精品解析：山东青岛西海岸新区实验初级中学2026～2027学年度九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年度第一次综合练习数学习题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 2. 下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 3. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是关键． 根据矩形的性质得到，结合题意得到是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D ． 4. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 5. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 6. ，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 7. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 作于点D，作于点E，作于点F，证明得，同理可证，从而，进而可求出点B 的坐标为． 【详解】解：如图，作于点D，作于点E，作于点F， ∴， ∴． ∵点C的坐标为， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理可证，， ∴， ∴点B的横坐标为，点B的纵坐标为， ∴点B 的坐标为． 故选B． 9. 如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，，求解，结合作图求解，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 10. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10， ∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， 在△PDH与△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝5，CH＝PH， ∴AP＝AD﹣PD＝5， ∴， ∵点G是EC的中点， ∴GH＝EP＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则＝_________ 【答案】#### 【解析】 【分析】依据比例的性质，即可得到y＝x，再代入分式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴y＝x， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．掌握比例的性质是解题关键． 12. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用方程根的定义整体代换得到的值，再用根与系数的关系求出，整体代入代数式计算． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得， ∴ 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 14. 如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，P为边BC上动点，于E，于F，M为EF的中点，则PM的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， 四边形是矩形， ，与互相平分， 是的中点， 为的中点， ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，由的面积计算公式（等积法）可得， ， 最短时，， 当最短时，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短,由直角三角形的面积求出是解决问题的关键，属于中考常考题型． 16. 如图，在矩形中，，的平分线交于点于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义得出，证明得出，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，即得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， 在和中， 平分，故①正确； ，故②正确； 在和中， ，故③正确； 不是等边三角形， ，即，故④错误； ∴①②③是正确的． 故答案为：①②③． 三、解答题（共72分） 17. 已知：线段c，点A是直线l外一点．求作：矩形，使边在直线l上，． 【答案】 如图所示：    矩形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先作于B点，再以A点为圆心，c为半径画弧交l于C，然后以A、C为圆心，和为半径画弧，两弧相交于D，则四边形ABCD满足条件．． 【详解】略 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）直接开平方法解一元二次方程； （2）用配方法解一元二次方程； （3）因式分解法解一元二次方程； （4）因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【小问3详解】 解： 或 ， 【小问4详解】 解： 或 ， 19. 已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解． 【答案】k的最小整数解为2． 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出Δ=22-4×（k-1）×（-1）＞0，结合一元二次方程的定义知k-1≠0，从而得出答案． 【详解】解：∵，，， 根据题意，得：=22-4×（k-1）×（-1）＞0且k-1≠0， 解得k＞0且k≠1， 所以k的最小整数解为2． 【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 20. 中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 【答案】封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【解析】 【分析】设封闭型长方形等候区的边为米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设封闭型长方形等候区的边为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，； 当时，， 不合题意，应舍去． 答：封闭型长方形等候区的边为15米，为20米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 21. 若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一个实数根是另一个实数根的两倍，那么称这个方程是“倍根方程”．例如，关于的一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）下列方程是“倍根方程”的有______（将所有正确的序号填在横线上） ①； ②； ③； ④． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （3）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （4）已知一元二次方程是“倍根方程”，则满足的等量关系为__________． 【答案】（1）①④ （2）3或12 （3）18 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握解一元二次方程的方法及根与系数的关系是解题关键． （1）解题干中的一元二次方程，然后看是否符合题意即可； （2）根据题意得出和，然后分情况代入求解即可； （3）设方程的根为和，根据根与系数的关系得出，，即可得出结果； （4）设方程的根为和，根据根与系数关系得出，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①方程的根为和， ， 是倍根方程． ②方程的根为和， 且， 不是倍根方程． ③方程的根为和， 且， 不是倍根方程． ④方程的根为和， ， 是倍根方程． 故答案为：①④． 【小问2详解】 解：方程的根为和． ∵方程是倍根方程， ∴有两种情况： 若，则； 若，则． 故的值为 3 或 12 ． 【小问3详解】 解：设方程的根为和． 根据根与系数关系：， ， ， ， 故的值为18． 【小问4详解】 证明：设方程的根为和． 根据根与系数关系：， ， ，即， 将代入得：， ， ， ， 故满足． 22. 如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）已知__________（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， 又，， ， ， 在和中， ， ． （2） 条件①：四边形为矩形，证明过程如下： 四边形为平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形为矩形． 条件②：四边形为菱形，证明过程如下： ， ， ， 四边形为平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 是菱形， ， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，以及特殊四边形（矩形、菱形）的判定，熟练掌握图形的性质与判定定理是解答本题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知线段关系，通过证明三角形全等得出线段相等； （2）先根据平行四边形的性质判定四边形的基本形状，再结合所选条件，利用特殊四边形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形、对角线垂直的平行四边形是菱形）确定其具体形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 条件①：略 条件②：略 23. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【答案】（1）该款车销量的月平均增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为7万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款车销量的月平均增长率为，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设下调后每辆车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵为了扩大销量， ， 答：下调后每辆汽车的售价为7万元． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． （1）①求出直线的函数解析式；②点M的坐标为________，的长为________； （2）当点P从点A出发在线段上以每秒1个单位的速度运动时，是否存在以为腰的等腰？如存在，求出的值；如不存在，说明理由； （3）连接，当动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2）解：存在． ∵四边形是菱形，，轴， ∴， ∵， ∴点B的坐标为， ∴， 当时， ∵轴， ∴， ∴， ∵点P从点A出发在线段上以每秒1个单位的速度运动， ∴， ∴， 解得； 当时， ∵，，， ∴， 解得； 综上所述，的值为1秒或秒； （3） 【解析】 【分析】（1）由点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点的坐标，由，的坐标可得直线的函数解析式；令，可得点M的坐标，可得的长，即可得的长； （2）分两种情况：当时和时，即可求解； （3）分点P在线段上运动时和点P在线段上运动时两种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，轴， ∴点C的坐标为，点H的坐标为， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点P在线段上运动时， 由（2）可知，，由（1）可知，， ∴， ∵，点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动， ∴， 当时，， 解得， ∵， ∴， ∴S与t之间的函数关系式为； ②当点P在线段上运动时， ∵四边形是菱形， ∴， 设点到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵，点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度运动， ∴点P在线段上运动时，， ∴， ∵， ∴， 当时，， 解得， ∵， ∴， ∴S与t之间的函数关系式为； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一次综合练习数学习题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 4. 如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（ ） A. 10 B. C. D. 5. 若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ） A. B. C. D. 6. ，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为24，则的长为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 4 8. 如图，正方形的顶点O在坐标原点，其中点C的坐标为，则点B 的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则＝_________ 12. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 13. 《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是______. 14. 如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 15. 如图，在中，，P为边BC上动点，于E，于F，M为EF的中点，则PM的最小值为______． 16. 如图，在矩形中，，的平分线交于点于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有______（填序号）． 三、解答题（共72分） 17. 已知：线段c，点A是直线l外一点．求作：矩形，使边在直线l上，． 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解． 20. 中国上海国际艺术节期间，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙长26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ 21. 若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一个实数根是另一个实数根的两倍，那么称这个方程是“倍根方程”．例如，关于的一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）下列方程是“倍根方程”的有______（将所有正确的序号填在横线上） ①； ②； ③； ④． （2）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （3）若关于的方程是“倍根方程”，则的值为__________； （4）已知一元二次方程是“倍根方程”，则满足的等量关系为__________． 22. 如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）已知__________（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 23. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H． （1）①求出直线的函数解析式；②点M的坐标为________，的长为________； （2）当点P从点A出发在线段上以每秒1个单位的速度运动时，是否存在以为腰的等腰？如存在，求出的值；如不存在，说明理由； （3）连接，当动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $