专题05 圆中的范围与最值问题十一种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 以“两条底线原则”为核心，系统梳理圆中范围与最值十一种考法，通过题型模版实现方法迁移，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|距离与长度最值转化（圆心距与半径关系）、代数式几何意义（斜率/截距/距离平方型）|从圆的基本性质出发，构建几何量转化框架| |题型归纳|11题型（每题型1典例+3变式）|每种题型特征与对应解法（如切线长最值转化为点到圆心距离最值）|题型与方法一一对应，形成“问题-转化-求解”链条| |压轴挑战|14题|综合应用通法解决复杂问题|提升知识迁移与综合解题能力|

专题05 圆中的范围与最值问题十一种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆上动点与定点的最值问题 题型二、直线上动点与圆心的最值问题 题型三、动直线斜率的最值问题的最值问题 题型四、动直线截距的最值问题 题型五、两点距离的最值问题 题型六、切线长的最值问题 题型七、切点弦的最值问题 题型八、切线角的最值问题 题型九、弦长的最值问题 题型十、面积的最值问题 题型十一、线段和与差的最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆中的范围最值问题问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕圆上动点与定点的最值问题、直线上动点与圆心的最值问题、动直线斜率的最值问题的最值问题、动直线截距的最值问题、两点距离的最值问题、切线长的最值问题、切点弦的最值问题、切线角的最值问题、弦长的最值问题、面积的最值问题、线段和与差的最值问题十一大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是距离与长度最值问题：（1）定点到圆上动点的距离：转化为定点到圆心的距离与半径的关系。若点在圆外，最大值为 ，最小值为 ；若点在圆内，最大值为 ，最小值为 。 （2）圆上动点到定直线的距离：转化为圆心到直线的距离 与半径 的关系。最大值为 ，最小值为 （若直线与圆相离，最小值为 ）。（3）切线长与弦长：切线长 ，求切线长最值等价于求点到圆心距离 的最值，过圆内定点的最长弦为直径，最短弦为垂直于过该点直径的弦；二是代数式的几何意义问题 （1）斜率型：形如 的最值，转化为圆上动点与定点 连线的斜率最值，通常在连线与圆相切时取得。 （2）截距型：形如 的最值，转化为动直线 在 轴上的截距最值，利用圆心到直线距离等于半径（相切）求解。 （3）距离平方型：形如 的最值，转化为圆上动点到定点 距离的平方，利用几何法或三角换元求解。 涉及直线上动点到两定点距离之和或差的最值。口诀为“和最小，化异侧；差最大，转同侧”。通过作定点关于直线的对称点，将折线段转化为直线段，利用三点共线求最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆上动点与定点的最值问题 典例1已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（  ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求出的最小值. 【解析】因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 题型模版 1.特征：圆上的动点与定点的距离问题． 2.方法：圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决． 变式1-1设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．15 【答案】B 【解析】由圆，可知圆心，半径为3，又， 所以，即点的轨迹方程为， 故点到点距离的最小值为. 故选：B. 变式1-2（多选）已知圆心为的圆与点，则（ ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点与圆上任一点距离的最大值为 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确； 因点，则，点在圆外，B正确； 因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确； 在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确. 故选：BCD 变式1-3点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得 ，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值． 【解析】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．， 可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为， 由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴， ∴， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：1 类型二、直线上动点与圆心的最值问题 典例2 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【解析】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立，所以直线与该圆相离，所以的最小值为. 故选：C. 题型模版 1.特征：直线动点与圆上点距离问题或者圆上动点与定直线距离问题. 2.方法：直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离，通过加减半径解决． 变式2-1点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，圆心， 所以圆心到的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 变式2-2圆上的点到直线距离的最大值是（  ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 故选：A. 变式2-3在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 【答案】 【分析】根据已知有，应用分类讨论去绝对值求出动点的轨迹，进而得到面积，数形结合判断最大对应点的位置，再应用点线距离公式、圆的性质求距离最大值. 【解析】由题设， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 由，可得，则， 所以点的轨迹所围成图形如下图示， 轨迹是边长为的正方形，故其面积为8， 由图及以上分析知，直线上的线段存在点到圆上点的距离最大， 由的圆心为，半径，则到的距离为， 而到的距离为，到的距离为，显然， 综上，线段上到圆上点的最大距离. 故答案为：8， 题型三、动直线斜率的最值问题的最值问题 典例3 已知为圆上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 依题意，， 可看作圆上任意一点与定点确定直线的斜率， 当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图， 当直线切圆于点时，取得最大值，切圆于点时，取得最小值， 直线，， 直线的斜率， 所以的最小值为. 故选：D 题型模版 1.特征：圆上动点到定点斜率最值问题。 2.方法：形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题进而转化为直线与圆的位置关系 变式3-1设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线表示以为圆心，为半径的下半圆，如图所示： 可表示点与点连线斜率 当直线与圆相切时：设直线方程为，即 圆心到直线距离， 解得或， 又，所以， 当直线经过点时，， 综上 故选：B. 变式3-2（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】CD 【解析】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆， 则为圆上的点与定点的斜率的值， 设过点的直线为，即， 则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得， 所以，即的最大值为，最小值为. 故选：CD. 变式3-3如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故答案为： 题型四、动直线截距的最值问题 典例4 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（  ） A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2 【答案】A 【解析】即为 y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距， 当直线y＝2x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值为1，最小值为－9． 故选A. 题型模版 1.特征：形如的最值问题. 2.方法：，可转化为动直线截距的最值问题进而转化为直线与圆的位置关系。 变式4-1已知实数满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将其看作直线，由题知直线和圆有公共点，则利用圆心到直线的距离小于或等于圆的半径，即可求出结果. 【解析】设，将其看作直线， 由直线与圆有公共点， 得圆心到直线的距离小于或等于圆的半径， 即，解得， 所以的最大值为， 即的最大值为 故选：D. 变式4-2（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在中，已知，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则（ ） A．"欧拉线"方程为 B．圆上点到“欧拉线”的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是1 D．若点在圆上，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】因为，故欧拉线即为的中垂线， 而，，故的中点为，而， 故为的中垂线方程为：，故A错误. 因为圆与欧拉线相切，故， 所以圆上的点到欧拉线的距离为 ，故B正确. 若点在圆上，设，则， 故，故的最小值为1，故C正确. 因为点在圆上，故即， 故， 由C的判断可得，故，故D正确. 故选：BCD. 变式4-3点在圆上，则的范围是_______． 【答案】 【解析】设，，即， 所以， 因为，所以. 故答案为： 题型五、两点距离的最值问题 典例5 已知实数x，y满足，求的最大值与最小值． 【答案】最大值为51，最小值为11 【解析】已知方程可化为， 则此方程表圆，且圆心C的坐标为，半径长． 又． 它表示圆上的到的距离的平方再加； 所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值， 显然点P与点E距离的最大值为， 点P与点E距离的最小值为. 又因为， 则的最大值为， 的最小值为； 即的最大值为51，最小值为11. 题型模版 1.特征：形如的最值问题 2.方法：，可转化为圆上的点到点（a，b）的距离，进而转化为圆心到点的距离通过加减半径再平方求得。 变式5-1古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【解析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得，所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 变式5-2若非负数，满足，则的最大值为（  ） A． B．42 C． D．40 【答案】C 【分析】利用换元法转化为圆的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解. 【解析】令，，所以，则. 因为，所以，则（，）， 则点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分， 则表示点到坐标原点的距离，由图可知，该距离的最大值为， 此时，，即，，所以的最大值为. 变式5-3若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据题意确定出动点的轨迹，利用数形结合，转化为原点与线段上动点的距离的平方求解即可. 【解析】由直线方程可知两直线斜率相等，所以， 由平行线的几何性质知的轨迹为平行于且与等距离的直线， 故直线方程为， 又点在圆上及圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段，如图， 即原点和距离的平方．由图可知，，，， 故答案为： 题型六、切线长的最值问题 典例6从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（  ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可. 【解析】圆化为，圆心为，半径为1， 直线上的点向圆引切线，设切点为， 则， 要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小， 由点到直线的距离公式可得，. 所以切线长的最小值为. 故选：B. 题型模版 1.特征：直线上动点向圆引一条切线，利用切线长 ，研究最值. 2.方法：求切线长最值等价于求点到圆心距离 的最值。 变式6-1若过直线上一点向圆：作一条切线切于点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得，当取得最小值时，的值最小，由点到直线的距离分析的最小值，进而计算可得答案． 【解析】根据题意，圆，其圆心为，半径， 过点向圆作一条切线切于点，则， 当取得最小值时，的值最小， 而的最小值为点到直线的距离，则， 则的最小值为， 故选：D 变式6-2已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 故选：B 变式6-3（多选）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（  ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 【答案】BCD 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆M上的点到直线l的最小和最大距离，分析可判断A的正误；根据切线长公式，结合圆心到直线的距离，分析可判断B的正误；根据B选项中的最小距离，代入面积公式，即可判断C的正误；求出点P的轨迹方程，与圆M方程联立，可得直线AB的方程，分析可判断D的正误. 【解析】对于A，由圆M：，可知圆心，半径r＝1， 所以圆心到直线的距离为， 圆M上的点到直线l的最小和最大距离分别为和， 由于，圆M上有两个点到直线l的距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值， 又，所以，故B正确； 对于C，因为四边形AMBP面积为， 因为，所以四边形AMBP面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点A，B在以PM为直径的圆上， 又，所以点P的轨迹为， 即， 又圆M：，即， 两式子相减得直线AB的方程为：，即， 令，得，即直线AB恒过定点，故D正确．    故选：BCD 题型七、切点弦的最值问题 典例7已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【解析】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以，圆心到直线的距离，且易知，，所以， 所以 故选：D 题型模版 1.特征：圆外一点向圆引两切线构成圆与已知圆得到切点弦； 2.方法：，利用两圆方程相减得到切点弦的方程，进而利用弦长公式研究最值。 变式7-1过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得以为直径的圆的方程，与圆方程相减得到直线方程，进而可求解. 【解析】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以 故选：C 变式7-2（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（  ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【解析】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 故选：AD 变式7-3如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    【答案】 【分析】推导出，利用等面积法可得，分析可知，当的长度最小，只需使线段的长度最小，可知当时，取最小值，结合点到直线的距离公式可求得的最小值. 【解析】由切线长定理可得， 又因为，，则，所以，， 所以，， 则四边形的面积为，所以. 在中，，代入整理得， 要使线段的长度最小，只需使线段的长度最小， 而是圆心到直线上任意一点的距离， 故当且仅当时，即为圆心到直线的距离时，最小， 此时，则. 故答案为：. 题型八、切线角的最值问题 典例8 已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线是否过圆心进行分类讨论，结合直线与圆的相关性质即可求解. 【解析】当直线过圆心时，两条切线平行，所以夹角为0， 当直线不过圆心时，如图，设两条切线交于点，则， 设点到直线的距离为，因为直线过点，所以 当时，直线斜率不存在，不符合题意， 所以，则，，综上，两条切线夹角的取值范围是. 故答案为： 题型模版 1.特征：圆外一点向圆引两切线形成切线角。 2.方法：由切线性质可得两三角形相似，根据两点距离公式结合二次函数性质求圆外一点与圆心连线的最小值，由此可得结论.。 变式8-1已知A，B是圆上两点，若直线上存在点，使，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】从直线上的点向圆上的点连线成角时，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，因此要使，只需使最大角，由此可将问题转化为直线上的点到圆心O的距离，从而求出的取值范围． 【解析】点到直线的距离为，所以直线与圆相离.此时，从直线上的点向圆上的点连线成角时，当且仅当两条线均为切线时所成的角最大，因此若直线上存在点，使，则最大角，如图所示，过作圆的切线，则，即.即，.又点在直线 上，∴.∴，即.∴.∴的取值范围为. 故答案为： 变式8-2过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】先表示出，问题转化为求解，即求解圆半径的最小值求解. 【解析】设圆心为，则，. 由题意可知， 所以，因为， 所以当时，有最小值， 所以的最小值为. 故答案为： 变式8-3已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系及几何关系求解即可. 【解析】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为：. 题型九、弦长的最值问题 典例9已知直线与圆交于两点，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 题型模版 1.特征：设绕定点旋转的动直线与圆相交弦长最值问题； l＝|x1－x2|＝。 2.方法：过圆内定点的最长弦为直径，最短弦为垂直于过该点直径的弦。 变式9-1已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【解析】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 故选：B 变式9-2（多选）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（  ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【解析】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确. 故选：BCD   变式9-3已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为_____________ 【答案】 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【解析】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 故答案为： 题型十、面积的最值问题 典例10 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（  ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【解析】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 题型模版 1.特征：直线与圆相交构成的动态三角形面积、圆外一点向圆引两条切线与两半径构成四边形面积最值问题。 2.方法：将面积表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解，遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。 变式10-1已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【解析】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 变式10-2（多选）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 【答案】AD 【分析】先求出圆 的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定点的距离减去圆半径，求得，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定理及正弦函数的最值求得的范围，从而得到的范围判断B；分析 构成的三角形面积最大值情况，判断C；由 恒成立，得，得关于的不等式，求解可得 的取值范围，判断D. 【解析】圆 的圆心为，半径为，又， 对于A，因 为圆 上的动点，则. 而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A正确； 对于B，由，得点在圆外. 当三点共线时，； 当三点不共线时，由正弦定理得，， 所以. 因为，所以. 又，所以. 综上所述，，所以B错误； 对于C，设点到直线的距离为，则的面积. 因为点在圆上，所以的最大值等于半径为，所以. 当或时，. 所以 构成的三角形面积无最大值，所以C错误； 对于D，若 恒成立，则恒成立， 即恒成立，化简得， 解得或，所以D正确. 故选：AD 变式10-3已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________. 【答案】15 【解析】令得，令得，所以A（4，0），点B（0，3）， ∴|AB|＝5， 由x2＋y2-10x-12y＋52＝得， 所以圆的半径为3，圆心为， 圆心到直线的距离， 所以点C到直线的距离的最小值为，最大值为， 所以的最大值为，最小值为， 所以△ABC面积的最大值和最小值之差为. 故答案为：15 题型十一、线段和与差的最值问题 典例11已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（  ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知，所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以，所以，此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 题型模版 1.特征：直线上动点与圆上两动点线段和与差。 2.方法：遇到此类问题，坚持“数形结合”，抓住对称性利用三点共线求解。 变式11-1已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．7 D． 【答案】B 【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，， ．点关于轴的对称点为， ，所以，， 故选：B． 变式11-2（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（  ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【解析】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 变式11-3已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（  ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【解析】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 故选：B 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【解析】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 故选：C 2．若实数x，y满足，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【解析】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 故选：C 3．已知实数、满足方程，则最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径长为， ，所以，原点在圆外. 的几何意义为坐标原点到圆上一点距离的平方，. 故选：A 4．已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【解析】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或 故选：D 5．已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【解析】圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值，又，所以． 故选：D 6．定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，利用题意得到，然后三角换元，表示，然后化简求最值即可. 【解析】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 7．（多选）若圆与圆N关于直线对称，则（  ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 【答案】BC 【分析】根据对称求出圆N的方程，根据两圆的方程可判断A,B，根据点和圆心的距离可判断C,D. 【解析】因为圆与圆N关于直线对称，所以圆. 圆心距，恰好等于两圆的半径和，所以两圆外切；A错误，B正确； 因为，所以圆N上一点与点的距离的最小值为，C正确； 因为，所以圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为，D错误. 故选：BC 8．（多选）已知点，，点P在圆上运动，则（  ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【解析】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD 9．（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（  ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【解析】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 故选：ABD 10．在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件判断出点的轨迹，然后根据三角形面积公式结合图象可求解出的面积的最大值. 【解析】设，因为，所以， 化简可得， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 故答案为：3 11．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【解析】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时， 故答案为：2 12．记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【解析】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 故答案为： 13．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 【答案】(1)或;(2) 【分析】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程； （2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标. 【解析】（1）解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为， 又圆的标准方程为， 所以，圆心到切线的距离等于圆的半径， 则，解得或， 因此，所求切线的方程为或. （2）解：，， 又，， 所以，，则． 所以，点在直线上． ，的长度的最小值就是长度的最小值， 而长度的最小值为到直线的距离， 此时直线的方程为． 由，解得， 因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为 14．平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由，几何意义为：到的距离，几何意义为：到的距离，即可求解； （2）即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解； 【解析】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设， 则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离， 其最小值为圆心到的距离减去半径，即：， 所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为， 由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：，平方化简可得：，解得：或，即， 所以直线方程为：或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的范围与最值问题十一种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆上动点与定点的最值问题 题型二、直线上动点与圆心的最值问题 题型三、动直线斜率的最值问题的最值问题 题型四、动直线截距的最值问题 题型五、两点距离的最值问题 题型六、切线长的最值问题 题型七、切点弦的最值问题 题型八、切线角的最值问题 题型九、弦长的最值问题 题型十、面积的最值问题 题型十一、线段和与差的最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆中的范围最值问题问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕圆上动点与定点的最值问题、直线上动点与圆心的最值问题、动直线斜率的最值问题的最值问题、动直线截距的最值问题、两点距离的最值问题、切线长的最值问题、切点弦的最值问题、切线角的最值问题、弦长的最值问题、面积的最值问题、线段和与差的最值问题十一大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是距离与长度最值问题：（1）定点到圆上动点的距离：转化为定点到圆心的距离与半径的关系。若点在圆外，最大值为 ，最小值为 ；若点在圆内，最大值为 ，最小值为 。 （2）圆上动点到定直线的距离：转化为圆心到直线的距离 与半径 的关系。最大值为 ，最小值为 （若直线与圆相离，最小值为 ）。（3）切线长与弦长：切线长 ，求切线长最值等价于求点到圆心距离 的最值，过圆内定点的最长弦为直径，最短弦为垂直于过该点直径的弦；二是代数式的几何意义问题 （1）斜率型：形如 的最值，转化为圆上动点与定点 连线的斜率最值，通常在连线与圆相切时取得。 （2）截距型：形如 的最值，转化为动直线 在 轴上的截距最值，利用圆心到直线距离等于半径（相切）求解。 （3）距离平方型：形如 的最值，转化为圆上动点到定点 距离的平方，利用几何法或三角换元求解。 涉及直线上动点到两定点距离之和或差的最值。口诀为“和最小，化异侧；差最大，转同侧”。通过作定点关于直线的对称点，将折线段转化为直线段，利用三点共线求最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆上动点与定点的最值问题 典例1已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（  ） A． B． C．1 D． 题型模版 1.特征：圆上的动点与定点的距离问题． 2.方法：圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决． 变式1-1设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．15 变式1-2（多选）已知圆心为的圆与点，则（ ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点与圆上任一点距离的最大值为 D．点与圆上任一点距离的最小值为 变式1-3点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为 . 类型二、直线上动点与圆心的最值问题 典例2 是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：直线动点与圆上点距离问题或者圆上动点与定直线距离问题. 2.方法：直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离，通过加减半径解决． 变式2-1点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 变式2-2圆上的点到直线距离的最大值是（  ） A．7 B．5 C．3 D．2 变式2-3在平面直角坐标系中，已知点和，定义为“曼哈顿距离”.若，且，则点的轨迹所围成图形的面积为______；若为圆上任意一点，则最大值是______. 题型三、动直线斜率的最值问题的最值问题 典例3 已知为圆上任意一点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆上动点到定点斜率最值问题。 2.方法：形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题进而转化为直线与圆的位置关系 变式3-1设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-2（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 变式3-3如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 . 题型四、动直线截距的最值问题 典例4 已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（  ） A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2 题型模版 1.特征：形如的最值问题. 2.方法：，可转化为动直线截距的最值问题进而转化为直线与圆的位置关系。 变式4-1已知实数满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式4-2（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在中，已知，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则（ ） A．"欧拉线"方程为 B．圆上点到“欧拉线”的最大距离为 C．若点在圆上，则的最小值是1 D．若点在圆上，则的取值范围是 变式4-3点在圆上，则的范围是_______． 题型五、两点距离的最值问题 典例5 已知实数x，y满足，求的最大值与最小值． 题型模版 1.特征：形如的最值问题 2.方法：，可转化为圆上的点到点（a，b）的距离，进而转化为圆心到点的距离通过加减半径再平方求得。 变式5-1古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式5-2若非负数，满足，则的最大值为（  ） A． B．42 C． D．40 变式5-3若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________． 题型六、切线长的最值问题 典例6从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（  ） A． B．1 C． D． 题型模版 1.特征：直线上动点向圆引一条切线，利用切线长 ，研究最值. 2.方法：求切线长最值等价于求点到圆心距离 的最值。 变式6-1若过直线上一点向圆：作一条切线切于点，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 变式6-2已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（  ） A．2 B． C．3 D． 变式6-3（多选）已知圆M：，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点分别是A、B，下列说法正确的有（  ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．四边形AMBP面积的最小值为1 D．直线AB恒过定点 题型七、切点弦的最值问题 典例7已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆外一点向圆引两切线构成圆与已知圆得到切点弦； 2.方法：，利用两圆方程相减得到切点弦的方程，进而利用弦长公式研究最值。 变式7-1过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 变式7-2（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（  ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 变式7-3如图，圆，为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，切点分别为、，则线段长度的最小值为__________.    题型八、切线角的最值问题 典例8 已知直线与圆交于两点，过分别作圆的切线，则这两条切线夹角的取值范围是 . 题型模版 1.特征：圆外一点向圆引两切线形成切线角。 2.方法：由切线性质可得两三角形相似，根据两点距离公式结合二次函数性质求圆外一点与圆心连线的最小值，由此可得结论.。 变式8-1已知A，B是圆上两点，若直线上存在点，使，则的取值范围为_________． 变式8-2过点作圆的两条切线，切点分别为，，设，则的最小值为_____. 变式8-3已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 题型九、弦长的最值问题 典例9已知直线与圆交于两点，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型模版 1.特征：设绕定点旋转的动直线与圆相交弦长最值问题； l＝|x1－x2|＝。 2.方法：过圆内定点的最长弦为直径，最短弦为垂直于过该点直径的弦。 变式9-1已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 变式9-2（多选）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（  ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 变式9-3已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为_____________ 题型十、面积的最值问题 典例10 点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（  ） A． B．2 C．2 D．4 题型模版 1.特征：直线与圆相交构成的动态三角形面积、圆外一点向圆引两条切线与两半径构成四边形面积最值问题。 2.方法：将面积表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解，遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。 变式10-1已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 变式10-2（多选）已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 变式10-3已知直线3x＋4y-12＝0与x轴，y轴相交于A，B两点，点C在圆x2＋y2-10x-12y＋52＝0上移动，则△ABC面积的最大值和最小值之差为________. 题型十一、线段和与差的最值问题 典例11已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（  ） A．4 B． C． D． 题型模版 1.特征：直线上动点与圆上两动点线段和与差。 2.方法：遇到此类问题，坚持“数形结合”，抓住对称性利用三点共线求解。 变式11-1已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．7 D． 变式11-2（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（  ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 变式11-3已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（  ） A． B．3 C． D．4 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若实数x，y满足，则的最大值为（  ） A．3 B．5 C．2 D． 3．已知实数、满足方程，则最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（  ） A． B． C．或 D．或 5．已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 6．定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）若圆与圆N关于直线对称，则（  ） A．圆M与圆N相交 B．圆M与圆N外切 C．圆N上一点与点的距离的最小值为 D．圆M上一点与圆N上一点的距离的最大值为 8．（多选）已知点，，点P在圆上运动，则（  ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 9．（多选）已知点，，M为圆O：上一点，则（  ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 10．在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 11．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 12．记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 13．已知圆． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标． 14．平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离”，“光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. (1)求的最大值； (2)过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $