陕西西安市交通大学附属中学分校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

初三年级数学练习（一） 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．若，，，是成比例的线段，其中，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 2．图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（ ）个黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 6．如图，，，三点共线，与交于点，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9．已知，那么________． 10．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处．若，则的长为________． 11．如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小内角的度数为________． 12．若，是方程的两个根，则________． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________． 14．如图，在中，，，，为中点，连接，过上一点作于点．设点到直线的距离为，若，则四边形的面积为________． 三．解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15．（4分）化简：． 16．（4分）解不等式组： 17．（10分）解方程： （1）； （2）． 18．（6分）如图，在中，平分，是上一点，且．求证：． 19．（7分）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为________； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为________． 20．（6分）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成个扇形区域，分别标有他喜欢的音名，；音符转盘被平均分成个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． （1）小明任意转动音名转盘次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名区域的概率为________． （2）小明任意转动音名转盘、音符转盘各次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 21．（7分）某服装店以每件元的价格购进一批T恤，如果以每件元出售，那么一个月内能售出件，根据以往销售经验，销售单价每提高元，销售量就会减少件． （1）当该服装店将销售单价定为元时，那么销售量为________件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 22．（8分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的长度等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． 23．（8分）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 24．（8分）松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 25．（10分）（1）如图①，若，，且、、三点共线，连接，则________； （2）如图②，已知，，，点在边上，以为腰在其右侧作等腰直角，且，连接，若，求的长． （3）如图③，在等腰梯形中，，且，，在梯形对角线上取一点，使得，将绕点旋转，得到，连接，．请问：在旋转过程中，是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $初三年级练习一参考答案 一.选择题（每题3分） 2 3 4 5 6 7 D C A A Q B D 二.填空题（每题3分） 97 10.(5-1 11.45 12.3 13. 或(6,0) 5W3 14.6 三。解答题 15.解： 2a-1 a(a-1)a(a-1)(a+1)(a-1) …2分 2a-1-a a a(a-1)(a+1)(a-1) =-(a-102 a(a-1)(a+1)(a-1) 3分 -1 …4分 x< 5 16.解：解不等式①，得 2 …1分 解不等式②，得x≤1 2分 ∴原不等式组的解集为x≤1 4分 17.解：(1)原方程可化为(x+4)-(3x+12)=0 即x(x+4)-3(x+4)=0 …2分 ∴.(x-3)x+4)=0 …3分 x=3,x3=-4, …5分 (2)原方程可化为3x2-4x-1=0 :△=(-4)2-4×3×(-1)=28>0 4±√282±√7 2×3 3 …3分 2+V7 .2-7 .. 3, X2= 3 …5分 18.解：(1)如图，点P即为所作，P点坐标为(-5，-) …2分 (2)如图，△0A,B即为所作： …5分 3)(2a,2b) …7分 19.证明：AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD.. …2分 BE=BD, ∴.∠BED=∠BDE,… …4分 ∴.180°-∠BED=180°-∠BDE 即∠AEB=∠ADC .△ABE∽△ACD. …6分 1 20.解：(1)指针落在标有音名A区域的概率为2， …2分 (2)列表如下： 1 1 1 音名转盘 音符转盘4 音符转盘8 音符转盘16 W B,4 1 B.g) 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音 1 符8区域的结果有1种，… …5分 1 ∴.P(音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符8区域)6 …6分 21.解：(1)230件： …2分 (2)设T恤的销售单价提高X元，依题意得 (60+x-50) 30-7x10 =6000 4分 整理得x2-50x+600=0, 解之得=20.x2=30 5分 ,要尽量减少库存， X=20.…6分 T恤的销售单价应为x+60=80元. 答：T恤的销售单价应定为80元. …7分 22.解：(1 73 7 0≤t≤ 当运动时间为ts( 3时，PB=(5-)cm,B0=3tcm, 在Rt△PB0中，∠B=90°，由勾股定理得 PB2+BO2 PO2 m(5-)+(3)=(35 整理得2-t-2=0, 解得5=2，=-1（不符合题意，舍去） 答：2秒后，P的长度等于3W5: 3分 (2)△PB0的面积不能等于10cm不能，理由如下： 依题意得2 ×35-t1）=10 …5分 整理得312-15t+20=0. :A=(-5)}-4×3×20=-15<0 …7分 ∴该方程没有实数根， ·△PBO的面积不能等于10cm 8分 23.解：(1)四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD E是AD的中点， OE是△ABD的中位线，… 2分 .OE∥FG」 OG∥EF, 四边形0EFG是平行四边形.3分 EF⊥AB, .∠EFG=90°， 四边形OEFG是矩形； …4分 (2):四边形ABCD是菱形， ∴.BD⊥AC,即∠AOB=90°，AB=AD=10, .∠AOD=90° 由(1)知四边形OEFG是矩形 ∴.∠OGB=∠OGF=90°=∠AOB.... 4分 .∠OBG=∠ABO .△BGO∽△BOA. .BG BO BO BA. 9 10-BO 即BO10 解得BO=3 ..BD=2BO=6 …8分 24.解：由题意得EF=CD=1.5m,FD=4.2m,FM=2.0m,DN=1.7m,则 MD=FD-FM=4.2-2.0=2.2m i设NB=x米，则MB=MD+DN+BN=2.2+1.7+x=(+3.9)米. 由题意，得∠CND=∠ANB,∠CDN=∠ABN=90°， .△CND∽△ANB、 CD DN AB BN …2分 同理，△EMF∽△AMB, EF FM AB BM EF =CD. .DN_FM1.7_2.0 BNBM,即xx+3.9 …5分 解得x=22.1,即BN=22.1 CD_DN ·ABBN, 1.51.7 AB22.1 解得AB=195 …7分 答：大树AB的高度为19.5米、 8分 25.解：(1)90°： …2分 (2)过点C作AB的垂线，垂足为F, D :Rt△ABC,AC=BC=2V2, F-BF-14B=2 .∠ABC=45°，AB=4,则 ∴.△FBC为等腰直角三角形，且CF=BF, CF 1 CB=2,∠FCB=45, 等腰直角△CDE, CD 1 CF CE√5CB,∠DCE=45° :∠DCF=∠DCE-∠FCE,∠ECB=∠FCB-∠FCE:∠FCB=∠DCE, ∴.∠DCF=∠ECB, .△DCF∽△ECB, …4分 DF CF 1 “EBCB√2 BE=1, :DF、1 12 即DF= 2, .①如 AD=AF-DF-2- …5分 ②如图 AD-4F+DF-2+ ,AD=2-2 2+2 2或2 …6分 E (3)连接OF,DF,过D,C作AB的垂线，垂足分别为M,N. :四边形ABCD是等腰梯形，∠DAB=∠B=60°， .AD=BC,∠ADC=120° .∠DMA=∠CNB=90 .△ADM≌△BCN, .AM=BN. .AB∥CD,DM∥CN, :四边形CDMN为平行四边形 ∴.CD=MW ,AB=2CD=6」 :.AM=BN=3 在Rt△ADM中，∠ADM=30° .AD=2AM=3. …7分 ·△ADC为等腰三角形，且∠ADC=120°」 .OC=OD ∴.∠ODC=∠OCD=30° 过点0作0G⊥CD于G,则OC=20G, ..cG-oc :CD=V30C,则OC=0D=3 AC= 同理，DC 由旋转DC=CF,OC=CE,∠DCO=∠FCE, .∠DCF=∠OCE .DC=CF= ·OCCE △DCF∽△OCE,…8分 .DF=5 OE 即3OE=V3DF ~4C=4C=5 CFDC =5 CF CD OC OC ∠Fco=∠ACF. .△OCF∽△FCA, …9分 AF= OF °，即AF=30F, ∴3OE-AF=W3DF-V30F=V3DF-OF≤30D 即D,0,F三点共的时取等，B0B-A的最大值为3.10分