精品解析：河南焦作市第一中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

2025级高二上学期9月月考 数学 全卷满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，若实数，满足，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（ ） A. 点P在直线L上，但不在圆M上 B. 点P在圆M上，但不在直线L上 C. 点P既在圆M上，又在直线L上 D. 点P既不在直线L上，也不在圆M上 3. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 4. 若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为 A. B. 一 C. D. 5. 已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设直线与，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，l、n间的距离为 D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，且与的夹角为，则_________． 13. 已知圆，求圆关于直线的对称圆方程__________. 14. 在平面直角坐标系中，如果与都是整数，则称点是整点.已知直线，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②若和都是无理数，则直线不经过任何整点； ③存在只经过一个整点的直线； ④存在只经过两个不同整点的直线. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. 的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 16. 已知两直线，． （1）求直线与的交点的坐标； （2）求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3）若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 17. 在中，，，所对的边分别为，，，且，． （1）求证：为直角三角形； （2）若点为的内切圆上的动点，求点到顶点，，的距离的平方和的最大值与最小值． 18. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二上学期9月月考 数学 全卷满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，若实数，满足，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算及复数相等求解即可. 【详解】由，得， 所以，. 2. 设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（ ） A. 点P在直线L上，但不在圆M上 B. 点P在圆M上，但不在直线L上 C. 点P既在圆M上，又在直线L上 D. 点P既不在直线L上，也不在圆M上 【答案】C 【解析】 【分析】将点P的坐标分别代入圆的方程和直线方程验算即可. 【详解】由条件知：，代入圆 得： ， ∴点P在圆上； 再将点P的坐标代入直线 ，得： ，∴点P也在直线上； 故选：C. 3. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 【答案】A 【解析】 【详解】由题知圆心（ , ）在直线y＝x上，即＝， ∴D＝E.故选A. 考点：圆的一般方程. 4. 若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为 A. B. 一 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为，故选B． 考点：直线的平移和直线的斜率． 5. 已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出直线的倾斜角再根据夹角范围结合正切函数性质即可求值. 【详解】直线：的倾斜角为，直线：的倾斜角为，则， 所以过原点的直线：，：夹角在内变动时， 可得直线的倾斜角的范围是， 所以，即， 故选：C. 6. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】解析： 设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选:D. 【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题. 7. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由切化弦结合两角和的正弦公式、诱导公式化简得出，求出、的取值范围，利用正弦函数的对称性与单调性可得出答案. 【详解】由，得， 即，故， 即， 由，，得，， 若，则，化简得，符合题意； 若，则，即（舍）. 综上所述，. 8. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将转化成，由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等，则题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等，分类讨论即可得出答案. 【详解】将转化成， 由点到直线的距离公式得，到直线的距离相等， 题目等价于恰好存在三条直线使得，到直线的距离相等， 设直线，，， 易得解析式为， 因为，所以直线不过原点， ， 若，则直线为线段的垂直平分线或者与平行， 若直线为线段的垂直平分线，设，中点为，则， 因为，，所以， ，即； 若直线与平行，则，令，， 则， 由点到直线距离公式可得， 解得或，代入得或， 恰有三个不同的实数对满足关系式； 若，如图所示，对于固定的，存在四条不同的直线使得条件成立， 要排除掉其中一种情况，则某一条直线过原点， 若直线过原点且过，则解析式为，则，符合题意； 若直线过原点且与平行，则解析式为，则，符合题意； 将，以及进行比较得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 10. 设直线与，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，l、n间的距离为 D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D. 【详解】A：时，，，易知，正确； B：时，，，则，故不成立，错误； C：时，，则，可得或， 当时，，，两线重合，排除； 所以，由A知：它们的距离，正确； D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 四面体的外接球的表面积为 B. 不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D. 点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用补形法可判断A选项；作出辅助线，得到，即、、、四点共面，当与重合时满足要求，但不能与重合，可判断B选项；作出辅助线，得到平面截正方体截面为平行四边形，当与点重合时，面积最大，此时面积为，当与点无限接近时，面积接近于，可判断C选项；作出辅助线，得到点的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧，可求出点的轨迹长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，将四棱锥补成长方体， 所以，四面体的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即四面体的外接球的直径为， 所以，四面体的外接球的表面积为，A正确； 对于B选项，连接，，，因为且， 故四边形为平行四边形，所以，因为P，N分别是中点， 则，所以，即，，，四点共面， 而平面与的交点唯一，故即为，又不为的端点， 因此不存在满足条件的点，B正确； 对于C选项，如图，在平面上作，垂足为点， 过点在平面内作交BC或者于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，面积最大，此时，，面积为 当Q与点无限接近时，面积接近于0， 过且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为，C错误； 对于D选项，依题意，直线PH与直线的夹角为， 取的中点，连接PO，则， 则平面，取AB的中点，以为圆心，为半径作圆，交，于X，Y， 则点H的轨迹为以O为圆心，1为半径的部分圆弧， 又，故 所以点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，且与的夹角为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求向量的模的平方后结合数量积的运算再开方即可求解. 【详解】 ， 则. 13. 已知圆，求圆关于直线的对称圆方程__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而求得该圆方程. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得，又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，如果与都是整数，则称点是整点.已知直线，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②若和都是无理数，则直线不经过任何整点； ③存在只经过一个整点的直线； ④存在只经过两个不同整点的直线. 【答案】①③ 【解析】 【分析】举例可判断①②③，通过两个整数点，和，在直线上，可得，在直线上，进而可得更多的整数点在直线上，进而判断④错误 【详解】对于①，令，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确； 对于②，取，，直线为，经过整点，故②错误； 对于③，比如直线方程为，直线经过整点，当取不为0的整数时，都是无理数，故该直线只经过整点，故③正确； 对于④，设直线为，若此直线过不同的整点，和，， 把两点代入直线方程得：，，两式相减得：， 则，为整点且在直线上，依次可得直线经过无穷多个整点， 故④错误． 正确的命题是①③． 故答案为：①③． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. 的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【小问1详解】 边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． 【小问2详解】 的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． 【小问3详解】 由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 16. 已知两直线，． （1）求直线与的交点的坐标； （2）求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3）若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得，点的坐标为． 【小问2详解】 设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 【小问3详解】 （ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 17. 在中，，，所对的边分别为，，，且，． （1）求证：为直角三角形； （2）若点为的内切圆上的动点，求点到顶点，，的距离的平方和的最大值与最小值． 【答案】（1）由正弦定理，结合已知条件，可得． 交叉相乘得，即． 因为，所以，故． 于是，即． 因此． 故为直角三角形． （2）最大值为88，最小值为72． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用倍角公式得到与的关系，从而证明. （2）建立平面直角坐标系，求出内切圆方程，再把几何问题代数化，转化为一次函数的最值问题，从而求出距离平方和的最大值和最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，故, 解得，．直角三角形内切圆半径. 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则 ，，. 内切圆圆心为，内切圆的方程为. 设圆上动点，记距离平方和为，则 . 由圆方程展开得，将其代入的表达式： . 由可知．当时，取得最大值88；当时，取得最小值72. 综上，距离平方和的最大值为88，最小值为72. 18. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）由题意，直线斜率不为，设的方程为. 令，得，即； 令，得，即 ∴， 由得：，即， ∴的方程为，即， ∴直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意，可设，，，由中点列关于方程组即可求解出坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）由，根据两点距离公式列式，由基本不等式求解得，从而可得当，时三角形面积最大，从而得坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（3）设的方程为，表示出坐标，从而可得，，代入计算可得，即可得直线方程为，判断得定点坐标. 【小问1详解】 易知直线的方程为，设，，， 为线段的中点，则， 解得，所以，， 所以， 故直线的方程为：， 即. 【小问2详解】 设，，. 由，得，即. ∵，∴， 当且仅当，即，时取等号， 所以的面积， 当的面积取最大值时，，， 所以，直线的方程为：， 即. 【小问3详解】 略 19. 在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义． （1）若，，求； （2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为． （i）证明：点也在某一条直线上； （ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（i）当时，，变换公式为， 即由上式解出：，． 代入直线方程，得． 若且，则，与、不全为零矛盾， 故上式是关于的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上． （ii）存在，，（）． 设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上： ， 即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线． 若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为， 故，，均等价于，即（）． 此时：，． 若（过原点）：直线为，变换后为． 两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（看，的情形）： ． 若，即，则：，即上面的情形； 若，即（），则：． 当时：，变换后为，不是同一直线； 当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除． 综上，满足条件的直线为，（）． 【解析】 【分析】（1）直接代入定义：先求数量积和模方，再按公式计算即可， （2）（i）由定义写出时的坐标变换，反解出用表示，代入原直线方程，得到关于的一次方程，系数不全为零，故在一条直线上，（ii）设不动直线，将变换式代入，要求所得直线与原直线重合，分与讨论，比较系数得或，即与. 【小问1详解】 ，，则，， 故． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $