应用的第一课时，承载“用函数眼光看待几何最值”核心概念，学会从实际情境抽象函数模型，体会数形结合思想，为后续利润、抛物线轨迹实际问题打下方法基础。 教学重难点：重点：建立二次函数模型求解几何图形面积最值； 难点：识别实际情境下自变量取值限制，在限定区间内求二次函数最值。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经掌握二次函数图像性质、配方法求顶点、一元二次方程求解；熟悉矩形、正方形面积公式，具备基础几何分析能力。 现有困惑 容易忽略实际问题自变量取值范围；分不清顶点最值和区间端点最值；面对带小门、墙角、树木限制等复杂情境，提取条件容易出错。 差异分析 基础薄弱学生能完成基础列式，但容易漏掉取值范围；中等学生可以列式计算，复杂情境容易审题失误；优等生可以熟练建模，需要多结论选择题训练逻辑推理。 3. 设计意图 本次作业围绕二次函数面积实际应用展开，由基础正方形模型过渡到篱笆靠墙、直角墙角、动点几何多结论题型，分层设置习题，巩固建模解题五步法，强化自变量取值范围意识，落实数形结合思想，适配不同层次学生巩固提升。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 复述二次函数求解面积最值完整步骤，识别自变量实际限制条件 几何直观 步骤书写、取值范围标注 能力运用 B 能够从篱笆、动点几何情境提取数量关系，建立二次函数模型求解面积、列方程求解指定面积 模型观念、数学运算 列式、方程、计算结果 思维发展 C 对多结论选择题逐一推理判断，辨析顶点最值与区间端点最值的区别 推理能力 每一个结论的分析过程 情感态度 D 体会数学在劳动生活情境的应用价值，养成审题圈画限制条件的做题习惯 应用意识 审题标记、完整解题过程 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 填空题 正方形裁剪，求小正方形面积最小时线段AE的长度 A、B 基础模型，训练设参，二次函数求最小面积 答案：5 cm；要点：正确设元，写出面积二次函数，利用对称轴求最小值 2 选择题（多结论） 篱笆围矩形菜园，带分隔篱笆、小门，墙长限制，判断3个结论 A、B、C 复杂篱笆情境，含小门等效处理，考察自变量取值约束，区间求最值 答案：C；要点：处理小门等效篱笆长度，正确解不等式得到x范围，区分顶点和区间端点最值 3 选择题（多结论） 一边靠墙矩形菜园，给定篱笆总长、墙最大长度，4个结论辨析 A、B、C 经典靠墙篱笆题型，考察方程解需要检验自变量取值范围 答案：B；要点：舍去不在取值范围的方程根，判断对称轴是否落在有效区间 4 选择题（多结论） 直角墙角建劳动基地，树木对矩形边界约束，3个结论辨析 B、C、D 劳动情境，结合实际物体限制自变量，训练区间两端比较函数值 答案：D；要点：根据树的位置列出不等式锁定自变量区间，比较区间端点函数值找最大、最小值 5 选择题（多结论） 等腰直角三角形内动点，分段运动，求四边形面积，3个结论辨析 A、B、C 动点分段函数，分两段构建面积表达式，训练分段讨论思想 答案：C；要点：区分P在AD、DC两段函数表达式，限定范围解方程 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确，每道题标注自变量取值范围 少量细节错误，偶尔遗漏取值范围 较多基础错误，完全忽略实际取值限制 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，列式完整，理由充分 方法基本正确，少量计算失误 方法不当或者缺少列式过程，直接写答案 30% 思维发展 观点明确，多结论每一条都写出推理，论证充分 可以判断对错，但缺少部分推理过程 思路混乱，没有推导，靠猜选择选项 30% 情感态度 主动投入，圈画题干限制条件，做完主动检查 态度端正，可以按要求完成全部习题 态度消极，只写答案，不写解题过程 20% 6、 试题详情 1.核心模型：矩形、正方形等几何图形面积最值，利用二次函数求面积最大/最小值。 2.通用解题步骤 ① 合理设自变量，一般设一条线段长度为； ② 使用含的代数式表示图形其他边长； ③ 根据面积公式列出二次函数表达式； ④ 判断开口方向：抛物线开口向上，存在最小值；开口向下，存在最大值； ⑤ 确定自变量取值范围（线段长度必须＞0），若顶点横坐标不在取值区间，最值在区间端点取得。 3.高频易错点 （1）忽略自变量实际限制：边长＞0；靠墙问题还要考虑墙的长度限制； （2）审题区分：求最大面积还是最小面积； （3）几何图形面积公式使用错误。 1.如图，在边长为10 cm的正方形纸片ABCD上剪出四个全等的直角三角形和一个小正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使中间小正方形纸片EFGH的面积最小，则AE的长为____cm。 2.（2025天津红桥二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门。若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为。 其中，正确结论的个数是（ ） A.　B.　C.　D. 3.（2023天津中考12题改编）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，边用篱笆，且这三边的和为。有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园的面积为； ③菜园面积的最大值为； ④当时，菜园面积为。 其中，正确结论的个数是（） (A)　(B)　(C)　(D) 4.（生活情境）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地 ，墙角两边 和 足够长，用总长 的篱笆围成另外两边 和 。有下列结论： ①当 的长是 时，劳动基地 的面积是 ； ② 的长有两个不同的值满足劳动基地 的面积为 ； ③点 处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙 的距离是 ，到墙 的距离是 ，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值 ，最小值是 。 其中，正确结论的个数是（ ） A. 　B. 　C. 　D. 5.在中，，，于点。动点从点出发，沿线段，线段运动到点停止，过点作于点，作于点。设点运动的路程为，四边形的面积为。当时，。有下列结论： ①当时，； ②当时，四边形是正方形，且； ③当时，的取值范围是。 其中，正确结论的个数为（） A.　B.　C.　D. 七、答案与解析 1.答案：5 cm 解析：设，大正方形边长为10 cm，则另一条直角边。 中间小正方形边长： 小正方形面积： ，抛物线开口向上，对称轴。 在取值范围内，此时面积取得最小值。 2.答案： 设，。 篱笆总长，两个小门各（小门不用篱笆），等效篱笆总长：。 虚线篱笆：共3段竖篱笆，所以水平边。 约束条件： 解得： ①的长可以是 ，在范围内，，①正确。 ②当面积为时，长为 面积： 解得。 ，不在范围内，舍去；此时，不是。②错误。 ③面积最大时，长为 设面积： 二次函数开口向下，对称轴。 取值范围在对称轴右侧，随增大而减小。 时，面积取得最大值。③正确。 ✅ ①、③正确，一共2个正确结论。 3.答案： 解：设 ，则 ，篱笆三边总和 就是靠墙的边长，题目条件： 解不等式： 取值范围： 面积 ①的长可以为 ，不在 范围内，❌①错误 ②面积 解得 。 小于，舍去；只有一个解。 只有一个的值满足面积，❌②错误 ③求面积最大值 ，开口向下，对称轴。 在范围内， 此时 ，符合墙长限制。 。✅③正确 ④当时，菜园面积为 ， ✅④正确 ✅正确：③、④，一共2个。 4. 答案：D 设 ，则 。 矩形面积： 结论① ，则 ✅ ①正确 结论② 令 ： 解得 ，两个不同正数解。✅ ②正确 结论③ 树到距离，到距离。 要让树在矩形内： 解得： ，开口向下，对称轴 （在区间内） 1. 最大值：， 2. 端点：，；， 区间最小值。✅③正确。①②③全部正确 5.答案： 等腰直角三角形，，是中点，。 四边形，，是矩形。 在上（）：，等腰直角， 。 设，， ，矩形面积： 已知时，： ，。 ，所以： 2. ：在上； 3. ：在上，从向走，，。 ① ❌①错误 ② ，在上，，。 上点，，矩形中，等腰直角，，邻边相等矩形正方形。 正方形边长：是对角线，边长 ✅②正确 ③求 第一段：，P在AD 开口向下，顶点，。 令： 在段：从上升，时；时。 第二段：，P在DC ，矩形，， ，增大，变小，递减。 令： 时，。 综合两段： 满足时： ✅③正确 ②、③正确；①错误。一共2个正确。 学科网（北京）股份有限公司 $