精品解析：湖南长沙市长郡双语白石湖实验中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

八上十月份数学思维训练 一、单选题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、该选项图形不是轴对称图形； B、该选项图形是轴对称图形； C、该选项图形不是轴对称图形； D、该选项图形不是轴对称图形． 2. 已知三角形两边的长分别是6和8，则这个三角形第三边的长可能为（ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，求出第三边的范围，然后进行判断即可． 【详解】解：设第三边的长为， ∵， ∴， 选项中仅7符合该范围，故B正确． 3. 如图．，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， A、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意； B、，满足边边角，无法判断，故本选项符合题意； C、添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意； D、添加，可得，可利用角边角证明，故本选项不符合题意； 故选：B. 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，点、、、共线， ， ， ． 6. 下列命题的逆命题正确的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 互为相反数的两个数的平方相等 C. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 等边三角形是锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】先交换每个原命题的题设和结论得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】解：命题A的逆命题为：“相等的角是对顶角”，对顶角是满足特殊位置的两个角，相等的角不一定是对顶角，故逆命题错误； 命题B的逆命题为：“平方相等的两个数互为相反数”，举例，如，但与不是相反数，故逆命题错误； 命题C的逆命题为：“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，这是线段垂直平分线的性质定理，故逆命题正确； 命题D的逆命题为：“锐角三角形是等边三角形”，举例，如内角为，，的三角形是锐角三角形，但不是等边三角形，因此逆命题错误． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征，根据横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 10. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等边三角形，③正确；根据∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正确；∆ ABC，∆CAD为等腰三角形，顶角都为30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度数为150°④正确 【详解】解：∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形 ∴AE=BE, DE=CE ∵∠AEB＝∠DEC＝90° ∴∠AEC＝∠DEB ∴△AEC≌△BED ∴AC=BD ∵AD＝AC＝AB ∴AD＝BD＝AB ∴②∆ ABD是等边三角形正确 ∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60° ∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形 ∴∠EAB＝∠ABE=45° ∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15° ∴AE为∠CAD的角平分线 ∵∆ ABD为等腰三角形 ∴①AE垂直平分CD正确 ∴∠CAD＝30° ∴②AC平分∠BAD正确 ∵∆ ABC为等腰三角形，顶角∠BAC＝30° ∴∠ACB＝∠ABC=75° 同理∠ACD＝∠ADC=75° ∴④∠BCD的度数为150°正确. 故选D 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键. 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别为4和8， ∴当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8， ∵， ∴不满足三角形的三边关系， 当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，此时能构成三角形， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 12. 如图，，，，则______  【答案】140 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行内错角相等，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：． 13. 如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于_____． 【答案】8 【解析】 【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质定理可得PE=PD=4，再由PC∥OB，可得∠ECP=∠AOB=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：作PE⊥OA于E， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE=PD=4， ∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°， ∴∠AOB=30°， ∵PC∥OB， ∴∠ECP=∠AOB=30°， ∴PC=2PE=8． 故答案为8 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到和的度数，然后即可得到的度数． 【详解】解：由折叠的性质可得： ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 是的中线，它把分成的两个三角形的周长差是，，则边长________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线得到，根据题意，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵它把分成的两个三角形的周长差是， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 16. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到的周长为，根据的面积求出的长度，进而求出的周长的最小值． 【详解】解：连接， ∵腰的垂直平分线分别交边于F，E点， ∴， ∴的周长为， ∴周长的最小值为， ∵等腰三角形，点D为边的中点， ∴，， ∵，即， ∴解得， ∴周长的最小值为． 故答案为：8． 三、解答题（9小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 如下图即为所求作； ； （2）的面积为6 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的图形．解题的关键是熟练掌握关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用割补法求三角形的面积． （1）首先在平面直角坐标系中描出点A、B、C关于x轴的对称点，再依次连接即可得所求图形，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得点的坐标； （2）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 18. 如图，，且．求证：． 【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】先证明，再根据证明即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，D是上一点，连接，以为边作，交的延长线于点H，过点E作，且． （1）若，则______； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据三角形中线求面积． （1）证明，得到，即可得到； （2）证明，即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，平分交于点的垂直平分线交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的定义得出，根据线段垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角得出，则，然后根据证明即可； （2）结合（1）中，可求出，根据角平分线的定义求出，根据等边对等角求出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，过点作于点，平分交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识; （1）由结合可证明，，由平分得，由，证得即可． （2）利用等腰三角形的性质求出,进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 24. 点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动． （1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接AQ、CP交于点M， ①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ ②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． （2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC， ①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ ②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系． 【答案】（1）①t=1或2；②不发生变化，∠CMQ=60°；（2）①t=1；②面积相等 【解析】 【分析】（1）①当△PBQ是直角三角形时，∠B=60°，分∠PQB=90°或∠BPQ=90°时两种情况列方程，即可算出t的值； ②根据SAS证得△ABQ≌△CAP，得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形外角的性质得到∠CMQ=∠MAC+∠MCA=∠CAP=60°，即可证明； （2）①因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后即可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值； ②面积相等，通过同底等高可以验证． 【详解】（1）①当△PBQ是直角三角形时，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t ∠PQB =90°，此时BP=2BQ ∴根据题意，得3-t=2t 解得t=1 ②当∠BPQ=90°时，此时BQ=2BP ∴根据题意，得t=2(3-t) 解得：t=2 ∴当t=1或2时，△PBQ是直角三角形； ②不发生变化，∠CMQ=60° 在△ABQ与△CAP中 ∴△ABQ≌△CAP ∴∠BAQ=∠ACP ∴∠MAC+∠MCA=∠MAC+∠BAQ =∠CAP=60° ∵∠CMQ=∠MAC+∠MCA ∴∠CMQ=∠CAP=60° 故不发生变化，∠CMQ=60°； （2）①∵∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ ∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30° ∵∠A=60° ∴∠APD=90° ∴AD=2AP，即AD=2t ∵AC=AD+CD ∴2t+t=3 解得t=1 故答案为t=1时，△DCQ是等腰三角形； ②面积相等，如图所示： 作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则 ∴∠G=∠AEP ∵ ∴ ∴PE=QG ∴△PCD和△QCD同底等高 ∴△PCD和△QCD面积相等 故答案为△PCD和△QCD面积相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． 25. 如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若，求点B的坐标； （2）点E为上一点，且，如图2，求的长； （3）如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1） （2）16 （3） 解：； 证明：如图3，在的延长线上取一点N，使， ∵平分，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵ ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质，得，可得，求出，即可得出结论； （2）过点D作于M，再证，得出，再证，得，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点N，使，再判断出，进而判断出，得出，，再证，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 由轴对称的性质，得 ， ∴， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过点D作于M， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 又， ， ，， ， ， 又， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上十月份数学思维训练 一、单选题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边的长分别是6和8，则这个三角形第三边的长可能为（ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 15 3. 如图．，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 5. 如图，，点、、、共线，与交于点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题正确的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 互为相反数的两个数的平方相等 C. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 等边三角形是锐角三角形 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 10. 如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是______． 12. 如图，，，，则______  13. 如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于_____． 14. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为．若，则的度数为________． 15. 是的中线，它把分成的两个三角形的周长差是，，则边长________． 16. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于F，E点．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 三、解答题（9小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点的坐标． （2）求的面积． 18. 如图，，且．求证：． 19. 如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 20. 如图，在中，，D是上一点，连接，以为边作，交的延长线于点H，过点E作，且． （1）若，则______； （2）若，求证：． 21. 如图，在中，平分交于点的垂直平分线交于点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 22. 如图，在中，，过点作于点，平分交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 24. 点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动． （1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接AQ、CP交于点M， ①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ ②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． （2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC， ①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ ②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系． 25. 如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若，求点B的坐标； （2）点E为上一点，且，如图2，求的长； （3）如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $