专题01 集合与常用逻辑用语（七大题型）（高效培优期中专项训练）数学人教B版高一必修第一册

专题01 集合与常用逻辑用语（七大题型） 考点01 元素与集合的关系 考点02 已知集合关系求参 考点03 集合综合计算 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 考点05 韦恩图的实际应用 考点06 充分、必要条件及求参 考点07 量词命题的否定及参数范围问题 考点01 元素与集合的关系 1．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）下列关系中正确的个数为（   ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·高一·浙江·阶段检测）下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 5．（2026·高一·四川·期中）设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 7．（2026·高一·北京东城·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 8．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）设，，，，若，则（    ） A． B． C．1 D．6 考点02 已知集合关系求参 9．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·江西九江·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·北京·阶段检测）设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（     ） A．或 B．或或 C．或 D．或 12．（2026·高一·天津和平·阶段检测）设集合，. (1)若 ，求实数a的取值范围 (2)若，求实数a的取值范围 13．（2026·高一·河北·阶段检测）设集合，． (1)求集合； (2)若集合有且仅有两个子集，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 14．（2026·高一·黑龙江鸡西·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的取值集合； (2)若中有3个整数，求实数的取值集合； 15．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 16．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 考点03 集合综合计算 17．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）设有限集所含元素的个数用表示，并规定．已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 18．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）《礼记·中庸》中写道：“辟如天地之无不持载，无不覆帱．辟如四时之错行，如日月之代明．”若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成覆帱；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称这两个集合构成错行．已知，是集合的两个非空子集，则所有构成错行的集合对的个数为（   ） A．3 B．6 C．4 D．8 19．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（     ） A．45 B．49 C．53 D．62 20．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 21．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 22．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知，集合，． (1)若，求，； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 23．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）已知集合，，中至少有3个元素，若对，都有或，则称集合是“开放”集合． (1)判断集合和是否是“开放”集合； (2)若集合是“开放”集合，且集合中的元素有5个，，写出满足条件的集合；（写出一个即可，不用写过程） (3)若集合是“开放”集合，求的值． 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 24．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 25．（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 26．（2026·高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 27．已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 28．（2026·高一·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 29．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 30．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 31．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 考点05 韦恩图的实际应用 32．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）某校“十一运动会”上，共有12名男同学参加100米、400米、跳远三个比赛项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“跳远比赛”，“100米比赛和400米比赛”都参加的有4人，“100米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，“400米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有1人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加跳远比赛的有2人 33．（2026·高一·福建三明·阶段检测）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 34．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）学校举办了一次趣味运动会，某班共有30位同学积极参加．每位同学可以根据自己的兴趣选择至少一个项目，一共有3个比赛项目，分别为“同舟共济”，“齐心协力”，“旱地龙舟”．已知参加这三个项目的人数分别为14，20，16．同时参加“同舟共济”和“齐心协力”共有10人，同时参加“同舟共济”和“旱地龙舟”共有8人，三个项目都参加共有6人．则同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有（    ） A．8人 B．6人 C．4人 D．2人 35．（2026·高一·新疆喀什·阶段检测）高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团.已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人.利用韦恩图分析，则三项社团全都参加的人数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 36．（2026·高三·河南·阶段检测）为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 37．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 38．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 39．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 考点06 充分、必要条件及求参 40．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）“集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 41．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）设都是实数，则“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 44．已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 45．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知全集，集合或，，. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 46．（2026·高一·上海静安·阶段检测）已知集合，集合（）． (1)若，求； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 47．（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 考点07 量词命题的否定及参数范围问题 48．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 49．（2026·高一·山东滨州·阶段检测）若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 50．（2026·高一·河北承德·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 51．（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的实数根；命题． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若中一真一假，求实数的取值范围． 52．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知命题：，，命题：，恒成立． (1)若是假命题，求实数的取值范围； (2)若和至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 53．已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 54．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语（七大题型） 考点01 元素与集合的关系 考点02 已知集合关系求参 考点03 集合综合计算 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 考点05 韦恩图的实际应用 考点06 充分、必要条件及求参 考点07 量词命题的否定及参数范围问题 考点01 元素与集合的关系 1．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得， 若，令，，则，， 令，，不存在，即，矛盾，所以，A错误； 对于B，因为，根据性质②，得，进而，，…，，，B错误； 对于C，因为，，所以，因为，，所以，C正确； 对于D，若，，则，D错误． 2．（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）下列关系中正确的个数为（   ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②正确； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 所以正确的个数为2个. 3．（2026·高一·浙江·阶段检测）下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，为无理数，不是整数，A错误；B选项，不是自然数，B错误； C选项，表示无理数集合，显然是无理数，C正确；D选项，为整数，D错误. 4．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解析】因为集合，且， 所以当时，，此时， 集合中的元素出现重复，故舍去； 当时，，解得（舍去）或． 若，则，符合题意．综上所述，. 5．（2026·高一·四川·期中）设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项， 且 ，所以，A选项错误； B选项， ，所以，B选项错误； C选项， ，所以 ，C选项错误； D选项， 且 不成立，所以，D选项正确. 6．（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意，是集合的元素，则或， 得 或. 当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 7．（2026·高一·北京东城·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．2 【答案】A 【解析】对于，由题意得， 若，则，解得，此时， 而，可得或， 当时，不符合互异性，排除， 当，解得（舍去）或，此时，符合题意， 得到. 8．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）设，，，，若，则（    ） A． B． C．1 D．6 【答案】B 【解析】由于，当时，，此时，违反元素的互异性，不符合题意， 当时，或，显然结合以上解析不符合题意， 当时，，，要满足，只需， 故. 考点02 已知集合关系求参 9．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，由，， 当时，若， 则，， 综上，的取值范围为. 10．（2026·高一·江西九江·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，解得， 当时，则，解得， 所以. 11．（2026·高一·北京·阶段检测）设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（     ） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】由，都有成立，得， 当时，解得或， 若，则，，符合题意； 若，则，，符合题意； 当时，解得，此时，显然不满足集合元素的互异性， 综上，的取值为或． 12．（2026·高一·天津和平·阶段检测）设集合，. (1)若 ，求实数a的取值范围 (2)若，求实数a的取值范围 【解析】（1），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. （2）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得，将代入方程得，解得， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. 13．（2026·高一·河北·阶段检测）设集合，． (1)求集合； (2)若集合有且仅有两个子集，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，解得或， 所以．     （2）因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以．   （3）由（1）知，， 因为，所以集合可以是，，，．     当时，即方程无实数根， 则，解得；    当时，即方程有且只有一个根， ，解得；    当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解；    当时，方程有和两根， 则，解得，     综上所述，实数的取值范围是或． 14．（2026·高一·黑龙江鸡西·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数的取值集合； (2)若中有3个整数，求实数的取值集合； 【解析】（1）分情况讨论：和， ①当时，， 空集是任意集合的子集，满足， ②当时，则， 若，，该不等式组无解， 综上，实数的取值集合为. （2）若中有3个整数，则，解得， 所以， 情况一：中整数为，，， 此时， 情况二：中整数为，，， ，解得：，即， 情况三：中整数为，，， ，解得：，即， 综上，实数的取值集合为. 15．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 【解析】（1）当时，. （2）由，则，即， 此时， 因为，所以，解得， 则实数的取值范围为. （3）由，可知，且，即， 此时，则且，所以， 则. 16．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【解析】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 考点03 集合综合计算 17．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）设有限集所含元素的个数用表示，并规定．已知集合，满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意可知集合，是非空集合， ①当中1个元素时，中2个元素，则，，此时，共种； ②当中2个元素是，中1个元素，则，， 所以，共1种； ③当中三个元素时，中0个元素，则，不符合题意， 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为. 18．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）《礼记·中庸》中写道：“辟如天地之无不持载，无不覆帱．辟如四时之错行，如日月之代明．”若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成覆帱；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称这两个集合构成错行．已知，是集合的两个非空子集，则所有构成错行的集合对的个数为（   ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题意得， 根据题意可得，且互不为对方的子集，则共有以下6种情况． 19．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（     ） A．45 B．49 C．53 D．62 【答案】A 【解析】设，故， 所以，故该不等式组表示的平面区域为以为中心的正方形区域， 当取遍中的每一个点时， 即为如图所示的线段所围成的平面区域内或边界上的整点的集合， 所以集合中共（个）． 20．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，若，则， 又， 则集合是集合的非空子集， 且元素和，和，和必须同时出现， 故可把元素和，和，和看成一个元素， 则集合可看成有个元素， 所以集合的个数为. 21．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【解析】（1）由，得，则，因此 所以A中还有两个元素为，. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 而方程，即无实根，同理方程及无实根， 即互不相等，则集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 若集合的元素个数为，则所有元素的积为，不存在实数的平方为， 所有集合的元素个数不为， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由， 解得或或， 所以. 22．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知，集合，． (1)若，求，； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）当时，集合，集合， 则， ． （2）或 理由如下：因为，所以． 当时，集合，集合，不满足元素的互异性，舍去； 当时，集合，集合， 因为，所以， 所以或，解得或或（舍去）． 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，满足，符合题意． 综上，实数的值为或． 23．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）已知集合，，中至少有3个元素，若对，都有或，则称集合是“开放”集合． (1)判断集合和是否是“开放”集合； (2)若集合是“开放”集合，且集合中的元素有5个，，写出满足条件的集合；（写出一个即可，不用写过程） (3)若集合是“开放”集合，求的值． 【解析】（1）因为，，所以不是“开放”集合； 集合中任意两个元素，它们的和或者差至少一个在集合内，所以是“开放”集合 （2）满足题意，或 （3）因为集合是“开放”集合，则，至少一个成立． 若，取，，且，不符合开放集合定义，舍去； 所以只能，则，此时，讨论： 若时，，此时，满足题意，； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，无解； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，，元素重复，不合题意； 若时，，此时不是“开放”集合； 所以，为， 所以． 考点04 根据交并补混合运算确定集合或参数 24．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【解析】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 25．（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 26．（2026·高二·全国·学业考试模拟）设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 27．已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【解析】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 28．（2026·高一·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由集合，或， 可得或，则或. （2）由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 29．（2026·高一·辽宁·阶段检测）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【解析】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 30．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 31．（2026·高一·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【解析】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 考点05 韦恩图的实际应用 32．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）某校“十一运动会”上，共有12名男同学参加100米、400米、跳远三个比赛项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“跳远比赛”，“100米比赛和400米比赛”都参加的有4人，“100米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，“400米比赛和跳远比赛”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有1人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加跳远比赛的有2人 【答案】B 【解析】参加比赛人数的关系如下图所示，设三项均参加的人数为，仅参加400m的人数为，仅参加100m的人数为，仅参加跳远的人数为. 则，解得.故A错误. ,解得，故C错误 ，解得，故B正确 ，解得，故D错误. 33．（2026·高一·福建三明·阶段检测）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 34．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）学校举办了一次趣味运动会，某班共有30位同学积极参加．每位同学可以根据自己的兴趣选择至少一个项目，一共有3个比赛项目，分别为“同舟共济”，“齐心协力”，“旱地龙舟”．已知参加这三个项目的人数分别为14，20，16．同时参加“同舟共济”和“齐心协力”共有10人，同时参加“同舟共济”和“旱地龙舟”共有8人，三个项目都参加共有6人．则同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有（    ） A．8人 B．6人 C．4人 D．2人 【答案】A 【解析】设同时参加“齐心协力”和“旱地龙舟”共有人，图如图所示： 则，解得. 35．（2026·高一·新疆喀什·阶段检测）高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团.已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人.利用韦恩图分析，则三项社团全都参加的人数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】用韦恩图表示各部分人数：设三项都参加人数为， 则只参加漫画与围棋人数为，只参加漫画与航模人数为， 只参加围棋与航模人数为， 所以只参加漫画人数为， 只参加围棋人数为， 只参加航模人数为， 又因为三项都没参加人数为人，总人数为 ， 所以， 化简得：. 36．（2026·高三·河南·阶段检测）为提升学生的综合素养，某校开展了“阅读”“科创”“志愿服务”三大素养提升活动．高一某班学生中选择阅读的有26名，选择科创的有21名，选择志愿服务的有19名，同时选择阅读和科创的有6名，同时选择阅读和志愿服务的有4名，同时选择科创和志愿服务的有3名，三类都选择的有2名．若该班每人至少选择了一类活动，则该班的总人数是（    ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】D 【解析】设集合{选择阅读的学生}，集合{选择科创的学生}，集合{选择志愿服务的学生}， 则，，， ，，，， ， 所以该班的总人数是55. 37．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】C 【解析】记“参加100米比赛同学”，“参加400米比赛同学”，“参加1500米比赛同学”， 不妨用表示集合的元素个数，则由集合的容斥原理： 设三个项目都参加的人数为，即, 由题意， ，解得，即三项都参加的有人，正确； 计算只参加各项目人数： 只参加100米比赛人数：，错误； 只参加400米比赛人数：，错误； 只参加1500米比赛人数：，错误. 38．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛．参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人．则高一年级参加比赛的同学有（     ） A．110人 B．108人 C．106人 D．104人 【答案】C 【解析】 高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛． 参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛； 同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人． 作出韦恩图可得高一年级参加比赛的同学有人. 39．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）某班共有女生30人，班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则三种都不喜欢的人数为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法， 同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人， 同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人， 则该班女生对唱歌、跳舞、书法至少喜欢一种的人数为， 所以三种都不喜欢的人数为. 考点06 充分、必要条件及求参 40．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）“集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若一个集合的元素个数为，则它的真子集个数为. 因为集合恰有个真子集，所以集合中只有个元素， 因为，，则有当，时，；当，时，；当，时，， 则的取值范围为． 充分不必要条件要求选项对应的的范围应该是集合的真子集. 选项，：与集合相等，为充要条件，错误； 选项，：是集合的真子集，为充分不必要条件，正确； 选项，：包含集合，为必要不充分条件，错误； 选项，：与集合相交，互相不包含，为既不充分也不必要条件，错误. 41．（2026·高一·云南曲靖·阶段检测）设都是实数，则“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为且，所以且， 所以“且”是“且”的充分条件； 当，，满足且，但不满足且， 所以“且”是“且”的不必要条件； 所以“且”是“且”的充分不必要条件. 42．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件. 43．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）下列命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】因此不是的充分条件，故A错误； 对于B，菱形的对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如对角线垂直但不平分的四边形）， 故“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件，不是充要条件，故B错误； 对于C，由解得或，故不能推出，因此不是的必要条件，故C错误； 对于D，若，则成立；若，例如，满足，但不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 44．已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【解析】（1）当时，即. （2）由题可得是的真子集， 当时，则； 当时，，则（等号不同时成立），解得 综上，实数的范围为． 45．（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）已知全集，集合或，，. (1)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）已知集合或，因此. 由“是的必要条件”，可得：若则必有，即. 集合， 则满足， 解得. （2）当，即，解得， 当,此时，要让中没有小于或大于的元素， 需满足：,解得，结合，得， 综上可得. 46．（2026·高一·上海静安·阶段检测）已知集合，集合（）． (1)若，求； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， ， 所以， （2）因为命题是命题的必要不充分条件， 所以，，所以是的真子集， 当时，，解得，符合题意； 当时，易知和不能同时成立， 则，解得， 综上，实数的取值范围为. 47．（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知集合、集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）集合，而， 若，故当时，，即； 当时，或，解得. 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为. （2）命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得； 当时，或，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 考点07 量词命题的否定及参数范围问题 48．（2026·高一·广东汕头·阶段检测）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】否定全称命题时，应将全称量词改为存在量词，并否定量词后的结论，变量的取值范围不变． 因为的否定为，所以原命题的否定为“，”． 49．（2026·高一·山东滨州·阶段检测）若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】命题，，则， 50．（2026·高一·河北承德·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”的否定为“，”. 51．（2026·高一·辽宁大连·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的实数根；命题． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若中一真一假，求实数的取值范围． 【解析】（1）若关于的方程有两个不相等的实数根，则，解得， 又为假命题，则为真命题，所以. （2）若真假，则，解得， 若假真，则，此时，所以实数的取值范围为. 52．（2026·高一·河北邯郸·阶段检测）已知命题：，，命题：，恒成立． (1)若是假命题，求实数的取值范围； (2)若和至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若是假命题，则“，”是真命题， 当时，，显然满足题意；   当时，则关于的一元二次方程无实数根， 所以，解得，   综上，实数的取值范围是． （2）由（1）知若是真命题，则或，   若是真命题，则，解得，     所以当和至少有一个是真命题时， 或或， 即实数的取值范围为或． 53．已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【解析】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. 54．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 【解析】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $