15.1.2 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定（课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十五章 轴对称 15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册15.1.2第1课时《线段的垂直平分线的性质与判定》专项练习（全文约1412字） ## 一\(D、E\)知识梳理 1. **线段垂直平分线的性质**：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线$l$垂直平分$AB$，点$P$在直线$l$上，则$\(PA=PB\)$。 2. **线段垂直平分线的判定**：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若$\(PA=PB\)$，则点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。 辨析： - 性质：点在垂直平分线上 $\Rightarrow$ 到线段两端距离相等（由线推边相等） - 判定：到线段两端距离相等 $\Rightarrow$ 点在垂直平分线上（由边相等推点在线上） 重要结论：线段的垂直平分线是**到线段两个端点距离相等的所有点的集合**。 常用隐含条件：公共边\(D、E\)垂直\(D、E\)中点。 解题思路：看到垂直平分线，直接得到线段相等，可省略全等证明；若题目给两条线段相等，可判定点在线段垂直平分线上。 ## 二\(D、E\)专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 线段垂直平分线的性质是（） A. 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 B. 到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上 C. 垂直于线段的直线就是垂直平分线 D. 平分线段的直线就是垂直平分线 2. 点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，则一定成立的是（） A.$\(PA=PB\)$ B.$\(PA=AB\)$ C.$\(PB=AB\)$ D.$\(∠A=∠B\)$ 3. 若$\(PA=PB\)$，则可以判定（） A. 点$P$一定在线段$AB$的垂直平分线上 B. 点$P$一定在线段$AB$上 C. $P$是线段$AB$中点 D. 直线$PA$垂直$AB$ 4. 直线$MN$垂直平分线段$AB$，交$AB$于$C$，下列错误的是（） A.$\(AC=BC\)$ B.$MN⊥AB$ C.$\(MA=MB\)$ D.$AB$垂直平分$MN$ 5. 在△ABC中，$DE$垂直平分$AC$，$\(AD=5\)$，则$DC$的长为（） A.3 B.4 C.5 D.6 6. 下列说法正确的是（） A. 经过线段中点的直线就是线段垂直平分线 B. 垂直于线段的直线就是垂直平分线 C. 线段垂直平分线既是垂线，又过线段中点 D. 到线段一端距离相等的点在垂直平分线上 7. 平面内，到线段$AB$两端点距离相等的点有（） A.1个 B.2个 C.无数个 D.0个 8. 如图，$\(AC=BC\)$，$\(AD=BD\)$，则直线$CD$（） A. 平分$AB$，但不垂直$AB$ B. 垂直平分$AB$ C. 垂直$AB$，但不平分$AB$ D. 与$AB$不垂直也不平分 9. △ABC中，$DE$是$AB$的垂直平分线，$\(AE=4\)$，则$BE$等于（） A.2 B.4 C.6 D.8 10. 三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离（） A. 都相等 B. 都不相等 C. 两组相等 D. 无法确定 ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 线段垂直平分线上的点到线段两个________的距离相等。 12. 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 13. 若直线$l$垂直平分$AB$，点$P$在$l$上，则$PA$________$PB$。 14. 三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的________。 15. 若$\(PA=PB\)$，$\(QA=QB\)$，则直线$PQ$是线段$AB$的________。 16. 线段垂直平分线必须同时满足两个条件：**过线段中点**和________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）已知：直线$MN$垂直平分线段$AB$，点$P$在$MN$上。求证：$\(PA=PB\)$。 18.（12分）已知：$\(PA=PB\)$。求证：点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。 19.（12分）如图，在△ABC中，$\(AB=AC\)$，点$D\(D、E\)E$在$BC$上，且$\(AD=AE\)$。求证：直线$AF$（$F$为$BC$中点）垂直平分$DE$。 ## 三\(D、E\)参考答案与解析 **选择题**：1.A 2.A 3.A 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.B 10.A **填空题**： 11.端点；12.垂直平分线；13.=；14.外心；15.垂直平分线；16.垂直于这条线段 **解答题** 17.证明：∵直线$MN$垂直平分线段$AB$，点$P$在$MN$上， 根据线段垂直平分线的性质，∴$\(PA=PB\)$。 18.证明：过点$P$作$PF⊥AB$于$F$。 ∵$\(PA=PB\)$，$PF⊥AB$，∴$\(AF=BF\)$（等腰三角形三线合一）。 ∴$PF$垂直平分$AB$，即点$P$在线段$AB$的垂直平分线上。 19.证明：∵$\(AB=AC\)$，$F$是$BC$中点，∴$AF⊥BC$。 ∵$\(AD=AE\)$，$AF⊥DE$，∴$\(FD=FE\)$。 ∵$AF⊥DE$，$\(FD=FE\)$，∴直线$AF$垂直平分$DE$。 本节核心区分线段垂直平分线的**性质**与**判定**。性质：点在线上，距离相等；判定：距离相等，点在线上。易错点：只过中点但不垂直，或者只垂直不过中点，都不是垂直平分线。三角形三边垂直平分线交于外心，外心到三个顶点距离相等，常作为填空考点。做题时，看到垂直平分线直接写线段相等，不用重复证明全等；题目给两条线段相等，可用判定说明点在垂直平分线上。线段垂直平分线是轴对称这一章的重点，常和等腰三角形结合出综合大题。 （全文：1412字） 下一节：**15.2 画轴对称图形**，同样1412字练习吗？ 学习目标 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 一 了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 二 三 在探究和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 复习引入 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 具有的性质 之间的位置关系 联系 把一个轴对称图形 . ，这两个图形关于这条轴对称. 把成轴对称的两个图形 ，它就是一个轴对称图形. 沿对称轴分成两个 看成一个整体 一个图形 两个图形 图形 复习引入 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 性质 1.成轴对称的两个图形 . 2.成轴对称的两个图形中，连接对称点 的线段被对称轴 . 线段的垂直平分线 经过线段 并且 于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 轴对称图形具有类似的性质. 中点 垂直平分 全等 垂直 探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 探究新知 探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等． 探究新知 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 你能证明这个性质吗？ 探究新知 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上． 求证：PA＝PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB．  当点P与点C重合 时，显然成立． 又AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA＝PB． 当点P与点C重合时，显然成立． 探究新知 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 符号语言： ∵直线 l 垂直平分 AB， ∴ PA =PB． 探究新知 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 　　点P 在线段AB 的垂直平分线上． 你能证明这个结论吗？ 探究新知 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P作直线 l⊥AB， 垂足为C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴AC =BC． 又PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． （2）点 P 在线段 AB 上.显然点 P 是 AB 的中点，此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. （1）当点 P 在线段 AB 外时 A B P 探究新知 垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 符号语言： ∵PA＝PB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 探究新知 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 探究新知 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A.AB＝AD　　 B.CA平分∠BCD C.AB＝BD　　 D.△BEC≌△DEC 返回 C 基础提优题 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为(　　) A.104°　　 B.116°　　 C.128°　　 D.142° B 基础提优题 【点拨】∵∠ABC＝52°，∴∠BMN＋∠BNM＝180°－∠ABC＝180°－52°＝128°.∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，∴MA＝MP，NP＝NC，∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP， 返回 基础提优题 ∴∠BMN＝∠MAP＋∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP＋∠NPC＝2∠NPC，∴∠MPA＋∠NPC＝∠BMN＋∠BNM＝×128°＝64°，∴∠APC＝180°－(∠MPA＋∠NPC)＝180°－64°＝116°. 返回 基础提优题 试一试：说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 解：（1）内错角相等，两直线平行，成立； （2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立； （3）对应角相等的两个三角形全等，不成立； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立． 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 探究新知 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 在几何中，有许多互逆的定理．例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和 “内错角相等，两直线平行”也是互逆定理． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（    ） A．21 B．9 C．18 D．13 D 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．下列命题是假命题的是（　　） A．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．两直线平行，同位角相等 D．三角形的一个外角等于两个内角的和 D 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 证明：（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． （2）的周长为， ， ， ， ，， ． 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ． 各边垂直平分线的交点 当堂检测 3. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，若△BCD的周长为5，BC＝2，则边AB的长的取值范围为　　　　　　. 返回 1＜AB＜5 基础提优题 【点拨】∵△BCD的周长为5，BC＝2，∴BC＋BD＋CD＝2＋BD＋CD＝5，∴BD＋CD＝3.∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴AD＝BD，∴AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝3.由三角形的三边关系得AC－BC＜AB＜AC＋BC，∴3－2＜AB＜3＋2，即边AB的长的取值范围为1＜AB＜5. 返回 基础提优题 知识点2 线段的垂直平分线的判定 4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则(　　) A.CD垂直平分AB　　 B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB　　 D.以上结论均不对 返回 B 基础提优题 5.［2026无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的(　　) A.三边中线的交点处 B.三边垂直平分线的交点处 C.三条角平分线的交点处 D.三边上高的交点处 返回 B 基础提优题 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(5，5)，点B(1，1)，点C(7，1)，若点P到点A，B，C的距离相等，则点P的坐标为　　　　. 返回 (4，2) 【点拨】∵点P到点A，B，C的距离相等，∴点P是线段AB，BC垂直平分线的交点，如图，故点P的坐标为(4，2). 基础提优题 知识点3 互逆命题(定理) 7.下列说法中错误的个数是(　　) ①任何一个命题都有逆命题； ②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题； ③任何一个定理都有逆定理； ④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题. A.4　　 B.3　　 C.2　　 D.1 返回 B 基础提优题 8. 按要求解答下列各小题. (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是同位角； 【解】“相等的角是同位角”的逆命题：如果两个角是同位角，那么这两个角相等. 基础提优题 ②如果a＋b＜0，那么ab＜0； 【解】“如果a＋b＜0，那么ab＜0”的逆命题：如果ab＜0，那么a＋b＜0. 基础提优题 (2)判断(1)中①的原命题和逆命题是否互为逆定理. 返回 【解】因为定理首先是真命题，而(1)中①的原命题与逆命题都是假命题， 故(1)中①的原命题和逆命题不是互为逆定理. 基础提优题 9. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与A点在MN的同一侧，连接BC交MN于点P，连接AP，则(　　) A.BC＞PC＋AP　　 B.BC＝PC＋AP C.BC＜PC＋AP　　 D.BC≤PC＋AP 返回 B 综合应用题 10.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠OEB＝46°，则∠AOC＝(　　) A.92°　　 B.88°　　 C.46°　　 D.86° B 综合应用题 点 P 在线段 AB的垂直平分线上 线段的垂直 平分线的性质与判定 线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的判定 PA＝PB 互逆命题 互逆定理 课堂小结 谢谢观看 THANKS $