第5章二次函数章节综合训练卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第5章二次函数章节综合训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 一、选择题 1．下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得抛物线对应的解析式是（     ） A． B． C． D． 3．下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向下 B．抛物线的对称轴在轴左侧 C．与轴正半轴可以相交 D．当时，随的增大而减小 4．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的不等式的解集为（     ） A． B．或 C． D． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为．当水位线在位置时，水面宽，此时水面离桥拱顶的高度为（     ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的最大值为6，那么关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．已知点，，在二次函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，点两点，其中，，与y轴交于点．下列结论：①；②；③当时，为直角三角形；④若方程的两个根是，，则．其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．已知实数a，b满足，则代数式的最小值是（     ） A． B．0 C．1 D．6 二、填空题 11．二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是________． 12．将抛物线（b、c为常数）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为，则的值为________． 13．已知抛物线（为常数）经过和两点，则的值是______． 14．如图，分别过点（、2、…、）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为__________． 三、解答题 15．已知二次函数的图象与轴的一个交点横坐标为． (1)______； (2)若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______． 16．“放烟花”作为春节的一项习俗，象征着辞旧迎新，庆贺新年的到来，烟花升空燃放到燃烧物下落过程经过的路径可以近似看作若干条抛物线，如图，一枚高的烟花垂直放置在地面上，抛物线，是两条燃烧物落地点距离烟花底部最远的两条抛物线，烟花燃烧时，抛物线的最高点距离地面，点与烟花的水平距离为． (1)以水平地面所在直线为轴，以烟花所在直线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式； (2)求烟花燃尽时，燃烧物落地点离烟花的水平距离． 17．已知二次函数（为常数）． (1)证明：该二次函数图象与轴必有两个交点． (2)若图象上有点，，，且满足，求的取值范围． 18．中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． (1)要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ (2)每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 19．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 20．如图，抛物线（b、c为常数）．与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：A． ，没有，不一定是二次函数，不符合题意； B． ，不是二次函数，不符合题意； C． 是二次函数，符合题意； D． 不是二次函数，不符合题意． 2．D 【详解】解：把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， 所得抛物线对应解析式是． 3．B 【详解】解：先对抛物线配方得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为且在轴左侧，即选项A错误，选项B正确； ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，即选项D错误； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，即抛物线与轴的负半轴可以相交，故选项C错误。 4．B 【详解】解：由可得：， 根据函数图象可得：当或时，二次函数图象在一次函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 5．B 【详解】解：根据二次函数的图象与一次函数的图象性质逐项分析判断如下： A、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； B、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； C、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； D、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 6．C 【详解】解：桥拱对应的函数表达式为且水位线与轴平行， ，关于轴对称， ， ，， 将代入函数表达式得，即水面离桥拱顶的高度为， 故选：C． 7．A 【详解】解：， ∵， ∴当时，二次函数取得最大值为， ∵二次函数的最大值为6， ∴， ∴， ∵一元二次方程为， ∴， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 8．B 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 因为，所以抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， 因为，所以． 9．A 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴交x轴负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴，故②正确； 如图， ∵抛物线与x轴交于点，点两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故③正确； ∵方程的两个根是，即方程的两个根是， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 10．D 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，原式的值随着a的增大而增大， ∴当时，原式取最小值为6． 11． 12． 【详解】解：平移后顶点： 逆向平移求原顶点：向左，向下， 原顶点横坐标：， 原顶点纵坐标：， 所以原抛物线顶点为， 原抛物线顶点式： 展开得： ∴， ∴ ． 13． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得，即的值是． 14． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 15．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴一个交点横坐标为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴抛物线的顶点纵坐标为， 由题意得：， ∴或， 解得：或， 由（1）得， ∴， ∴或， ∴或． 16．【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下图所示： 可知点的坐标为，抛物线的顶点C的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 解得：，（舍去）， 燃烧物落地点离烟花的水平距离为米． 17．(1)证明：当时，可得：， ， 函数的图象与轴必有两个交点； （2）解：点，在函数图像上， 对称轴为直线，     ，即抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ， ， 解得：， 又， ， 整理得：， 解得：或， 综上所述：的取值范围或． 18．【详解】（1）解：由题意，； 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 19．【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ； （2）解：①如图，过点作于点， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， 点的纵坐标为， 可得， 解得，（舍去）， ； ②令， 解得，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，，解得， 直线的解析式为， 当点在轴左侧且在点右侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， ； 当点在轴左侧且在点左侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）； ， 综上，点的坐标为或． 20．【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， ∵为等腰三角形的腰，分情况如下： 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 综上所述，点的坐标为或或． $