高一数学上学期期中模拟卷（人教B版必修第一册第一章～第三章，高效培优）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则“”是“”的（）． A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 4．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 5．函数的图象是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若正数，满足，则的最小值为（   ） A．7 B．14 C．28 D．56 8．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．命题“，则”为真命题 B．“”是“”的必要不充分条件 C．空集是任何集合的真子集 D．命题“若，则且”为真命题 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 11．已知函数的定义域为，，当时，，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的大小关系为______． 13．高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是______． 14．若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，集合或. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 16．（15分） 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 17．（15分） 已知二次函数，其中. (1)当时，求不等式的解集； (2)若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 18．（17分） 已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 19．（17分） 已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D A B C A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．. 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）当时，集合，或， 则或. 又因为，故.（6分） （2）因为集合或，所以，且. ①若，则，解得； ②若，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元；（6分） （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又，（12分） 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，， 不等式，即， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集为.（4分） （2）由题意得，对任意恒成立， 变形得在时恒成立， 设，， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，， 要使恒成立，只需， 所以实数的取值范围为.（9分） （3），即， 整理： ， ， ， 方程的两根为，，对应的二次函数开口向上， ①当时，不等式解集为或， ②当时，不等式为，解集为， ③当时，不等式解集为或， 综上： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）是定义在上的奇函数，，则， 又，则 ，，经验证此时为奇函数.（4分） （2）在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增.（10分） （3）在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）证明：由对任意的实数，满足， 令，则，所以.（4分） （2）①证明：任意，， 则 .（9分） ②由函数的图象在R上连续不断，得函数的图象在R上连续不断， 由①知，依题意，， 又，则，函数，， 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，. 综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 所以. 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】否定全称命题时，应将全称量词改为存在量词，并否定量词后的结论，变量的取值范围不变． 因为的否定为，所以原命题的否定为“，”． 3．已知，则“”是“”的（）． A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 【答案】A 【解析】由，得，解得：， 故“”等价于，而“”等价于， 为的真子集，所以“”能推出“”，但“”不能推出“”， 因此，“”是“”的充分非必要条件. 4．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由，得，解得或， 则不等式的解集为或. 5．函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故其图象为C中的图象. 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即. 7．若正数，满足，则的最小值为（   ） A．7 B．14 C．28 D．56 【答案】C 【解析】因为，，， 根据基本不等式：， 即，故，又，得， 当且仅当，即时，等号成立. 8．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以在上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ，即或， 则或， 解得或，所以解集为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．命题“，则”为真命题 B．“”是“”的必要不充分条件 C．空集是任何集合的真子集 D．命题“若，则且”为真命题 【答案】AD 【解析】选项A ：当时，代入等式计算得：，命题成立，该命题为真命题，A正确； 选项B ：解方程，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 选项C ：空集是任何非空集合的真子集，不是它自身的真子集，C错误； 选项D ：对任意实数，平方数具有非负性：，， 若，则且，该命题为真命题，D正确. 10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】ABD 【解析】由题可知，不等式的解集为，则，选项A正确； 又为方程的两个根，则由韦达定理可得， 所以，则，又，所以， 整理得，所以解集为，选项B正确； 由B知，，则，选项C错误； 由是方程的根，则，而成立，所以正确，选项D正确. 11．已知函数的定义域为，，当时，，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以，故B错误； 对于C，令，，可得，即， 设，则，可得， 则，即， 故函数在内单调递增，故C正确； 对于D，函数在内单调递增， 故当时，，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则的大小关系为______． 【答案】 【解析】易知， 则. 13．高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是______． 【答案】. 【解析】设两项都合格的人数为，则由题意得 ，解得， 即这两项成绩都合格的人数是． 故答案为：. 14．若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，取到最大值； 当时，取到最大值； 则，即，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，集合或. (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，或， 则或. 又因为，故. （2）因为集合或，所以，且. ①若，则，解得； ②若，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16．（15分） 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， ，又，故， 即的取值范围为. 17．（15分） 已知二次函数，其中. (1)当时，求不等式的解集； (2)若任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）当时，， 不等式，即， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得，对任意恒成立， 变形得在时恒成立， 设，， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，， 要使恒成立，只需， 所以实数的取值范围为. （3），即， 整理： ， ， ， 方程的两根为，，对应的二次函数开口向上， ①当时，不等式解集为或， ②当时，不等式为，解集为， ③当时，不等式解集为或， 综上： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 18．（17分） 已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 【解析】（1）是定义在上的奇函数，，则， 又，则 ，，经验证此时为奇函数. （2）在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. 19．（17分） 已知函数的定义域为R，且对任意的实数，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 【解析】（1）证明：由对任意的实数，满足， 令，则，所以. （2）①证明：任意，， 则 . ②由函数的图象在R上连续不断，得函数的图象在R上连续不断， 由①知，依题意，， 又，则，函数，， 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，. 综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $