15.1.2线段的垂直平分线（第一课时 ）线段垂直平分线的判定与性质 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2线段的垂直平分线 第一课时 线段垂直平分线的判定与性质 第十五章 轴对称 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能正确用几何符号语言表述两者 能运用性质定理进行线段相等的转化，解决线段相等的证明与三角形周长的计算问题 了解原命题、逆命题、互逆命题与互逆定理的含义，能说出一个简单命题的逆命题，并举例判断其是否成立 新知探究 探究 如图，直线垂直平分线段，点， ， ，…在上，分别比较点， ， ，…与点的距离和这些点与点的距离，你有什么发现? 猜想: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 探究一、垂直平分线的性质 新知探究 已知:如图,直线垂直且平分线段,垂足是. 是上的任意一点. 求证:． 证明 ∵， ∴,. 在和中 ∴≌(). ∴. 探究一、垂直平分线的性质 新知探究 线段垂直平分线性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 几何语言： ∵直线垂直且平分线段,在直线上 (或， )， ∴ 探究一、垂直平分线的性质 1. 如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为D. (1)AD＝_____，∠ADC＝_____°，AC＝_____； (2)如果AD＝3，AC＝5，那么△ABC的周长为_____． BD 90 BC 16 垂直平分线的性质的应用 数学　八年级上册 2. 如图，PQ是AB的垂直平分线，垂足为Q. (1)图中相等的线段有____________________； (2)(2025·东莞期末改编)如果AP＝7，BQ＝4，那么 △ABP的周长为_____． 方法总结：上面的图形像一把弓箭,我们简称“弓箭模型”,看到题目有垂直平分线，就在图中找出“弓箭模型”． AQ＝BQ，PA＝PB 22 数学　八年级上册 3. (RJ八上P70 T4)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13. 求△ABC的周长. ∴DA＝DC，AC＝2AE＝6. 解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3， ∵△ABD的周长为13， ∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋DC＝AB＋BC＝13. ∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝13＋6＝19. 数学　八年级上册 4. 如图，在△ABC中，AC＝6 cm，线段AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，△BCN的周长是11 cm，求BC的长. 解：∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴BN＝AN. ∵AC＝6 cm， ∴BN＋CN＝AN＋CN＝AC＝6. ∵△BCN的周长是11 cm， ∴BC＋BN＋CN＝11(cm). ∴BC＝11－(BN＋CN)＝5(cm). 数学　八年级上册 两个命题的题设、结论正好相反. 我们把具有这种关系的两个命题叫作_________. 如果把其中一个叫作______，那么另一个叫作它的______. 互逆命题 互逆命题、互逆定理 原命题 逆命题 数学　八年级上册 5. (RJ八上P67 T3节选)写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 解：(1)逆命题是同位角相等，两直线平行，成立. (2)逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立. 数学　八年级上册 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作_________，其中一个定理叫作另一个定理的_______. 6. (1)定理“等腰三角形两底角相等”的逆命题为______ _____________________________，它们___(填“是”或“不是”)互逆定理； (2)“两直线平行，同旁内角互补”与________________ ___________是互逆定理. 互逆定理 逆定理 有两个 角相等的三角形是等腰三角形 是 同旁内角互补， 两直线平行 数学　八年级上册 新知探究 反过来，如果，那么点是否在线段的垂直平分线上？ 结论：点在线段的垂直平分线上． 已知：如图，． 求证：点在线段的垂直平分线上． 证明：取的中点，连接 ∵是，∴ 在和中，∴≌(). ∴ ∵∴ ∵是, ∴是的垂直平分线，即点在线段的垂直平分线上 探究二、垂直平分线的判定 新知探究 已知：如图，． 求证：点在线段的垂直平分线上． 法二、过点作于点， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴， ∴垂直平分，即点在线段的垂直平分线上. 探究二、垂直平分线的判定 新知探究 线段垂直平分线的判定： 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 几何符号表示为： ∵， ∴点在的垂直平分线上． 探究二、垂直平分线的判定 线段的垂直平分线的判定(1)：与线段两个端点距离相等的点在________________________． 几何语言： 如图，∵__________， ∴点P在AB的垂直平分线上． 这条线段的垂直平分线上 PA＝PB 数学　八年级上册 线段的垂直平分线的判定(2)(证2个点)： 如图，∵_________， ∴点P在AB的垂直平分线上． ∵_________， ∴点Q在AB的垂直平分线上． ∴PQ是AB的垂直平分线． PA＝PB QA＝QB 数学　八年级上册 1. 如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是 ( ) A. AO＝BO B. PO⊥AB C. PO是AB的垂直平分线 D. 点P在AB的垂直平分线上 D 数学　八年级上册 2. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有 ( ) A. AB垂直平分CD B. CD垂直平分AB C. AB与CD互相垂直平分 D. CD平分∠ACB A 数学　八年级上册 3. (RJ八上P67 T2改编)如图，AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是BC的垂直平分线． 证明：∵AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上． ∵MB＝MC， ∴点M在BC的垂直平分线上， ∴直线AM是BC的垂直平分线． 数学　八年级上册 4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD相交于点O. 求证：AC垂直平分线段BD. ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL). ∴BC＝DC. ∴点C在线段BD的垂直平分线上. ∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上. ∴AC是线段BD的垂直平分线，即AC垂直平分线段BD. 证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中， 数学　八年级上册 5. 如图，AD平分∠BAC和∠BDC. 求证：(1)△ABD≌△ACD 证明：(1)∵AD平分∠BAC和∠BDC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA. ∴△ABD≌△ACD (ASA). 在△ABD和△ACD中， 数学　八年级上册 (2)AD垂直平分BC. (2)由(1)知△ABD≌△ACD， ∴AB＝AC，BD＝CD. ∴点A，D均在线段BC的垂直平分线上． ∴AD垂直平分BC. 数学　八年级上册 6. 如图，E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证： (1)△OCE≌△ODE； 证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ED＝EC. ∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL). 在Rt△OCE和Rt△ODE中， 数学　八年级上册 (2)∵Rt△OCE≌Rt△ODE， ∴OD＝OC. 又∵ED＝EC， ∴OE是线段CD的垂直平分线． (2)OE是线段CD的垂直平分线． 数学　八年级上册 2.如图，,，点在直线上. 求证：. 证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线. ∵点在直线上， ∴. 新知探究 探究二、应用 知 识 梳 理 课堂小结 线段的垂直平分线 性质 判定 原命题和逆命题 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ∵直线垂直且平分线段,在直线上 (或， )， ∴ 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在的垂直平分线上． $