4.2.1指数函数的概念（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.2指数函数 4.2.1指数函数的概念 学 习 目 标 1 2 3 理解指数函数的定义，掌握指数函数解析式特征，能识别指数函数，会求简单指数函数定义域. 通过实例抽象出指数函数模型，经历概念形成过程，提升数学抽象与建模能力. 感受指数函数在实际问题中的应用，体会数学来源于生活，激发探究函数的兴趣. 新课引入 上一节我们学习了指数，把指数里的指数，从整数拓展到全体实数，研究了幂函数，理解研究函数一般方法，今天我们用同样方法研究另一类非常重要的初等函数——指数函数。 研究函数的一般方法： 新课引入 情境1：最近支原体肺炎来势汹汹，一旦中招难免咳嗽头疼，精神萎靡，难以学习。更糟糕的是，它能借助咳嗽打喷嚏的飞沫在密集的人群当中传播。如果防护不到位的话，它可以在很短时间内由1个人传染了2个，2个传染了4个……. 请问如果不做预防，最终的传染人数 与传染次数 之间的关系式是怎样的？ 新课引入 传染次数 支原体传染过程 传染人数 第1次 第2次 第3次 第20次 第次 ······ ······ ··· ··· ··· 传染人数关于传染次数的函数表达式为： 新课引入 情境2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”即长为1的木棒第一次截去它的一半，第2次截去剩余部分的一半，第3次截去第2次剩余部分的一半…，剩下的木棒长度与截的次数之间的函数关系式是? 截的次数 1 2 3 4 … 剩下的木棒长度 … 剩余长度关于截取次数的函数表达式为： 探究一：指数函数的概念 新知探究 思考1:请说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？ （指数为自变量，底数为常数） 追问1:在中，对有要求吗？ 没有， 追问2:在中，对有要求吗？ 时，不一定有意义，如； ，没有研究价值 探究一：指数函数的概念 新知探究 一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 常数（大于0且不等于1） 自变量 系数为1 y＝1 · ax 辨析1.下列是指数函数的是： ① ③ ； ⑤ ； ⑦ . ② ； ④ ； ⑥ ； 【答案】：√，×，×，×，×，×，√ 典例精讲 例1：已知指数函数，且)，且， 求的值. 【分析】先求出指数函数解析式，再求函数值即可。 解：∵，且，则， 解得，于是. ∴，，. 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门 票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年 的游客人次以及逐年增加量． 思考2：观察表格中的数据，比较两地景区游客 人次每年的变化情况，发现了怎样的变化规律？ 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 观察表格中的数据，比较两地景区游客人次每年的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势. 角度2：为便于观察，可先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来. 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等。 Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大． 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 追问1：为了更直观地观察游客人次的变化趋势，可以采用什么方法？ 我们先对景区的数据进行分析 景区构建函数模型，从2001年开始，每年的增加量约为10万人次，则 1年后，游客人次增加了_________, 2年后，游客人次增加了_________, 3年后，游客人次增加了_________, …… 年后，游客人次增加了_________, 设年后的增加量记为，则_____________。 10万人次 20万人次 30万人次 10万人次 追问2：类比景区的研究过程，景区是否也存在类似的“增加量”这样的不变量? A景区 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 600 609 620 631 641 650 661 671 681 691 702 711 721 732 743 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 思考3：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试. 增长率 为常数 结果表明，地景区的游客人次的年增长率都约为，是一个常数. 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量. 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，地景区的游客人次近似于指数增长. 显然，从2001年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 如果设经过年后游客人次为2001年的倍，那么.① 1年后，游客人次是2001年的倍； 2年后，游客人次是2001年的倍； 年后，游客人次是2001年的倍. 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 年 碳14含量 追问1:该情境中有何变量关系？ 追问2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格. ······ 追问3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半， 即，那么 则. 追问4:你能求出的值吗？ 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减。 探究二：指数增长和指数衰减 新知探究 指数增长 指数衰减 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则： . 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则： . 这种前面一轮与后面一轮之间数量的比值是一个常数，或约等于一个常数，根据其大于1或大于0小于1称之为“指数增长”和“指数衰减”。指数增长常见的例子有“一传十十传百”、投资上的复利、病毒/癌细胞在身体内的繁殖、经济的增长等等；指数衰减常见的例子有考古学中碳14的半衰期、药物在身体里面的代谢等等。 典例精讲 例2：（1）在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. 解(1)：设经过年，游客给两地带来的收入分别为和，则，.利用计算工具可得，当时，. 当时，. 结合图可知：当时，， 当时，. 当时，. 典例精讲 例2：（1）在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. 这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，虽然，但的增长速度大于； 根据上述数据，并考虑到实际情况， 在2011年3月某个时刻就有， 这时游客给地带来的收入和地差不多； 此后，，游客给地带来的收入超过了地； 由于增长得越来越快， 在2015年，地的收入已经比地多了347303万元了. 典例精讲 例2：（2）在情境2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ (2)设生物死亡年后，它体内碳14含量为.如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么. 当时，利用计算工具求得. 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%. 即时训练 题型1 指数函数的概念 1、给出下列函数：①②③④;⑤. 其中，指数函数的个数是（ ）. .0 .1 .2 .4 【答案】： 2、若函数是指数函数，则=___________ . 解：∵是指数函数， ∴，即， ∴或 而且，∴. 即时训练 题型2 指数函数的解析式或求值 1、已知指数函数且的图象过点， 的值. 解：∵且的图象过点， ∴ 即 ∴ 2、已知函数且，.求函数的一个解析式.并求出 的值. 【答案】： 指数函数的解析式问题通性通法 技巧点拨 1. 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，先按标准形式设出函数式，结合已知条件算出未知参数即可得到完整解析式，核心前提是吃透指数函数的基础定义。. 2. 求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 即时训练 题型2 指数函数的解析式或求值 3、已知(且)的图象经过点. (1)求的值; (2)已知,求. 解：(1)由题意 ，所以. (2)因为 所以方程 可化为 所以，即 所以，即 即时训练 题型3 实际问题中指数型函数式的求解 1、甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题： (1)写出两城市的人口总数（万人）与年份（年）的函数解析式； (2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）. 解(1)：年后甲城市人口总数为 年后乙城市人口总数为. （2): 10年后 20年后 30年后 甲 112.7 126.9 143.0 乙 113 126 139 关于函数模型的构建与求解 技巧点拨 （1）函数 是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当时，若，则刻画指数增长变化规律；若，则刻画指数衰减变化规律； （2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题. 即时训练 题型2 指数函数的解析式或求值 2、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84%，求该物质的剩留量关于经过年数的函数关系式。 解：设该物质最初的质量是1，经过年剩留量是， 经过1年，剩留量； 经过2年，剩留量； …… 一般地，经过年，剩留量， 故答案为：. 课堂小结 感谢聆听! $