4.2.2指数函数的图象和性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，从温故指数函数定义入手，明确通过画y=a^x（a>1与0<a<1）的图象探究性质，以列表取点描点连线为操作支架，搭建从定义到图象再到性质的学习脉络。 其亮点在于以数形结合为主线，通过对比两函数图象（如关于y轴对称）培养数学眼光，例题中分类讨论解不等式（如a>1与0<a<1时的不同解法）发展数学思维，方法总结结构化（画图象、读性质等）用数学语言系统梳理。学生能提升直观想象与逻辑推理能力，教师可直接利用分层例题和小结优化教学。

指数函数的图象和性质 4.2.2 指数函数的图象和性质 · 新授课 人教A版 必修第一册 · 第四章 指数函数与对数函数 y = 与 y = ( 的图象——一升一降，关于 y 轴对称 定义域 R、值域 (0, +∞)、过定点 (0, 1) 开场：画图象、看性质。 学习目标 第 2 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 1 会画 y = 与 y = ( 的图象 2 掌握指数函数的定义域、值域、定点与单调性 3 能利用图象和性质比较大小、解简单不等式 4 体会数形结合与分类讨论（a>1 与 0<a<1） 明确本课四个目标。 温故 · 指数函数 第 3 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 指数函数：y = （a > 0 且 a ≠ 1）。 x 是自变量，定义域为 R。 本节任务：画出它的图象，从图象读出性质。 先画两个代表：y = （a>1）与 y = (（0<a<1）。 温故定义，引入画图。 画图 · 列表取点 第 4 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 列表：在 x ∈ [−3, 3] 上取整数点，计算对应的 y 值。 x −3 −2 −1 0 1 2 3 y = 1 2 4 8 y = ( 8 4 2 1 观察：两表中同一 x 的函数值互为倒数。 它们的图象有什么关系？下一页画出来看。 列表取点，发现两函数值互为倒数。 图象一 · y = 第 5 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 x y O (0,1) (1,2) y = 的图象 从左到右上升 过点 (0, 1) 在 x 轴上方 x→−∞ 时 y→0 画 y=2^x：递增、过(0,1)、x轴上方。 图象二 · y = ( 第 6 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 x y O (0,1) y = ( 的图象 从左到右下降 过点 (0, 1) 在 x 轴上方 x→+∞ 时 y→0 画 y=(1/2)^x：递减、过(0,1)、x轴上方。 对比 · 两图同框 第 7 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 x y O (0,1) 两图关于 y 轴对称 y = 与 y = ( 把 x 换成 −x 就互换 都过 (0, 1)、都在 x 轴上方 两图同框：关于y轴对称。 图象特征 · 定义域与值域 第 8 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 定义域 x 可取任意实数 即 R。 值域 图象全在 x 轴上方 即 (0, +∞)。 y 永远不等于 0。 定义域R，值域(0,+∞)。 图象特征 · 过定点 第 9 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 不论 a 取何值（a>0 且 a≠1），都有 = 1。 所以指数函数图象恒过定点 (0, 1)。 这是判断一个点是否在指数函数图象上的快速依据。 恒过(0,1)。 性质一 · 当 a > 1 第 10 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 图象上升 y = 在 R 上单调递增 x 越大，y 越大 特殊点 x > 0 时 y > 1 x < 0 时 0 < y < 1 a>1时递增。 性质二 · 当 0 < a < 1 第 11 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 图象下降 y = 在 R 上单调递减 x 越大，y 越小 特殊点 x > 0 时 0 < y < 1 x < 0 时 y > 1 0<a<1时递减。 例题 1 · 识别图象 第 12 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 例题 1 下图中，哪一个是 y = 1. 的图象？ A. 上升曲线　B. 下降曲线　C. 开口抛物线　D. 水平直线 答案：A（底数 1.5 > 1，指数函数图象上升）。 例1：根据底数判断图象升降。 例题 1 · 解析 第 13 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 底数 1.5 > 1，所以 y = 1. 在 R 上单调递增。 指数函数图象是曲线，不是抛物线、不是直线。 排除 C、D；递减的是 0 < a < 1 的情形，排除 B。 答案：A。 解析：先看底数大小定升降，再排除其他类型。 例题 2 · 比较大小 第 14 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 例题 2 比较大小：(1) 1. 与 1.； (2) 0. 与 0.。 答案：(1) 1. < 1.；(2) 0. < 0.。 例2：利用单调性比较。 例题 2 · 解析 第 15 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 (1) 底数 1.7 > 1，y = 1. 递增，2.5 < 3， 所以 1. < 1.。 (2) 底数 0 < 0.8 < 1，y = 0. 递减，−0.1 > −0.2， 所以 0. < 0.。 解析：同底比大小，看单调性。 例题 3 · 解不等式 第 16 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 例题 3 解不等式： > （a > 0，a ≠ 1）。 答案：a>1 时 x>3；0<a<1 时 x<3。 例3：分类讨论底数。 例题 3 · 解析 第 17 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 分两种情况讨论： ① a > 1 时递增，2x − 1 > x + 2，解得 x > 3； ② 0 < a < 1 时递减，2x − 1 < x + 2，解得 x < 3。 注意：底数未定时必须分类，不能默认递增。 解析：分类讨论a>1和0<a<1。 练习 1 第 18 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 练习 1 函数 y = 的图象过哪个定点？在第几象限？ 分析：令 x = 0，求对应的函数值。 = 1，所以图象必过点 (0, 1)。 答案：恒过 (0, 1)；由 > 0 知图象全在 x 轴上方，在第一、二象限。 练习1：定点与象限。 练习 2 第 19 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 练习 2 比较 2. 与 2.；0. 与 0.。 分析：同底数比大小，看单调性。 底数 2.3>1 递增，故 2. < 2.； 底数 0.7∈(0,1) 递减，故 0. < 0.。 练习2：单调性比较。 练习 3 第 20 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 练习 3 函数 y = 的图象过点 (2, 9)，求 a，并判断单调性。 分析：点在图象上，坐标满足解析式。 把 (2,9) 代入：=9，又 a>0，故 a=3。 答案：a=3；因 3>1，y= 在 R 上单调递增。 练习3：待定底数与单调性。 练习 4 第 21 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 练习 4 比较 与 0. 的大小。 分析：底数不同，不能直接比，借中间量 1。 > = 1；0. < 1。 答案： > 1 > 0.，故 > 0.。 练习4：不同底借中间量1比较。 思考 1 第 22 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 思考 1 为什么指数函数的图象一定在 x 轴上方？ 答案：a > 0，任何次幂都为正，即 > 0。 所以 y 永远取不到负值，也不为 0。 思考1：值域(0,+∞)的代数解释。 思考 2 第 23 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 思考 2 y = 与 y = ( 的图象为什么关于 y 轴对称？ 答案：y = ( = ， 把 x 换成 −x，两点关于 y 轴对称。 思考2：y=2^{-x}与y=2^x关于y轴对称。 拓展思维 1 第 24 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 拓展 1 比较 a = 0. 与 b = 0. 的大小。 答案：y=0. 递减，0.3<0.4，故 a > b。 拓展1：递减函数比较。 拓展思维 2 第 25 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 拓展 2 解不等式： < 4。 答案：4 = ，y= 递增，x+1 < 2，故 x < 1。 拓展2：化为同底解不等式。 拓展思维 3 第 26 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 拓展 3 函数 y = 的图象过点 (1, 2)，求 a，并求 f(0)、f(−1)。 分析：代入点 (1,2) 求底数，再代值。 =2 得 a=2，f(x)=。 答案：f(0)==1，f(−1)==。 拓展3：待定底数再求值。 拓展思维 4 第 27 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 拓展 4 若指数函数 f(x) = (m − 1 是减函数，求 m 的范围。 分析：指数函数为减函数，底数在 (0,1)。 还需底数满足定义 m−1>0 且 m−1≠1。 答案：0 < m−1 < 1，即 1 < m < 2。 拓展4：底数范围与单调性。 方法总结 第 28 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 1 画图象 描点连线 过(0,1)、在x轴上方 2 读性质 定义域R 值域(0,+∞) 3 定单调 a>1 增 0<a<1 减 4 比大小 同底用单调 不同底借1 图象过定点 (0,1)，单调性由底数 a 决定。 总结四步法。 课堂小结 第 29 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 1 图象：过 (0,1)，在 x 轴上方，一升一降两类 2 定义域 R，值域 (0, +∞) 3 a>1 递增；0<a<1 递减 4 同底比大小用单调性，不同底借 1 过渡 图象与性质一一对应：底数定升降，定点定位置。 小结。 课后作业 第 30 页 人教A版 必修第一册 · 4.2.2 指数函数的图象和性质 1 画出 y = 与 y = ( 的图象，指出它们的对称关系 2 比较 1. 与 1.；0. 与 0. 3 求函数 y = （x∈[1,3]）的值域 4 解不等式： > 27 5 已知 f(x) = 过点 (1, 4)，求 f(0)、f(2)、f(−1) 6 比较 与 0. 的大小（提示：与 1 比较） 答案 1. 关于y轴对称 2. <；< 3. [2, 8] 4. x>3 5. 1、16、 6. 前者大 作业。 指数函数的图象和性质 一升一降过定点，全在横轴上方行； 底数大于 1 递增，小于 1 递减。 结束。 $