精品解析：陕西西安市第三中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段学情检测数学试卷

九年级数学 一．单选题（每题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正五边形 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 4. 如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是( ) A. 112.5度 B. 120度 C. 115度 D. 135度 5. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 8. 如图，在正方形中，，点E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值为3，其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 11. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 12. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 13. 若，则k＝_____． 14. 在边长为的菱形中，，点为中点，点是对角线上两点，且．则四边形周长最小值为______． 三．解答题（共78分） 15. 用适当的方法解下列方程 （1） （2）． （3） （4）． 16. 如图，已知，平分，利用尺规作图法作正方形，使得点、分别在射线、上．（不写作法，保留作图痕迹） 17. 已知线段，，的长度满足，且，求，，的值． 18. 如图，四边形四边形，求的长及的度数． 19. 如图，点是菱形内一点，连接、、，．求证：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 21. 喜迎国庆，西安市第三中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探索科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材 每个智能摆件的成本价为元，当售价为元时，平均每天可以售出件． 素材 当售价每降低元时，平均每天就能多售出件． 问题解决 （1）当降价元时，求平均每天销售智能摆件的利润． （2）当每天获得的利润达到元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 22. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是． （1）求代数式的最小值； （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ （3） 24. 【问题提出】 如图①，已知在平行四边形中，对角线相交于点O，，． （1）若，则的长为________________； （2）若点E在线段上，过点C作，垂足为F，连接，若为等腰直角三角形，且，试探究、与之间存在的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，校园内有一块平行四边形花坛，，，花坛两条对角线交于点O，园丁要在对角线上选一处动点P，从点P向点A修一段步道，再以为边长，在下方修建一块等边三角形小型花圃，现要规划路线，使得步道最短，请求出此时的占地面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一．单选题（每题3分，共24分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形的判定定理，线段垂直平分线的性质及三角形中位线与菱形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知该选项不是真命题，故不符合题意； B、根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该命题为假命题，故不符合题意； C、∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上，即三边垂直平分线的交点，故该命题为真命题，符合题意； D、如图， ∵四边形是菱形，边的中点分别为， ∴，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 同理得， ∵，，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不是菱形，故该命题为假命题，不符合题意． 4. 如图，延长正方形的边至点E，使得．连结交边于点F，则的大小是( ) A. 112.5度 B. 120度 C. 115度 D. 135度 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质求得，从而根据三角形外角的性质得到，根据等边对等角求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 7. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 8. 如图，在正方形中，，点E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值为3，其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得，由可得，所以；②由矩形可得，则，推出，由四边形为正方形可得 ，即，所以，即可得；③由②中的结论可得；④由于点E为对角线上一动点，当时， 根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知：，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点O，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴，故①正确； ②延长，交于M，交于点H， ∵ ∴ 由①知 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴，故②正确； 由②知：，即，故③正确； ∵点E为上一动点， ∴根据垂线段最短，当时，最小， ∵， ∴ ∴ 由①知：， ∴的最小值为，故④错误， 综上所述，正确的结论为：①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：是一元二次方程， ，即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 整理得， 解得， 又， 且． 11. 如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 12. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，利用矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分这一性质，证明，再结合矩形对边相等求出的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形，， 四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形． 是矩形的对角线， ， 同理可得，， ， 即． ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 13. 若，则k＝_____． 【答案】或﹣1． 【解析】 【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k． 【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝． 则k＝或﹣1． 【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 14. 在边长为的菱形中，，点为中点，点是对角线上两点，且．则四边形周长最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，交于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，则四边形周长为，当时，取得最小值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，过点作于点， ∵边长为的菱形中，， ∴，, ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 四边形周长为，当时，取得最小值， ∵点是对角线上两点，且． ∴当点与点重合，点与点重合时，此时最小， 则四边形周长的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 三．解答题（共78分） 15. 用适当的方法解下列方程 （1） （2）． （3） （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问3详解】 解： 或， ，； 【小问4详解】 解： ． 16. 如图，已知，平分，利用尺规作图法作正方形，使得点、分别在射线、上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】作的垂直平分线，分别交射线、于点A，点B，连接，则四边形即为所求；由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的定义可得，则可证明，据此可证明四边形是矩形，进一步可证明四边形是正方形． 【详解】略 17. 已知线段，，的长度满足，且，求，，的值． 【答案】，， 【解析】 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 18. 如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似四边形的性质，四边形内角和性质． 根据相似四边形的性质可得，代入求的值，然后根据四边形内角和定理得出度数． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 19. 如图，点是菱形内一点，连接、、，．求证：． 【答案】 证明：∵菱形， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 利用已知条件与菱形的性质，可证明，即可得证． 【详解】略 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1） 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 21. 喜迎国庆，西安市第三中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探索科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材 每个智能摆件的成本价为元，当售价为元时，平均每天可以售出件． 素材 当售价每降低元时，平均每天就能多售出件． 问题解决 （1）当降价元时，求平均每天销售智能摆件的利润． （2）当每天获得的利润达到元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 【答案】（1）当降价元时，平均每天销售智能摆件的利润为元 （2）智能摆件的销售价为元 【解析】 【分析】（1）先算出降价元时，每件的利润以及每天的销量，然后用每件的利润乘以每天的销量可得出答案； （2）设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：当降价元时，每件利润为：（元）， 平均每天能卖出：（件）， ∴每天利润为：（元）， 答：当降价元时，平均每天销售智能摆件的利润为元． 【小问2详解】 解：设智能摆件的销售价为元． 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵要求优惠力度最大， ∴． 答：智能摆件的销售价为元． 22. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，结合，推出四边形是平行四边形，根据，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据直角三角形的斜边中线定理可得，，再由勾股定理求出，进而得到，根据可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，，即为的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 23. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是． （1）求代数式的最小值； （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ （3） 【答案】（1） （2）当时，花园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料将所求的式子配方为，再根据非负数的性质得出最小值； （2）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据非负数的性质得出最值即可． 【小问1详解】 的最小值是； 【小问2详解】 解：设花园的面积为，由题意可得， ， ， ， 当时，最大，最大值为50， 此时的长是， 当时，花园的面积最大，最大面积是． 24. 【问题提出】 如图①，已知在平行四边形中，对角线相交于点O，，． （1）若，则的长为________________； （2）若点E在线段上，过点C作，垂足为F，连接，若为等腰直角三角形，且，试探究、与之间存在的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，校园内有一块平行四边形花坛，，，花坛两条对角线交于点O，园丁要在对角线上选一处动点P，从点P向点A修一段步道，再以为边长，在下方修建一块等边三角形小型花圃，现要规划路线，使得步道最短，请求出此时的占地面积． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的占地面积为． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∴的占地面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $