精品解析：广东江门市新会尚雅学校2026—2027学年第一学期九年级数学第一次核心素养训练 A

2026—2027学年第一学期九年级数学 第一次核心素养训练A 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 若方程可配方成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．将一元二次方程化为的形式，然后配方即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 则． 故选：B． 3. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 4. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大， 当时，， ∴图象必经过点， 当时，；当时，， 故只有选项D描述错误. 5. 如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方的性质可知，可知点P在第二象限，其关于x轴的对称点在第三象限. 【详解】解： 点P在第二象限 点P关于x轴的对称点在第三象限. 故选：C 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称及象限点的符号特征，由点的坐标判断点所在的象限是解题的关键. 7. 若是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 8. 如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的概念和性质定理等，连接，根据圆心角的度数可知它所对的弧的度数，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，再由三角形的内角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵若所对的圆心角的度数为， ， ∵， ， ， ， ， ， ∴所对的圆心角的度数为， 故选：C． 9. 将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出原抛物线与y轴的交点，向左平移3个单位后与y轴的交点，向左平移4个单位后与y轴的交点，比较后即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移3个单位得到，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 将抛物线向左平移4个单位后所得抛物线表达式为，即， 当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会先减小后增大． 10. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点的横坐标，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分 11. 写出一个有两个相等实数根的一元二次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 令，则， ∴， ∴一元二次方程可以为（答案不唯一） 12. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：∵轴，的面积为3， ∴， 由题意， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是的弦，半径于点D，若，，则的长是_______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．根据垂径定理求出，设，则，由勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得：， ∴． 故答案为：3． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，以为圆心，1为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于，交于点，则就是最小值，进行求解即可． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，点对称点为，则：， 又∵点在圆上， ∴， ∴当四点共线时，最小， 连接交于，交于点，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题．熟练掌握矩形的性质，轴对称的性质，以及点到圆上一点的最短距离等于点到圆心的距离减去圆的半径，是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 利用解一元二次方程-因式分解法进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 17. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）已知方程有一根大于6，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵，，， 依题意，得 ∵， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可得； （2）由求根公式得出，由方程有一个根大于6知，解之可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由求根公式，得， ∴， ∵方程有一个根大于6， ∴． ∴． ∴m的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形： （2） 解：如图，即为所求作的三角形： （3） 【解析】 【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识． （1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出； （2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出； （3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 20. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 21. 如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，，请用a、b表示的长______． 【答案】（1）证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，，得出，由等弧所对的圆周角相等得出，等量代换可得出，由等角对等边得出． （2）由等弧得出，由勾股定理求出，由面积法即可求出． （3）由相似三角形的判定和性质得出，进而可求出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵B为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）可知：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 通过“倍长中线”或者“构造中位线”是应对中点问题的重要思路． 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小林和小红两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． 小林同学的思考过程：如图2，延长到点E，使，连接，构造三角形全等…； 小红同学的思考过程：如图3，延长到点E，使，连接，利用三角形中位线…； ①结合以上思路分析，求长度的取值范围； ②若，请直接写出的长． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 已知等腰直角三角形中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取中点F，连接． ①如图4，若点D在线段上，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）①；② （2）①解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使，连接， ， ∵点为的中点，， ∴为的中位线， ∴； 由旋转的性质可得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）①小林的思路：证明，得到，根据三角形三边的关系可得，据此可得答案；小红的思路：根据三角形中位线定理得到，根据三角形三边的关系可得，据此可得答案； ②可证明，得到，再利用勾股定理求解即可； （2）①延长到点G，使，连接，由三角形中位线定理得到；证明，得到，则可得到； ②分两种情况：当点D在线段上时，当点D在的延长线上时，同（1）②证明即可得到答案． 【小问1详解】 解：①小林的思路：如图2，延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 小红的思路：如图3，延长到点E，使，连接， ∵是的中线，， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； ②如图2所示，当时，， 由（1）①得， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②∵等腰直角三角形中，，， ∴； 如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∴由（2）①可得； 如图所示，当点D在的延长线上时，延长到点M，使，连接， ∵点为的中点，， ∴为的中位线， ∴； 由旋转的性质可得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为或． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； （3）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和代入二次函数关系式，求出解即可得出答案； （2）根据“互反点”的定义得出点A，B的坐标，再根据面积公式得出方程，然后求出解即可； （3）先求出函数关于直线对称的抛物线的关系式，进而得出函数与直线的交点坐标，然后令该点在直线上求出m的值，接下来分五种情况讨论是否存在2个“互反点”，即可得出取值范围． 【小问1详解】 解：∵点和是二次函数图象上的“互反点”， ∴， 解得， 所以二次函数关系式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得（正值舍去）， ∴点． 在中，当时，， 解得， ∴点． ∴， ∴， 即或（无解）， 解得（舍去）或， ∴； 【小问3详解】 解：函数关于直线对称的抛物线的关系式为， 当时，， ∴函数与直线的交点坐标为， 当点在直线上时，， 解得或； 当时，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是，都在上，此时不存在“互反点”， 令，整理，得， ∴， 解得， 所以当时，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是； 当时，， 令， 解得或， ∴两部分组成的图象上恰好有3个“互反点”，分别是； 当时，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”，分别是； 当时，两部分组成的图象上恰好有1个“互反点”，为； 当时，两部分组成的图象上不存在“互反点”． 综上所述，或，两部分组成的图象上恰好有2个“互反点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级数学 第一次核心素养训练A 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程可配方成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 4. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 5. 如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若是方程的一个实数根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，的直径与弦交于点，且，若所对的圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移4个单位，抛物线与y轴交于点，在平移过程中c的值会（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 10. 已知二次函数的图象的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④⑤ D. ②③④ 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分 11. 写出一个有两个相等实数根的一元二次方程：______． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为______． 13. 如图，是的弦，半径于点D，若，，则的长是_______ 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 15. 如图，矩形中，，以为圆心，1为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 18. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）已知方程有一根大于6，求的取值范围． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 20. 已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 21. 如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，，请用a、b表示的长______． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 通过“倍长中线”或者“构造中位线”是应对中点问题的重要思路． 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围． 小林和小红两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路． 小林同学的思考过程：如图2，延长到点E，使，连接，构造三角形全等…； 小红同学的思考过程：如图3，延长到点E，使，连接，利用三角形中位线…； ①结合以上思路分析，求长度的取值范围； ②若，请直接写出的长． 【迁移应用】 （2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题． 已知等腰直角三角形中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取中点F，连接． ①如图4，若点D在线段上，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 23. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． （1）已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； （2）如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； （3）如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $