培优练2 与圆有关的最值问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

培优练2　与圆有关的最值问题 A级　必备知识基础练 1.(2025通州高二月考)已知直线l：x－y＋4=0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2=2，则圆C上的点到直线l的距离的最大值为(　　) A．　　 B．2 C．3　　 D．4 2.(多选题)(2025扬州高二调研)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1=0，则下列说法正确的是(　　) A．y－x的最大值为－2 B．x2＋y2的最大值为7＋4 C．的最大值为 D．x＋y的最大值为2＋ 3.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2=1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2=9，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为(　　) A．　　 B．－1 C．6－2　　 D．5－4 4.已知点P在圆M：(x－4)2＋(y－2)2=4上，点A(2，0)，B(0，2)，则∠PBA的最小值和最大值分别为(　　) A．0°和60°　　 B．15°和75° C．30°和90°　　 D．45°和135° 5.(2025苏州高二月考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2=1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则实数m的最大值为(　　) A．7　　 B．6　　 C．5　　 D．4 6.(2025徐州高二质检)已知A(0，－2)，B(2，0)，P为圆x2＋y2－2x－8y＋13=0上任意一点，则△PAB面积的最大值为　　　　． 7.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y=0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12=0上，则△PC1C2面积的最大值为　　　　． 8.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且与直线x－y＋2=0相切． (1)求圆C的方程． (2)在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny=1与圆O：x2＋y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由． 9.已知线段AB的端点B的坐标是(6，5)，端点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2=4上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程； (2)若点C在曲线C2上运动，点Q在x轴上运动，求|QA|＋|QC|的最小值． B级　关键能力提升练 10.(多选题)(2025常州高二调研)已知圆C：x2＋(y－2)2=2，点P是圆C上的一个动点，点A(2，0)，则(　　) A．≤AP≤3 B．∠PAC的最大值为 C．△PAC面积的最大值为2 D．•的最大值为4 11.已知圆C：(x－2)2＋(y－6)2=4，点M为直线l：x－y＋8=0上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小值为(　　) A．8　　 B．6 C．5　　 D．2＋4 12.(2025泰州高二质检)已知圆C：(x－2)2＋y2=1及点A(0，2)，点P，Q分别是直线x＋y=0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为　　　　　． 13.(2025镇江高二质检)某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用．已知甲、乙两地相距8 km，丙、甲两地的距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是　　　　． C级　学科素养创新练 14.(2025无锡高二质检)已知动点M与两定点Q，P的距离之比=λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2＋y2=1，定点Q为x轴上一点，P(－，0)且λ=2，若点B(1，1)，则2|MP|＋|MB|的最小值为(　　) A．　　 B．2 C．3　　 D．4 15.(2025常州高二质检)已知A，B是曲线|x|－1=上两个不同的点，C(0，1)，则|CA|＋|CB|的最大值与最小值的比值是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案： 1.C　解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最大值等于圆心(1，1)到直线l的距离加上圆的半径，即＋=3． 2.AB　解析　对于A，设z=y－x，则y=x＋z，z表示直线y=x＋z在y轴上的截距，当直线与圆(x－2)2＋y2=3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；对于B，x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的点的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2=7＋4，故B说法正确；对于C，设=k，把y=kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1=0，则Δ=16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的最大值为，故C说法错误；对于D，设m=x＋y，则y=－x＋m，m表示直线y=－x＋m在y轴上的截距，当直线与圆(x－2)2＋y2=3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误． 3.D　解析　如图所示，圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3，4)，半径为3.设M′为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M′，N三点共线时，PM＋PN=PM′＋PN取得最小值，且PM＋PN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC2－3－1=－4=5－4. 4.B　解析　如图所示，当PB与圆相切时对应∠PBA取得最大值和最小值，设取得最小值时切于点P1，取得最大值时切于点P2， 由MP1=2，BM=4，MP1⊥BP1，可得sin∠MBP1=，所以∠MBP1=30°，同理得∠MBP2=30°， 由点A(2，0)，B(0，2)，可知∠ABO=45°，所以∠ABP1=90°－45°－30°=15°，∠ABP2=15°＋30°＋30°=75°．故选B． 5.B　解析　根据题意，画出示意图，如图所示，圆心C的坐标为(3，4)，半径r=1，且AB=2m． 连接OP，因为∠APB=90°，所以OP=AB=m． 要求实数m的最大值，即求圆C上的点P与原点O之间距离的最大值． 因为OC==5，所以OPmax=OC＋r=6，即实数m的最大值为6. 6.5＋2　解析　圆x2＋y2－2x－8y＋13=0的圆心C(1，4)，半径r=2.由A(0，－2)，B(2，0)，得直线AB的方程为y=x－2.点C到直线AB：x－y－2=0的距离d==，而点P在圆C上，因此点P到直线AB距离的最大值为＋2，又AB==2，所以△PAB面积的最大值为S=×2×(＋2)=5＋2． 7.4　解析　将两圆的方程化为标准方程得C1：(x＋2)2＋(y－2)2=8，C2：(x－2)2＋y2=16，则圆心C1(－2，2)，半径r1=2，圆心C2(2，0)，半径r2=4，所以C1C2==2，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4=4． 8.解　(1)设圆心的坐标为(x0，0)(x0＞0)，它到直线x－y＋2=0的距离d==2，解得x0=2或x0=－6(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2=4. (2)存在，理由如下： 因为点M(m，n)在圆C上，所以(m－2)2＋n2=4，即n2=4－(m－2)2=4m－m2，且0≤m≤4. 又因为原点到直线l：mx＋ny=1的距离h==＜1，解得＜m≤4， 而AB=2， 所以S△OAB=AB•h===． 因为≤＜1，所以当=，即m=时，S△OAB取得最大值， 此时点M的坐标是(，)或(，－)，△OAB的面积取得最大值． 9.解　(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，因为点B的坐标为(6，5)，且点P是线段AB的中点，所以x=，y=．于是有x0=2x－6，y0=2y－5.① 因为点A在圆C1：(x－4)2＋(y－3)2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x－4)2＋(y－3)2=4，即(x0－4)2＋(y0－3)2=4.② 把①代入②，得(2x－6－4)2＋(2y－5－3)2=4，整理得(x－5)2＋(y－4)2=1，所以点P的轨迹C2的方程为(x－5)2＋(y－4)2=1. (2)圆C1的圆心为(4，3)，半径r1=2，圆C2的圆心为(5，4)，半径r2=1， 所以|QA|＋|QC|≥|QC1|－r1＋|QC2|－r2=|QC1|＋|QC2|－3.③ 当且仅当A在线段QC1上且C在线段QC2上时，取等号． 取C1(4，3)关于x轴的对称点C3(4，－3)(如图)，当点Q为直线C2C3与x轴的交点时，|QC1|＋|QC2|取得最小值，且(|QC1|＋|QC2|)min=|C2C3|=5，所以|QA|＋|QC|的最小值为5－3． 10.AC　解析　对于A选项，圆C的圆心为C(0，2)，半径为r=，圆心C(0，2)到A(2，0)的距离为2，所以2－r≤AP≤2＋r，即≤AP≤3，故A正确； 对于B选项，根据题意，如图，当CP⊥AP时，∠PAC取得最大值，此时△APC为直角三角形，由于AC=2CP=2，所以∠PAC=，故∠PAC的最大值为，故B错误； 对于C选项，由于AC=2CP=2，所以当AC⊥CP时，△PAC的面积最大，即△PAC面积的最大值为S=×2×=2，故C正确； 对于D选项，如图，当A，P，C三点共线时，与共线且同向，||=2，||=3，所以•=12，故D错误．故选AC． 11.A　解析　圆C：(x－2)2＋(y－6)2=4的圆心坐标为C(2，6)，半径为2，因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，所以有MA=MB，MA⊥CA，MB⊥CB，因此有MA=MB==，要想四边形CAMB周长最小，只需MC最小，即当MC⊥l时，此时MC==2，MA=MB==2，则四边形CAMB周长的最小值为2×2＋2×2=8，故选A． 12.3　解析　作出点A关于直线x＋y=0的对称点A′，如图． 设点A′(x0，y0)， 则有解得 即A′(－2，0)，而C(2，0)，由圆的性质知，圆外点P与圆C上点Q的距离|PQ|满足|PQ|≥|PC|－1(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取等号)，连接A′C，交直线x＋y=0于点O，P为直线x＋y=0上任意一点，连接PA，PA′，PC(线段PC交圆C于点Q)，则(|PA|＋|PQ|)min=|PA|＋|PC|－1=|PA′|＋|PC|－1≥|A′C|－1=3，当且仅当点P在线段A′C上，即与点O重合时取等号，所以|PA|＋|PQ|的最小值为3.故答案为3. 13.16 km2　解析　以点A，B，C分别表示甲、乙、丙三地，以线段AB的中点O为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，设点C(x，y)，则|AC|=|BC|，即=•，整理可得(x－8)2＋y2=48，∴点C的轨迹是以点(8，0)为圆心，4为半径的圆(点A，B，C不在同一条直线上)，∴S△ABC≤×8×4=16． 14.A　解析　设Q(a，0)，M(x，y)，则|MQ|=， 又P(－，0)， 所以|MP|=． 因为=λ且λ=2，所以=2，整理可得x2＋y2＋x=，又动点M的轨迹是x2＋y2=1，所以解得a=－2，所以Q(－2，0)，又|MQ|=2|MP|，所以2|MP|＋|MB|=|MQ|＋|MB|．因为B(1，1)，所以2|MP|＋|MB|的最小值为|BQ|==，当且仅当Q，M，B三点共线时取等号．故选A． 15.B　解析　|x|－1=化简得|x|－1=， 由|x|－1=，得(|x|－1)2＋(y－1)2=4. 因为|x|－1=≥0，所以x≤－1或x≥1. 当x≤－1时，(x＋1)2＋(y－1)2=4；当x≥1时，(x－1)2＋(y－1)2=4． 所以方程|x|－1=表示的曲线为圆P：(x＋1)2＋(y－1)2=4的左半部分和圆Q：(x－1)2＋(y－1)2=4的右半部分(如图)． 根据圆的性质知，当A，B分别与图中的M，N重合时，|CA|＋|CB|取得最大值，且最大值为6； 当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，|CA|＋|CB|取得最小值，且最小值为2． 故|CA|＋|CB|的最大值与最小值的比值是=．故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $