精品解析：陕西平利县西河九年制学校2026-2027学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学

2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程是一元二次方程； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程． 2. 若函数是二次函数，那么的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 3. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴它的常数项是， 故选：A． 4. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断系数的大小，平面直角坐标内的点所在的象限， 根据抛物线的开口方向可得，与y轴交点在负半轴可得，再判断点所在的象限． 【详解】解：根据图象可知，， ∴点在第四象限． 故选：D． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 6. 已知点，，在二次函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求抛物线对称轴，，抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，算出三点到对称轴的距离，比较大小． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 因为，所以抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， 因为，所以． 【点睛】二次函数比较函数值，利用点到对称轴距离判断，是常用简便方法． 7. 学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆围建一个矩形花园，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完（围墙一面不用篱笆），矩形花园的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，再根据矩形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴的长为． 8. 某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，若“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数解析式，当“水火箭”升空的高度为时，它飞行的时间t为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】令 ，则，解方程即可． 【详解】解：令 ，则， 解得，． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：把代入得， 解得． 10. 已知抛物线（为常数）经过和两点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线经过点和可得抛物线的对称轴为直线，则，然后求出的值即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得，即的值是． 11. 一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设这个两位数的个位数字为，根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则这个两位数的十位数字为， 根据“个位数字的平方恰好等于这个数”得到． 12. 在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为， 因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 13. 若是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 14. 将抛物线（b、c为常数）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线平移，顶点跟着平移，采用逆向平移：把新顶点 反向平移（向左平移个单位，向下平移个单位），得到原抛物线顶点；再写出原抛物线顶点式，展开对比系数求出，，最后计算． 【详解】解：平移后顶点： 逆向平移求原顶点：向左，向下， 原顶点横坐标：， 原顶点纵坐标：， 所以原抛物线顶点为， 原抛物线顶点式： 展开得： ∴， ∴ ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴，． 16. 已知二次函数，请用配方法将其化成的形式，并写出对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数的解析式化为顶点式及的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 先把解析式化为顶点式，再根据顶点式的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 17. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式等于0求解即可． 【详解】解：∵该方程有两个相等的实数根， ∴ ， 解得． 18. 用长的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，写出y关于x的函数解析式，当时，求出该矩形的面积． 【答案】，x 需满足 ；当时，该矩形的面积为． 【解析】 【分析】根据矩形的面积长宽列出函数关系式即可． 【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为， 则面积，x 需满足 ， 当时，， 当时，该矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查根据题意列函数解析式，弄清题意，找出题中的等量关系是解答此类题目的关键． 19. 若点在二次函数（，为常数，）的图象上，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】把点代入可得，然后利用整体代入即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴ ， 即的值为． 20. 某市推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡．其中一款文创产品刚上市每件的售价为100元，因市场调整，经过两次连续降价后售价降至每件81元，求该文创产品平均每次降价的百分率． 【答案】该文创产品平均每次降价的百分率为 【解析】 【详解】解：设该文创产品平均每次降价的百分率为， 由题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该文创产品平均每次降价的百分率为． 21. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 解：已知， 因式分解并移项： ， ； 提公因式： ； 化简求解： ， ， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】本题一元二次方程的解法，等式的基本性质，理解“等式两边不能同时除以一个可能为 0 的代数式”是解题关键． （1）步骤②直接除以，未考虑可能为的情况，会丢失方程的根； （2）先对原方程右边因式分解，移项后提公因式，将方程化为乘积为的形式，再令各因式为，可求得方程的两个根． 【小问1详解】 解： 根据题意，可知步骤②两边同时除以， 未考虑可能为的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②． 【小问2详解】 略 22. 利用描点法画二次函数的图象，列表如下： （1）填空：上表中______，______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的大致图象，并写出当时，随着的增大，函数值的变化情况． 【答案】（1），； （2）画图如图， 当时，函数值随着的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）根据解析式，分别求出当和时对应的值即为，的值； （2）根据题意通过表格中点坐标画在平面直角坐标系中，用光滑曲线连接即可画出函数图象，然后通过图象即可得出当时，随着的增大，函数值的变化情况． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：列表， 描点， 连线， 画图略； 由图象可知当时，函数值随着的增大而增大． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根分别为、，求的值． 【答案】（1）证明：∵关于的一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵该方程的两个根分别为、， ∴，，， ∴， ∴ ． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向终点C移动，当其中一点到达终点时，两点立即停止运动，设运动的时间为． （1）当时，________； （2）当的面积为时，求t的值． 【答案】（1） （2）的值为1或4 【解析】 【分析】（1）表示，，，再利用勾股定理建立方程计算即可． （2）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴，，， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）． ∴当时，． 【小问2详解】 解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． 25. 独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：不能抛到观众区， 理由如下：令，则，解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴不能抛到观众区． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求出抛物线与轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 26. 如图，抛物线（b、c为常数）．与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为． （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，是以为腰的等腰三角形，分两种情况：，即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． 【小问3详解】 解：设， ∵为等腰三角形的腰，分情况如下： 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是二次函数，那么的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若一元二次方程的二次项系数是3，则它的常数项是（ ） A. B. 2 C. D. 5 4. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在二次函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆围建一个矩形花园，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完（围墙一面不用篱笆），矩形花园的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，若“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数解析式，当“水火箭”升空的高度为时，它飞行的时间t为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是_________． 10. 已知抛物线（为常数）经过和两点，则的值是______． 11. 一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设这个两位数的个位数字为，根据题意可列方程为_________． 12. 在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 13. 若是方程的两个实数根，则的值为_________． 14. 将抛物线（b、c为常数）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标为，则的值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数，请用配方法将其化成的形式，并写出对称轴和顶点坐标． 17. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 18. 用长的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为，面积为，写出y关于x的函数解析式，当时，求出该矩形的面积． 19. 若点在二次函数（，为常数，）的图象上，求代数式的值． 20. 某市推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡．其中一款文创产品刚上市每件的售价为100元，因市场调整，经过两次连续降价后售价降至每件81元，求该文创产品平均每次降价的百分率． 21. 对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得 ，……步骤① 等号两边同时除以，得，……步骤② 去括号，得，……步骤③ 移项、合并同类项，得，……步骤④ 系数化为．得．………步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是_____________（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 22. 利用描点法画二次函数的图象，列表如下： （1）填空：上表中______，______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的大致图象，并写出当时，随着的增大，函数值的变化情况． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根分别为、，求的值． 24. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向终点C移动，当其中一点到达终点时，两点立即停止运动，设运动的时间为． （1）当时，________； （2）当的面积为时，求t的值． 25. 独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 26. 如图，抛物线（b、c为常数）．与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $