精品解析：山东聊城市东昌府区度假区外国语（高新区文轩）中学等校2026-2027学年九年级上学期第一次 学情自测数学试题

2026–2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 时间：120分钟　分值：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，熟练掌握该知识点是关键．将常数项移到等式的右侧，再将系数化为1，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可配方． 【详解】解：原方程移项得， ， ， ， 故选：A． 5. 如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明即可判定A、B、C正确，D错误． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ，，故B、C正确，D错误． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 7. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 8. 规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据题中定义将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 9. 在矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的型模板如图放置，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，，则，，，再设，则，，，在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：8个小正方形的边长均为1， ∴，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴矩形的周长为． 10. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 12. 四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定两个相似四边形的对应最长边，因为相似多边形的对应边成比例，所以最长边是对应边．提取四边形ABCD的最长边，以及四边形的已知最长边．根据相似比的定义，即相似多边形对应边的比值，代入两条最长边的数值计算即可． 【详解】四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 13. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 14. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，即有，然后解方程即可求解，掌握黄金分割点是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作，交于点，证明，，利用三角形相似的性质，代换证明即可； 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】对于一元二次方程，因为是标准一元二次方程形式，所以可选择配方法或者公式法求解，若用配方法，将二次项系数化为1，若用公式法先确定的值，再代入求根公式计算． 对于方程，因为左右两边有共同的因式，所以优先考虑因式分解法，先移项将右边项移到左边，再提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式求解． 对于方程，因为两边都是完全平方式，所以可以选择移项后用平方差公式因式分解，或者根据平方根的性质得到，再分别解两个一次方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 18. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； （3）m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）观察定义可知，一组“倒方程”之间，二次项系数与常数项互换，一次项系数相同，根据此规则求解即可． （2）先列出原方程的“倒方程”，再将代入原方程的“倒方程”后即解出常数项． （3）同样先列出原方程的“倒方程”，将代入，再将方程变形后整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：根据新定义，方程的倒方程是：． 【小问2详解】 解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． 【小问3详解】 解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 19. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【解析】 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 20. 近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． （1）平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示） （2）当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2）当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元 （3） 不能，理由：根据题意，得． 化简，得． ∵， ∴方程没有实数根， ∴商家平均每天盈利不能达到1350元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元二次方程的根的判别式的应用． （1）根据题意直接列出代数式即可； （2）根据题意直接列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意直接列出方程，根据方程的根的情况即可判断． 【小问1详解】 根据题意有：平均每天销售量增加件，每件服装盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意，得． 解得，． 经检验，或均符合本题要求． 答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元 【小问3详解】 略 21. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得，，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ， ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】（1） （2）证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 23. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． （1）当_________时，？当_________时，的长度为？ （2）连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；4 （2）存在， （3）存在， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． （1）根据题意可得：，，再根据题意分别列出方程求解即可； （2）根据，列出方程求解即可； （3）根据当时，，列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 则， 当时，，解得：； 当的长度为时，， 解得：或（舍去）； 故答案为：；4． 【小问2详解】 解：存在． ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积为． 【小问3详解】 解：存在． 若，则， 即， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026–2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 时间：120分钟　分值：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 8. 规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 9. 在矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的型模板如图放置，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或2 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 12. 四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 13. 已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 14. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 15. 如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 17. 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求的长． 18. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； （3）m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 19. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 20. 近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． （1）平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示） （2）当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 21. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 23. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． （1）当_________时，？当_________时，的长度为？ （2）连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $