专题特训12 抛物线与几何图形的最值问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

第五章二次函数 专题特训十二 抛物线与几何图形的最值问题 类型一抛物线与线段的最值问题 1.[2025德阳中考]如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=一x2+bx十c的图象与x轴交于点 A(一1,0)，B(3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)如图②，连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D ①求点D的坐标， ②如图③，E,F为线段BC上的两个动点（点E在点F的右侧），且EF=√2，连接OF,DE.求 OF+DE的最小值 ① ② (第1题) 2.[2025海南中考]如图，抛物线y=ax2十bx+c(a>0)经过A(4,0),B(-2,6)两点，P(xo,yo) 是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q. (1)若c=-4. ①求抛物线对应的函数表达式， ②求线段PQ长度的最大值， ③若t≤xo≤t十1，求x。取何值时线段PQ的长度最大（可用含t的代数式表示xo). (2)若c≠一4，t≤xo≤t十1，问题(1)中③的结论是否会发生变化？请说明理由， (第2题) 109 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 类型二抛物线与面积的最值问题 3.[2024遂宁中考]如图，二次函数y=a.x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0), 与y轴交于点C(0,一3)，P,Q为抛物线上的两点 (1)求二次函数的表达式. (2)当P,C两点关于抛物线的对称轴对称，且△OPQ是以P为直角顶点的直角三角形时，求点 Q的坐标. (3)设点P的横坐标为m,点Q的横坐标为m+1,试探究△OPQ的面积S是否存在最小值.若 存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. (第3题) 4.[2025射洪模拟]已知y关于x的函数y=(a一2)x2+(a+1)x+b. (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b,则a的值是 (2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴交于点A(一2,0)，B(4,0),与y轴交于点C,并与动直 线l:x=m(0<m<4)交于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中PA交y轴于点D,交BC于点E. 设△PBE的面积为S1,△CDE的面积为S2. ①当P为抛物线的顶点时，求△PBC的面积 ②在直线1运动的过程中，S1一S,是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说 明理由 B (第4题) 110 >“答案与解析”见P66函数表达式为y=一号x十6根据题意，可设 P(D,-p+6)(p>0).则点P到x轴的距离Ap 3 .12 -2p+6.:S0n=6,即20A·hp=6hp=OA -3，即-号p十6=3解得p=2P(2.3).红 4 1=3,解得a=1.(2)由(1)，可得抛物线对应的函数表 达式为y=x2一1，.经过平移后得到的新抛物线对应的 函数表达式为y=(x一2)2一1一t.,平移后的抛物线经 过点A(4,0),∴.(4-2)2-1-t=0,解得t=3. 7.A设二次函数y=一x2十2x十3的图象与x轴交于点 A,B(点A在点B的左侧).：二次函数的表达式为y= -x2+2x十3=-(x-1)2+4,.抛物线y=-x2+2x十 3的顶点坐标为(1,4).当y=0时，x2-2x一3=0，解得 x1=-1,x2=3.∴.抛物线y=一x2+2x十3与x轴的交 点为A(-1,0),B(3,0).将二次函数y=一x2+2x十3的 图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，易得翻折后的部分 的抛物线对应的函数表达式为y=(x一1)一4（一1≤x≤ 3).如图，当直线y=x十b过点B时，直线y=x十b与该 新函数的图象恰好有三个公共点，∴.3十b=0,解得b= -3.当直线y=x十b与抛物线y=(x-1)2-4(-1≤x≤ 3)只有一个交点时，直线y=x十b与该新函数的图象恰好 有三个公共点，即(x一1)2一4=x十b有两个相等的实数 根.整理，得x2-3x-b-3=0,∴.△=(-3)2-4(-b 3)=0,解得6=-头，符合题意.综上所述，6的值为-斗 或-3. (第7题) 8.y=一2x2-4x一8先将抛物线y=2x2-4x+8关于 x轴作轴对称变换，可得新抛物线y=一2x2+4x一8；再 将所得的抛物线y=一2x2十4x一8关于y轴作轴对称变 换，可得新抛物线y=一2x2-4x一8. 9.C抛物线y=2x2+4x关于y轴作轴对称变换，则所 得抛物线为y=2(-x)2十4(-x)=2x2一4x.,y 2x2一4x=2(x一1)2一2，.将原抛物线绕顶点旋转180 后，得y=-2(x-1)2-2=-2x2+4x-4. 10.(1,一3)将抛物线y=x2+2x一1先绕原点旋转 180°所得的抛物线为-y=(-x)2+2(-x)一1，即y= 一x2+2x+1.再将抛物线y=-x2+2x+1向下平移5个 单位长度，得抛物线y=一x2十2x十1一5=一x2十2x一4= 一(x一1)一3.∴.所得到的抛物线的顶点坐标是(1，一3). 11.(1),抛物线y=一x2+21x-n2十21过点P,Q,点 P,Q的纵坐标为4，.4=一x2+2n.x一n2十2n,解得x1 n+√2n-4,x2=n-√2m-4..PQ=|x1-x2=4, .2√2n一4=4，解得n=4.∴.抛物线对应的函数表达式 为y=一x2+8.x一8，x1=6,x2=2.:点P在点Q的左 侧，∴点P的坐标为(2,4).(2)正确.理由：由(1)，得P (2,4),Q(6,4).设点Q绕点P旋转180°后的对应点为Q'. .Q(-2,4).∴.点P与点Q正好关于y轴对称.所得 新抛物线的对称轴是y轴.：y=一x2+8x一8=一（x 4)2十8，∴.原抛物线的顶点M的坐标为(4,8)..顶点M到 直线PQ的距离为4.∴.所得新抛物线的顶点到直线PQ 的距离为4.∴.易得所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O. 专题特训十二抛物线与几何图形的 最值问题 1.(1)A(-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x2+bx+c 的图象上，∴.抛物线对应的函数表达式为y=一(x十1)(x一 3)=-x2+2x十3.(2)①把x=0代入y=-x2+2x+ 3,得y=3,.C(0,3).如图①，延长DC与x轴相交于点 G.B(3,0),C(0,3),∴.OB=OC=3.∠COB=90°， ∴.∠CBO=45°.：∠DCB=90°=∠BCG,∴.∠CGB= 90°-∠CB0=90°-45°=45°..∠GC0=180°-∠C0G- ∠CGB=180°-90°-45°=45°..0G=OC=3.∴.G(-3, 0).设直线CG对应的函数表达式为y=k.x十m(k≠0).把 3=m, k=1, C(0,3),G(-3,0)代入，得 解得 (0=一3k十m, m=3, ∴.直线CG对应的函数表达式为y=x+3.:D是直线 y=x十3， CG与抛物线的交点，.联立 解得 y=-x2+2x十3， x=0,x=1, 或 .D(1,4).②如图②，过点O作OH∥ y=3y=4. EF,且OH=EF=√2，连接HE,DH,设DH与x轴的交 点为M.,OHEF,且OH=EF,∴.四边形OFEH是平 行四边形.∴.OF=EH..:∠CBO=45°，∴.∠BOH= 45°..△OMH为等腰直角三角形.∴.OM=MH. .OH=EF=2,OM2+MH2=OH2,..OM=MH=1. .H(1,-1).·DE+EH≥DH,.当DE+EH=DH 时，DE+EH的值最小.：D(1,4),H(1,-1),.DH= 5,此时D,E,H三点共线且DH⊥x轴..点F的坐标为 (O,3),与点C重合，满足EF在线段BC上.，OF+DE 的最小值为5. G 0 TO\H ① ② (第1题) 2.(1)①：c=一4，∴.抛物线对应的函数表达式为y= a.x2+bx-4.,抛物线y=ax2+bx十c(a>0)经过A(4, (0=16a+4b-4, a=1, 0),B(-2,6)两点， 解得 6=4a-2b-4, b=-3. ∴.抛物线对应的函数表达式为y=x2一3x一4.②设直 线AB对应的函数表达式为y=k.x十m,将点A,B的坐标 (0=4k十n, k=一1， 代入，得 解得《 ∴.y=-x十4. 6=-2k+m, m=4, :P(xo,yo)是线段AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交 抛物线于点Q,.P(x0,一x。十4)，Q(xo,x2-3.x0-4). ∴.|PQ=-x0+4-(x2-3x0-4)=-(x0-1)2+9.由 题意得-2≤xo≤4，.当xo=1时，PQ取得最大值为 9.③|PQ=-(x0-1)2+9,-2≤x0≤4，.当t≥ -2,t+1≤1，即一2t≤≤0时，PQ的最大长度在x。=t+1 处取得；当t<1,t十1>1，即0<t<1时，PQ的最大长度 在xo=1处取得；当t≥1，t+1≤4时，即1≤t≤3时，PQ 的最大长度在xo=t处取得.综上，xo=t十1或xo=1或 x。=t.(2)不会发生变化.理由：：抛物线y=ax2十br十c 10=16a+4b+c, (a>0)经过A(4,0),B(-2,6)两点，. 6=4a-2b+c, (b=-1-2a, 解得 ∴.抛物线对应的函数表达式为y c=4-8a. a.x2-(1+2a)x+4-8a.:P(xo,yo)是线段AB上的动 点，.y。=一x。十4.点Q在抛物线上，∴.点Q的坐标 为[xo,a.x2-(1+2a).x0+4-8a].∴.PQ|=-xo+4- 6 [ax2-(1+2a)xo+4-8a]=-a(xo-1)2+9a.,|PQ 函数图象的开口方向及对称轴同(1)中③的函数图象一 致，.问题(1)中③的结论不会发生变化. 3.(1)由题意，得y=a(x十1)(x-3)=a(x2-2x-3). 把C(0,-3)代入，得-3a=-3,解得a=1.∴.二次函数 的表达式为y=x2一2x一3.(2)：抛物线的对称轴为 直线x=1,点P,C关于抛物线的对称轴对称，.P(2, 一3).设Q(m,n2-2m-3).当△OPQ是以P为直角顶点 的直角三角形时，∠OPQ=90°，.OP2+PQ=OQ. .[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-n)2+(-3-n2+2m+ 3)]=n2十(n2-2n-3)2.整理，得3n2一8n十4=0，解得 m=3m:=2(不合题意，舍去.n2-2m一3=-35 2 9 Q(号，-).（3)存在设Pmm2-2m-3).则易 得Qm+1,m2-4.当m=2时，P(分，).Q2 》S=号×1×只安当m≠时，设直线P阳 交x轴于点H.由点P,Q的坐标，易得直线PQ对应的函 数表达式为y=(2m-1)(x-m)十m2-2m-3.令y=0, 得工=m-m3+m,则OH=m二2m3+m 1-2m 1-2m S=2OH·10-p|=2 号×m-2-3+m· 1-2m 1m2-4-m2+2m+3|= 2(m2+m+3)= 号(m+)》+>≥号5的鼓小值为号：号< 8 点△0PQ的面积S的最小值为号 4(D2或0或-子(2)①如图，设直线1与BC交于 4(a-2)-2(a+1)+b=0, 点F.根据题意，得 解得 16(a-2)+4(a+1)+b=0, a=1, ∴.抛物线对应的函数表达式为y=一x2十2x十8. b=8. 当x=0时，y=8,.C(0,8).:y=-x2+2x+8= 一(x一1)十9，P为抛物线的顶点，∴.P(1,9).设直线BC 对应的函数表达式为y=kx十n.把B(4,0),C(0,8)代入， 4k十n=0,k=一2， 得 解得 .直线BC对应的函数表达 n=8, n=8. 式为y=-2x十8.当x=1时，y=6,∴.F(1,6)..PF= 9-6=8△PBC的面积=2OB·P=合×4X3=6. ②S一S2存在最大值.如图，设直线l交x轴于点H,则 H(m,0).A(-2,0),B(4,0),∴.OB=4,AO=2,AH= m十2，AB=6.由①，得y=-x2+2x+8,C(0,8),.0C= 8,P(m,-m2+2m+8)..PH=-m2+2m十8.由题意 得OD∥PH,∴.∠ADO=∠APH,∠AOD=∠AHP i△A0Do△AHr.·船-9P即 +2 OD -m2+2m+80D=8-2m.S1-S,=SAPB S△AOD一S四边形BED一S△CDE=S△PAB一S△AD一S△OC, S,-S。=6-m2+2m+8)_2(8-2m)_4×8 2 2 -3m2+8m=-3(m-号)'+9：-3<0,0<m<4。 :当m=专时，S,一S,取得最大值，最大值为9 (第4题) ☆问题解决活动怎样围面积最大 1.(1)54-3x:0<x<18.:两间饲养室的宽AB为 x米，∴.BD=52+2-3x=(54-3x)米.54-3x>0, ,.0<x<18.(2)设两间饲养室的总占地面积为S平方 米，则S=AB×BD=x(54一3x)=195,解得x=13或 x=5,当x=13时，54-3x=15;当x=5时，54-3.x=39. 故AB,BD的长分别为13米，15米或5米，39米. (3)BD≤MN,即54-3x≤21，解得x≥11，.易得 11≤x<18.而S=x(54-3x)=-3(x-9)2+243,,a 一3<0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x=9,∴.当 11≤x<18时，S随x的增大而减小.∴.当x=11时，S有 最大值，为231.故当AB为11米时，两间饲养室的总占地 面积达到最大，最大为231平方米， 2.(1)由题意，得AB=xm,,∴.BC=(28一x)m. (2)能.由题意及(1)，得x(28一x)=192,解得x=12或 6 x=16(不合题意，舍去)，∴.花园的面积能为192m°，此时 x的值为12.(3)S=x(28-x)=-x2+28x=-(x- 14)2+196.,点P与CD,AD的距离分别是15m和 6m,∴.28-15=13(m).∴.6x≤13..S关于x的函数 表达式为S=-(x-14)2+196(6≤x≤13.：-1<0，抛 物线的开口向下，对称轴为直线x=14,.当6≤x≤13 时，S随x的增大而增大.∴.当x=13时，S取到最大值= 一(13-14)2+196=195，即当x=13时，花园面积S最大. 综合与实践5探寻篮球投篮问题 (1)顶点E的坐标为(3,3.8)；设该抛物线对应的函数表达 式为y=a(x-3)2+3.8,根据题意，将(0,2)代入，得a(0一 3)2十3.8=9a十3.8=2，解得a=-0.2,∴.该抛物线对应 的函数表达式为y=-0.2(x一3)2十3.8.(2)根据题 意，设新抛物线对应的函数表达式为y=一0.2(x一3)2十 k.抛物线过点B(0,2.25),∴.一0.2X(0一3)2十k= 2.25,解得k=4.05.∴.新抛物线对应的函数表达式为y= -0.2(x-3)2+4.05.当y=0时，得-0.2(x-3)2+4.05= 0,整理得(x-3)2=20.25=4.52,解得x=7.5或x= 一1.5（不合题意，舍去），∴.水平距离OD的长为7.5m. (3)由(2)知起跳后的抛物线对应的函数表达式为y= 一0.2(x一3)2+4.05，设运球后起跳投篮的新抛物线对应 的函数表达式为y=一0.2(x一h)2十4.05.：篮筐在距点 O水平距离5.8m,垂直高度3.082m处，∴.新抛物线过点 (5.8,3.082),代入，得-0.2(5.8-h)2+4.05=3.082,整 理，得(5.8-h)2=4.84=2.2,解得h=3.6或h=8(不合 题意，舍去).∴.新抛物线对应的函数表达式为y= -0.2(x-3.6)2+4.05.当y=2.25时，-0.2(x-3.6)2+ 4.05=2.25,整理，得(x一3.6)2=9，解得x=0.6或x= 6.6(不合题意，舍去)，，该球员向篮筐方向沿直线OC℃运 球0.6m. 第五章拔尖自主测评 1.C选项A,B不具备二次函数的条件，选项C化简后符 合二次函数的条件，选项D化简后是一次函数 2C二次函数的图象的对称轴为直线x三一2，=一1， ∴.原点在抛物线对称轴的右侧.又·原点在(0,1)下方， 结合图象可知，符合条件的坐标系的原点为点C