河南焦作市第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2025级高二上学期10月月考 数学试卷 满分:150分 时间:120分钟 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有 项是符合题目要求的. 1.过点(1,2),(5,3)的直线方程是() A.号= B.经= c.= D.景=周 2.若椭圆二+兰=1的焦距是2,则实数m的值为() 4 A.5 B.5 C.3 D.3或5 3.2-V5别+(1-)2的共轭复数为() A.3-2i B.3+2i C.5-2i D.5+2i 4.已知a,B是空间中的两个不同平面,m,n是两条不同直线,下列说法正确的是() A.若m/m,m叫/a,n/B,则a/B B.若m1n,m⊥a,n⊥B,则a⊥B C.若m/m,m⊥a,a⊥B,则n//B D.若m⊥n,m/a,a⊥B,则n⊥B 5.已知直线1:x-3y-4=0与l2:mx+(m-1)y-6=0平行,则这两条平行直线之 间的距离为() A.2W10 B./1o C.2 D.4 5 5 6.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求兰的最大值和最小值() A.2,0 B.V3,0 C.3,-V3 D.2,-3 7.已知a+B=F,tanc+tanB=3,则cos(a-B)的值是() A-号 B.号 c.-9 试卷第1页(共4页) 8. ABC中,∠BAC=5BG=4,D为BG边上的中点,AD=3,则 ABC的面积为() B.9 C.√3 D.3V5 A.2 二、选择题:本题共3小题,每小愿6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知直线:y=3x+3,下列说法正确的是:() A.点P(4,5)关于的对称点的坐标是(-2,7): B.直线y=x-2关于的对称直线的方程是7x+y+22=0: C.直线关于点A(3,2)的对称直线的方程是3x-y-17=0: D.过点P(4,5),垂直于直线的直线的方程是x+3y-17=0 10.在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有() A.若A=45,a=2V3,b=4,则 ABC有两解 B.若a2+b2>c2,则 ABC为锐角三角形 C.若B=品则 ABC为等腰三角形 D.若B=60,b2=aC,则 ABC为等边三角形 11.古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A, B的距离之比为定值m(m≠1)的点的轨迹是圆”后来,人们将这个圆以他的名字命名 为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系x0y中,A(-2,0),B(4,0),点P满足=号 设点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是() A.圆C的方程为(x+4)2+y2=16 B.已知点M(3,3,N(5,-V3,圆C上存在点Q,使得QM⊥QN C.圆C上恰有一个点到直线x+V3y-8=0的距离为2 D.在轴上存在异于A,B的两个定点D,B,使得圆=月 试卷第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知A6xB0y2是直线y=2x+b上的两点,若2-x=3,求 IABI 13.若圆2-2x+y2=0与圆2+y2+2ay+a2-4=0有四条公切线,则实数a的取 值范围为 14。一个圆柱的体积和底面周长均为2,若该圆柱能够被整体放入一个球内,则该球的 最小体积为 四、解答题:本题共5小题,共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知直线经过点P(1,0),圆C:x2+y2+2x-6y+6=0 (1)若直线与圆C相切,求直线的方程: (②)若直线被圆C截得的弦长为5,求直线的方程。 16.(15分)如图,已知椭圆酷+茶=1a>b>0),P1,F分别为椭圆的左、右焦点, A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90 ,求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程 17.(15分)如图三棱锥A-BCD中,AB=AC=2,AD=2V3,平面DAC1平面ABC, 0 平面DAB⊥平面ABC. (1)证明:DA⊥平面ABC; (2)若二面角C.-AD-B的正切值为V3,求点A到平面BCD的距离. 试卷第3页(共4页) 18.(17分)直线过点P3,2)且与x轴、y轴正半轴分别交于AB两点. (1)若直线与2x+3y-2=0的法向量平行,写出直线的方程: (2)求 A0B面积的最小值: (③)如图,若A丽=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP 和OA上,若直线EF平分直角梯形0APM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定 点坐标. y 19.(17分)现定义:若圆A上一动点M,圆A外一定点N,满足引MNI的最大值为其最小值 的两倍,则称N为圆A的“上进点”,若点G同时是圆A和圆B的“上进点”,则称G为圆“A⑧B” 的“牵连点”已知圆A:(x+1)2+0+12=号 (I)若点C为圆A的“上进点”,求点C的轨迹方程并说明轨迹的形状: (2)已知圆B:(x-2)2+y-2)2=1,且P,Q均为圆“A⑧B的牵连点” (i)求直线PQ的方程: ()若圆H是以线段PQ为直径的圆,直线:y=kx+与H交于l,/两点,探究当k不断变 化时,在y轴上是否存在一点W,使得y轴平分∠IW?若存在,求出点W的坐标:若不存 在,请说明理由 0 试卷第4页(共4页) 2025级高二上学期10月月考数学试卷参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C A B ABC AD ACD 1.B【详解】因为直线过点(1,2,(5,3),所以直线方程为号=合 故选:B 2.D【详解】已知椭圆二+片=1的焦距是2,因为20=2,c=1 m 当焦点在x轴上,a2=m,b2=4,c2=a2-b2,所以a2-b2=1,m=1+4=5, 当焦点在y轴上,a2=4,b2=m,c2=a2-b2所以a2-b2=1,m=4-1=3, 综上m=3或5. 3.B【详解】因为2-V5刷+(1-)2=22+(W⑤+1-2i+2=3-21, 所以共轭复数为3+2i. 4.B【详解】选项A,若m/m,m/a,n/B,则a与B不-定平行;当anB=l,若m/,n/ l,ma,nB,则m//a,m/B,故A错误: ,-0i的过时 选项B,若m⊥n,m⊥a,n⊥B,则a⊥B,正确; 选项C,若m/m,m⊥a,&⊥B,则n/B或ncB,错误; 选项D,若m⊥n,m/a,a⊥B,则n1B不一定成立,n与B位置关系可能为平行,相 交或ncB、垂直,故D错误;特回 5.A【详解】直线1:x-3y-4=0的斜率为k1=号由l1I2,得直线2的斜率存在 且2=-=行解得m=则2:x-y-6=0.即x-3y-24=0, 所以这两条平行直线之间的距离为+2到=2√0, 12+(-3)2 6.C【详解】由方程x2+y2-4x+1=0,可化为(x-2)2+y2=3, y 表示以(2,0)为圆心坐标、√3为半径的圆, 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设=k,即y=kx, 如图所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值, 此时2-=V3,解得k= V5,所以的最大值为V3,最小值为-V3, 2+1 答案第1页(共8页) 7.A【详解)因为ana+anB=3,a+B=景 sin 所以ina+sin2 sinacosp+sinpcosa sin(a+B) cosacosB cosacosB =3, cosa cos cosacosp cosacosB 所以osc= .cos)cosacos-sinasimp 6 所以nn=号-9=-9所以cosa-m=o+5 sinasin=号-9-9 6 2 6 6 8.B【详解】设AB=c,AC=b,BC=a=4, 在 ABC中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2 bccosiBAC, 又∠BAC=7cos号=克a=4,则16=b2+c2-bc①: 水的区么动不 因为D为BC边的中点,AD为BC边上的中线, 所以a丽=a丽+O D=(丽+d+2 aCos∠BAC), 又4D=3,则36=b2+c2+bc②,由②-①得:20=2bc,解得bc=10, 由三角形面积公式:Sa4Bc=besin∠BAC,则SaBc= 10x9=59 9.ABC【详解】A:设点P关于直线的对称点为P(xy),则线段PP的中点在直线上, 且直线PP垂直于直线L, 5=3 44+3 人即货 即 2 2 解得 x=-2, 所以点P的坐标为(-2,7),A正确 y5x3=-1 y=7 r 5 B:解方程组=3x+3 y=x-2 三一,则点(-)在所求直线上 得 y=- 2 在直线y=x-2上任取一点M(2,0),设点M关于直线的对称点为M(xo,yo), =3 0+2+3 17 6酒 则 2 X0=一 3-1,解得 2 5 x0-2 y0=5 则点M(吕)也在所求直线上。 由两点式得直线方程为 =2,化简得7x+y+22=0,故所求直线的方程,B正确, 52 52 C:在直线上取两点E(0,3)、F(-1,0),则E、F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6,1)、F(7,4). 因为点E、F在所求直线上,所以由两点式得所求直线方程为二= 即C正确 4-17-61 答案第2页(共8页) D:直线L斜率为3,故垂直于的直线斜率为-马过点P(45)的垂线正确方程为y一5=一c ),整理得x+3y-19=0,故过点P45)垂直于直线1的直线的方程是x+3y-17=0, 故D错误 10.AD详解】时于A:若A=45,a=2V5,b=,由正弦定理点=品得snB=学- a “5=气,此时B可取锐角也可能取钝角,则 ABC有两解,A正确: 25 3 对于B:a2+b2>c2只能推出cosC=242-2>0,C为锐角,但不确定角B,A的大小, 2ab 故不能确定 ABC的形状,B错误; 对于C:由=点及正弦定理得c=, COSC 即sinCcosC=sinBcosB, cosc cosB 所以sin2C=sin2B,在 ABC中有2C=2B或2C+2B=180 ,所以 ABC为等腰三角 形或直角三角形,C错误;S 对于D:由己知cosB=4=g=克整理得(a-0}=0,即a=c,所以b2- 2ac 2ac ac=a2,则a=b=c,即 ABC为等边三角形,D正确.故选:AD. 11.ACD【详解】如图: 对于选项A,因为在平面直角坐标系x0y中,A(一2,0),B(4,0), 点P满足险=号 设Pc)则需-京化简可得《++2=16,故选项A正确 对于选项B,若QM⊥QN,则Q在以MN为直径的圆上 因为MN中点0:(生,5≥)=(4,0,直径MN=5-32+(-5-V52=4 所以圆01的半径R=2,则圆01的方程为(x-4)2+y2=4, 设圆C的半径为r=4,则R+r=6,圆心距1C01=√(4+4)2+(0-0)Z=8>R+T, 则圆01和圆C外离,即圆C上不存在点Q,使得QM⊥QN,故B错误: 1-4+0-8 对于选项C,圆心C到直线x+√3y一8=0的距离为d,= =6>r=4, 12+(3 则该直线与圆相离,因为d,-r=6-4=2,也就是圆上恰有一个点到直线距离等于2 答案第3页(共8页) 岁家学公学者冷效进成 (离直线最近那一点),故C正确; 对于选项D,假设存在这样的点,可设Dm,0),Bm,0),可得√仅-)2+y= 2√Gc-m)2+,两边平方并整理:2+y2+2nmx+m2- 3 3 2=0, 由P的轨迹方程为x2+y2+8x=0,可得8m-2n=-24,4m2-n2=0, 解得m=-6,n=-12或m=-2,n=4(舍去),即存在D(-6,0),B(-12,0,故D正确。 12.3V5【详解】因为A(x1y),Bx2,y2)在直线上,所以y1=2x1+b,y2=2x2+b, 由已知x2-x1l=3,得1y2-y1l=1(2x2+b)-(2x1+b)川=2x2-x1=6, 由两点间的距离公式,得1A1=x2-x)2+02-y)2=V32+6=3V5. 13.(-∞,-2V2U(2V2,+0)【详解】因为两圆有四条公切线,故两圆相离, 而x2-2x+y2=0可化为(x-1)2+y2=1,故此圆的圆心为C1(1,0),半径为R1=1, x2+y2+2ay+a2-4=0可化为x2+y+a)2=4, 故此圆的圆心为C2(0,-a),半径为R2=2, 所以1C1C2l=Va2+1>1+2,故a∈(-∞,-2W2U(2V2,+∞), 14.8经【详解】底面周长2m=2m r=1, 12 h=2m h=2 当圆柱与球外接时,球体积最小,圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点, 轴截面是矩形长h=2,宽2r=2, 矩形对角线就是球的直径2R,2R=h2+(2r)2=V22+22=22, R=V瓦,球体积V= (V回= 2V2=m 3 15.【详解】(1)当直线的斜率不存在时,即直线的方程为:x=1,此时是与圆C相切, 满足题意; 当直线的斜率存在时,设直线为:y=k(x一1),即kx一y-k=0, 则圆C的圆心到直线1的距离d=上-3-M=2,解得k=- Vk2+1 12 故直线1的方程为5x+12y-5=0 综上,直线1的方程为x=1或5x+12y-5=0. 答案第4页(共8页) (2)因为直线1被圆C所载得的弦长为5,所以圆C的圆心到直线1的距离为 2-(25)2=5 由(1)可知,直线的斜率一定存在,设直线为:y=m(x-1),即mx-y-m=0, 则圆C的圆心到直线1的距离=解得m=一或m=一受 m2+1 故直线1的方程为x+2y-1=0或29x+2y-29=0. 16.)票(2)苦+苦=1 【详解1(1)若∠F1AB=90 ,则 F1AP2和 A0P2为等腰直角三角形.所以有10A=0F2小, 即b=c.所以a=Vc,e==号 (2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y), 由A2=2FB,得1,-)=2-1,0,所以x=多y=-2 9b2 代入+发-1,得酷+话=1. 即品+1,解得a2=3.所以02=2-c2=3-1=2, 所以精圆方程为+兰=1。 17.(1)证明:在 ABC内任取~点P,过点P作PM⊥AC于M, 因为平面DAC⊥平面ABC,平面DACn平面ABC=AC,PMc平面ABC, D 所以PM⊥平面DAC,又DAc平面DAC,所以PM⊥DA. 过P作PN⊥AB于N,同理可得PN⊥DA, 又PMc平面ABC,PNc平面ABC,PMOPN=P, 所以DA⊥平面ABC (2)由(1)知DA1平面ABC, DA⊥AC,DA⊥AB,∠BAC就是二面角C-AD-B的平面角, tanBAC=V3,∠BAC= 答案第5页(共8页) SaAwe=AB AC.siniBAC= 2 所以三棱锥A-BCD的体积V=SAADC DA=号 V3 2V3=2 AC=AB=2,∠BAC=号故BC=2, 又BD=CD= 2同+2=45aco=号8c8D2-G80=E 设点A到平面BCD的距离为d, 则三棱锥A-BCD的体积V=SABCO d=号 V压d=2,“d=2四 5 所以点A到平面BCD的距离为2压 5 18.【详解】(1)由题意可设直线:3x-2y+c=0, 所以3 3-2 2+c=0,所以c=-5,即:3x-2y-5=0. (2)当直线斜率不存在时,不存在点B,舍去」 当直线斜率存在时,设y-2=k-3),即A(2,0),B0,2-3. 由题意可知 3k-2>0 k .k<0, 2-3k>0 ∴.S A0B= .2-3=(鈞)+()+6, 2 k k<0时,兰+号之2受子=6,当且仅当浩=子即歌=-到取等号, 5408=()+()+626+6=12 (3)由题意,设A(a,0),B(0,b),因为AP=2PB,点P(3,2), 即(3-a,2)=2(-3,b-2)=((-6,2b-4), 8=26-年即6=3400,8030 过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,则M(0,2), 直角梯形0APM的顶点为0(0,0),A(9,0),P(3,2),M(0,2), 上底MP=3,下底0A=9,高为2, 梯形0APM的面积S= (3+9) 2=12, 答案第6页(共8页) 设动点Ec,2)(0≤c≤3),Fd,0)0sd≤9), 因为直线EF平分直角梯形0APM的面积,所以四边形OEFM的面积为6, 四边形05FM是梯形,其上底为ME=C下底为OF=d,高为2, 所以SOEFM=c+) 2=c+d=6,即d=6-c 因此点F的坐标为(6一c,0), 直线F经过点E62)和F6-G0,共斜率收=品= 则直线EF的方程为:y-0=一K-6-0小.化简得y= c-3 去分母整理得cy-1)-3y-x+6=0, 式对任意cE03恒成立,因此霜清起3y-+6) 解了 y-1=0 所以,直线EF必过定点,该定点坐标为(3,1). 19.【详解】(1)设C(x,y),因为点C为圆A的“上进点”, 所以cA+号=2(cA-9,即1GA=3,又A(-1,-1,得到√x+12+0+可= 3, 所以C的轨迹方程为(x+1)2+0y+1)2=3,点C的轨迹是以A(-1,一1)为圆心,V3为半径 的圆 (2)(i)因为P为圆“A⑧B”的“牵连点”,所以P同时为圆A与圆B的“上进点”, 由P为圆B的“上进点”,得PB引+1=2(PB引-1),所以PB=3, 即点P在圆(x-2)2+y-2)2=9上, 由P为圆A的“上进点”,由(1)知点P在圆(x+1)2+y+1)2=3上, 所以点P是圆(x+1)2+y+1)2=3和(x-2)2+0y-2)2=9的交点 因为P,Q均为圆“A⑧B”的牵连点”, 所以直线PQ为圆(x+1)2+0y+1)2=3和(x-2)2+0y-2)=9的公共弦所在直线, 两圆方程相减可得x+y=0,故直线PQ的方程为x+y=0 (i)因为(x+1)2+0y+1)2=3的圆心为S(-1,-1),半径为V3, 答案第7页(共8页) 又(x-2)2+0y-2)2=9的圆心为T(2,2),半径为3, 所以直线ST的方程为y=x,与x+y=0联立得PQ的中点坐标为(O,0), 点8到直线x+y=0的距离为号=2,则9=JW32-(2=1, 所以圆H的方程为x2+y2=1, 假设y轴上存在点W0,)满足题意,设1(x1,y1),J(x2,y2),x1x2≠0. 则kw+kw=0,即二+2二=0,整理得x2y1-)+x12-t)=0. 将yh=x+h=k2+号代入上式可得x(kx1+号-t)+x1(kx2+-)=0 整理得2kx12+(传-t)x1+2)=0O, 联立=kx+号, x2+y2=1 消y可得k2+1)x2+kx-号=0,A=2+号2+1)>0, 所以x1+x2=- 本2=平代入①并整理得-2k+t=0, 此式对任意的k都成立,所以t=3,故y轴上存在点W(0,3),满足题意恒成立 答案第8页(共8页)