3.2平面直角坐标系（分层作业，20大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 3.2 平面直角坐标系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直角坐标系中点的坐标 题型02 判断点所在象限 题型03 坐标系描点 题型04 求点到坐标轴的距离 题型05 坐标轴（平行坐标轴的直线）上的点的坐标特征 题型06 建立平面直角坐标系表示坐标 题型07 实际问题中的坐标模型 B组 能力进阶 题型01 已知点所在象限求参数 题型02 已知两点坐标求两点距离 题型03 中点坐标问题 题型04 求平移前或平移后的点的坐标 题型05 图形与坐标——图形的面积 题型06 根据两点间的距离分类讨论点的坐标 题型07 坐标与图形——构造全等解决问题 C组 思维拔高 题型01 坐标系点的规律探究 题型02 坐标与图形——点的存在性问题 题型03 根据图形规律求坐标 题型04 图形与坐标——动点问题 题型05 新定义坐标关系 题型06 图形与坐标（综合性强） 直角坐标系中点的坐标题型01 1．下面四个图形是平面直角坐标系的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（-1，2） D．（1，-2） 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．坐标轴上的点可以用一个实数表示 B．坐标平面内的点和表示同一个点 C．坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定 D．纵坐标为a，横坐标为b的点的坐标可表示成 5．在如图所示的平面直角坐标系中，写出点A，B，C，D，E，F，O的坐标． 判断点所在象限题型02 1．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）下列坐标在第四象限的是 （   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是2，到轴的距离是3，且在第三象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则_______．（填“”“”或“”） 5．已知点在平面直角坐标系第一象限的角平分线上，求的值． 坐标系描点题型03 1．在平面直角坐标系中，依次描出下列各点，并将各组内的点依次连接起来：   (1)(2，1)，(2，0)，(3，0)，(3，4)；   (2)(3，6)，(0，4)，(6，4)，(3，6). 你发现所得的图形是(    ) A．两个三角形 B．房子 C．雨伞 D．电灯 2．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 3．描出下面各点连成封闭图形． ，， 4．（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 5．如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 求点到坐标轴的距离题型04 1．点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为____________． 4．若P（﹣4，3），则点P到x轴的距离是_____． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上． (1)作出关于轴对称的（点A，B，C的对称点分别是）． (2)点的坐标为_____；点到轴的距离为_____；点到轴的距离为_____； (3)的周长为_____． 坐标轴（平行坐标轴的直线）上的点的坐标特征题型05 1．已知点在轴上，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·新疆·期中）已知平面直角坐标系内一点，若点在轴上，则的值为（        ） A．2 B． C．10 D． 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若点在轴上，则的值为______． 4．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，求点的坐标． 5．【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 建立平面直角坐标系表示坐标题型06 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，将“数”“形”“结”“合”四个字写在正方形网格纸中，若建立平面直角坐标系，使“数”“合”的坐标分别是、，则“形”所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·河南·月考）如图，长方形的两条边的长分别为4，6，建立直角坐标系，若使其中三个顶点在坐标轴上，且点C的坐标为，则点B的坐标为______． 3．同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，画出平面直角坐标系，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在图中什么位置就获得胜利了？ 4．下图是北京冬奥会三个比赛场馆位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中首都体育馆的坐标为（0，－2），国家速滑馆的坐标为（6，7）． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出冰立方的坐标：______________； (2)若五棵松体育中心的坐标为（－4，－6），请在坐标系中用点表示它的位置． 5．图中标明了小英家附近的一些地方，已知游乐场的坐标为(3，2)． (1)在图中建立平面直角坐标系，并写出汽车站和消防站的坐标； (2)某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿(3，2)，(3，－1)，(1，－1)，(－1，－2)，(－3，－1)的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方． 实际问题中的坐标模型题型07 1．某地的平面示意图如图所示，如果医院所在位置的坐标为，汽车站所在位置的坐标为，则所在的位置是（    ） A．公园 B．学校 C．宠物店 D．水果店 2．（25-26七年级下·河南商丘·期末）数学之美无处不在．如图，这是杨桃的横截面图，形状是“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ________． 3．（25-26七年级·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点______． 4．（25-26七年级·吉林四平·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图（如图），并告知大学城的坐标是，河南博物院的坐标是．他们相约在二七纪念塔会合，在这张简图上二七纪念塔的坐标为________． 5．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，火车站的坐标为，写出文化宫、体育馆、市场、超市的坐标． 已知点所在象限求参数题型01 1．已知点在第四象限，则的取值范围是________． 2．若点在第二象限，则的取值范围是________. 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为___________． 4．在平面直角坐标系中，已知两点，若轴，点在第一象限，求的值，并确定的取值范围． 5．已知点到轴的距离与到轴的距离相等，且位于第二象限，求代数式的值的平方根． 已知两点坐标求两点距离题型02 1．下列各点中，与点距离最近的是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26八年级·上海·期中）点和点之间的距离是______． 3．点P（﹣5，12）到原点的距离是_____． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点是轴上一点，且点到、两点距离相等，求点的坐标． 5．（25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 中点坐标问题题型03 1．（2025·广东佛山·一模）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·月考）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为_______． 3．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，连接BF，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为________． 4．已知长方形的长为2，宽为1．以所在的直线为x轴，的中点为原点，建立直角坐标系，如图．求长方形各个顶点的坐标． 5．如图，A，B，C，D四个点将数轴上与4两点间的线段五等分． (1)点A表示的数是___________，其相反数是___________，绝对值是___________，倒数是___________； (2)这四个等分点中，原点是点___________，表示的数互为相反数的是点___________和点___________； (3)线段的中点表示的数是___________； (4)若点E也在该数轴上，且，则点E表示的数是___________． 求平移前或平移后的点的坐标题型04 1．如图为一坐标平面，若从平面上的点出发，向下移动再向左移动，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 2．将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为______． 3．三角形的三个顶点的坐标分别为．若将三角形平移，使点A平移到点处，写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点B和点C的对应点的坐标． 4．如图，四边形各顶点的坐标分别为，将四边形先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形． （1）四边形与四边形对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点的坐标； （2）如果将四边形看成是由四边形经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 5．（24-25七年级下·广东韶关·月考）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 图形与坐标——图形的面积题型05 1．（25-26七年级·云南曲靖·月考）已知点，，，则三角形的面积为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 2．（25-26七年级·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，则三角形的面积为__________． 3．如图，描出，，，四个点，连接，，，．求所连线段围成图形的面积．    4．（25-26八年级·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，若学校的坐标为，图书馆的坐标为，解答以下问题： (1)在图中标出直角坐标系． (2)若体育馆的坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置． (3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到 求 的面积． 5．如图1，A（，0），B（0，）分别是轴和轴上的点，BD∥OA． （1）若、满足，点C的坐标为（3，2），求点A、B的坐标和四边形OACB的面积； （2）如图2，已知BE平分∠DBC，AE平分∠CAF，BG平分∠DBE，AG平分∠EAF．请猜想∠BCA与∠G 的数量关系，并说明理由． 根据两点间的距离分类讨论点的坐标题型06 1．（24-25八年级上·广西贺州·期中）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4，那么点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知点M坐标为，且M点到两坐标轴的距离相等，则a的值为____________． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点坐标满足． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，将线段平移至处（A点对应C点），使点C在坐标轴上，且点D到x轴的距离与点D到y轴的距离相等，求C点坐标； (3)如图二，在y轴正半轴上找一点C，使得，将线段平移至，点A和点C对应，点是第二象限内一点，且在直线之间，，求m，n的数量关系式． 4．已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 坐标与图形——构造全等解决问题题型07 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·联考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在轴和轴正半轴上，，则等于（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，若，则______． 4．在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图在平面直角坐标系中点，点 (1)若满足，，直接写出的面积为_____； (2)如图1，若上一点满足，且．求证； (3)如图2，若上一点满足．且，，求的值． 坐标系点的规律探究题型01 1．（24-25七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，嘉琪玩走棋游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位；第2步继续向右走2个单位；第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位……．随后，以每3步为一组的规律不断重复．当走完92步时，棋子所处位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，，，，…，用你发现的规律确定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”，已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次下去得到，，…，．若点的坐标为，则点在第一、第三象限角平分线上的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为_________． 5．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点进行如下规则的操作：横坐标乘以再减1，纵坐标加1，得到点．第一次操作得到的点记为，对点坐标继续进行一次相同规则的操作，得到的点记为，对点再进行相同操作得到的点记为，…，以此类推，第n次操作得到的点记为．现有点，对进行2026次这样的操作后得到的点的坐标为______． 坐标与图形——点的存在性问题题型02 1．平面直角坐标系中，每个小网格是长度为1个单位的小正方形，已知点，点． 完成下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)在图中画出关于x轴的对称图形； (3)在x轴上存在一点P，使得的值最小，请在图中画出点P（不必写过程，但要保留作图痕迹）． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得（△表示三角形）面积等于1（即），则称点M为线段PQ的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为． (1)在点，，中，线段OP的“单位面积点”是______； (2)已知点，，将线段OP沿y轴方向向上平移个单位长度，使得线段DE上存在线段OP的“单位面积点”，求t的取值范围； (3)已知点，点M在第一象限且M的纵坐标是3，点M，N是线段PF的两个“单位面积点”，若，且，直接写出点N的坐标． 4．如图1，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段AB水平向右平移7个单位长度到DC，连接AD，BC，得到四边形ABCD．已知a和b满足． (1)则点C的坐标为______，则点D的坐标为______，_______； (2)在y轴上是否存在一点P，使？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，E为x轴上一点，若DE平分，且于E，，请直接写出与的数量关系． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为． (1)将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为．则点的坐标为 ； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积． (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 根据图形规律求坐标题型03 1．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东茂名高州·月考）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为___________． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，…按此规律，则点的坐标是________． 4．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； (2)写出点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 5．综合与实践： 问题背景： （1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 图形与坐标——动点问题题型04 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度，则第秒时，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，经过点A的直线轴，点C是直线L上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为_______． 3．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． (1)点B的坐标为__________； (2)当P点移动了4秒时，点P的坐标为多少？ (3)在移动过程中，当点P到轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为多少？ 4．（24-25七年级下·江西·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．    (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，使的面积是面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 新定义坐标关系题型05 1．如果点的坐标满足，那么称点P为“平等点”．若第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3，则点P的坐标为__________ 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点为“新奇点”．若点是“新奇点”，则点在第________象限． 3．（24-25八年级下·吉林长春·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“美点”． 例如：点，互为“美点”；点，互为“美点”，已知点 (1)在点，，中，点P的“美点”是___________ (2)若点与点P互为“美点”，求m的值 (3)若点与点P互为“美点”，求n的值． 5．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 图形与坐标（综合性强）题型06 1．在方格图中画出、、、四个点，顺次连接A、B、C、D，再以线段所在的直线为对称轴，画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形． 2．（25-26八年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．画出关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出点的坐标． 3．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）小明设计了一款程序，可以用程序命令绘制出对应的图形及变换后的图形．如图①，是一个正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动． (1)请在图①中画出程序生成的三角形及经过变换后的三角形； (2)小明想用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，，请写出需要输入的点A，B，C的坐标． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 平面直角坐标系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直角坐标系中点的坐标 题型02 判断点所在象限 题型03 坐标系描点 题型04 求点到坐标轴的距离 题型05 坐标轴（平行坐标轴的直线）上的点的坐标特征 题型06 建立平面直角坐标系表示坐标 题型07 实际问题中的坐标模型 B组 能力进阶 题型01 已知点所在象限求参数 题型02 已知两点坐标求两点距离 题型03 中点坐标问题 题型04 求平移前或平移后的点的坐标 题型05 图形与坐标——图形的面积 题型06 根据两点间的距离分类讨论点的坐标 题型07 坐标与图形——构造全等解决问题 C组 思维拔高 题型01 坐标系点的规律探究 题型02 坐标与图形——点的存在性问题 题型03 根据图形规律求坐标 题型04 图形与坐标——动点问题 题型05 新定义坐标关系 题型06 图形与坐标（综合性强） 直角坐标系中点的坐标题型01 1．下面四个图形是平面直角坐标系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的定义，解题的关键是熟练掌握“在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系”． 【详解】解：A．没有正方向，故A错误； B．两条坐标轴不互相垂直，故B错误； C．x轴和y轴的负半轴上单位刻度标错，故C错误； D．符合平面直角坐标系的定义，故D正确． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标是（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（-1，2） D．（1，-2） 【答案】A 【详解】过点E向x轴画垂线，垂足在x轴上对应的实数是1，因此点E的横坐标为1；同理，过点E向y轴画垂线，点E的纵坐标为2．所以点E的坐标为（1，2）， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点Q的坐标为， 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．坐标轴上的点可以用一个实数表示 B．坐标平面内的点和表示同一个点 C．坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定 D．纵坐标为a，横坐标为b的点的坐标可表示成 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示方法．根据平面直角坐标系中点的坐标表示方法逐一判断其正确性，即可． 【详解】解：选项A：坐标轴上的点（如x轴或y轴）需用形如或的坐标表示，包含两个实数，而非仅一个实数，故A错误． 选项B：点与仅在时表示同一位置，否则位置不同（如与），故B错误． 选项C：根据平面直角坐标系的定义，每个点由唯一的有序实数对确定，且每个有序实数对对应唯一的点，故C正确． 选项D：坐标的规范写法为“横坐标在前，纵坐标在后”，即横坐标为、纵坐标为时应写作，而非，故D错误． 故选：C． 5．在如图所示的平面直角坐标系中，写出点A，B，C，D，E，F，O的坐标． 【答案】，，，，，， 【分析】此题考查了点的坐标，根据点在坐标系中的位置写出点的坐标即可． 【详解】解：由题意可得，，，，，，，． 判断点所在象限题型02 1．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限， 故选：B ． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）下列坐标在第四象限的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案． 【详解】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负， 只有选项D符合条件， 故选：D． 3．（25-26七年级上·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是2，到轴的距离是3，且在第三象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，已知点所在的象限求参数．根据点到坐标轴的距离等于坐标的绝对值，以及第三象限内点的横纵坐标均为负，求解点M的坐标，即可作答． 【详解】解：∵点M到x轴的距离为2， ∴， ∵点M到y轴的距离为3， ∴， 又∵点M在第三象限， ∴， ∴点M的坐标为， 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，点在第三象限，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：点在第三象限， ，， ． 5．已知点在平面直角坐标系第一象限的角平分线上，求的值． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，点到坐标轴的距离，勾股定理等知识．掌握象限角平分线上点的坐标特征是解题的关键． 根据限角平分线上点的坐标特征得出，从而求得a值，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，点A在第一象限的角平分线上， ， 点 ． 坐标系描点题型03 1．在平面直角坐标系中，依次描出下列各点，并将各组内的点依次连接起来：   (1)(2，1)，(2，0)，(3，0)，(3，4)；   (2)(3，6)，(0，4)，(6，4)，(3，6). 你发现所得的图形是(    ) A．两个三角形 B．房子 C．雨伞 D．电灯 【答案】C 【详解】根据题意，依次描点画线，得到如下的图形，故选C． 2．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，，则描错的点的个数是________． 【答案】1 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义． 对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，据此解答即可． 【详解】解：由图可知：点的坐标为，，，， 根据题意可得描错的点是． 故答案为：． 3．描出下面各点连成封闭图形． ，， 【答案】 根据数对表示位置的方法在平面图中标出各点的位置，并顺次连接起来得出直角三角形如下图所示： 【分析】本题考查了数对与位置问题的相关知识，用数对表示位置时，第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；由此即可标出图中各个点的位置；将各点连线成封闭图形． 【详解】略 4．（1）如图，写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； （2）在平面直角坐标系内描出点，，，． 【答案】（1）所求各点的坐标为； （2）A，B，C，D各点的位置如图所示． 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的位置，写出点的坐标即可； （2）根据点的坐标，在坐标系中描点即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，杭州亚运会数字火炬手和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 【答案】(1) ，；，0；； (2)10； (3) 如图所示，点为火炬手汪顺的位置． 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解标记的两个数的实际意义是解题的关键． （1）根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可； （2）根据运动路线列式计算即可得解； （3）在图中依次表示出各位置，然后确定出点的位置即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：，，； （2）解：若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为． （3）略 求点到坐标轴的距离题型04 1．点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得的纵坐标绝对值即可求得点到轴的距离． 此题主要考查点的坐标；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值． 【详解】解：， 点到轴的距离是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 故选:D． 3．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为____________． 【答案】3 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握“到轴的距离为，到轴的距离为．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 点到轴的距离为， 故答案为：． 4．若P（﹣4，3），则点P到x轴的距离是_____． 【答案】3． 【分析】坐标系中，根据点到x轴的距离，即为该点的纵坐标的绝对值，解答出即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值， ∴点P（﹣4，3）到x轴的距离是|3|＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了坐标点到x轴的距离问题，掌握点到x轴的距离即为该点的纵坐标的绝对值是解题的关键． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上． (1)作出关于轴对称的（点A，B，C的对称点分别是）． (2)点的坐标为_____；点到轴的距离为_____；点到轴的距离为_____； (3)的周长为_____． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2)，2，4 (3) 【分析】本题考查了作图中轴对称变换，勾股定理，理解几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的是解题的关键； （1）根据关于轴对称的点坐标的特征得到，，然后顺次连接，即可求解； （2）根据，，的坐标，写出，到坐标轴的距离，即可求解； （3）利用勾股定理求出三角形三边的边长再相加即可． 【详解】（1）解：根据关于轴对称的点坐标的特征得到，，然后顺次连接； （2）解：由图可知：， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， 故答案为：，，； （3）解：； 故答案为：． 坐标轴（平行坐标轴的直线）上的点的坐标特征题型05 1．已知点在轴上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用x轴上点的纵坐标为0的性质，列方程求解的值即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴，解得． 2．（25-26七年级·新疆·期中）已知平面直角坐标系内一点，若点在轴上，则的值为（        ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中轴上点的坐标特征，轴上所有点的横坐标为，据此列一元一次方程即可求解的值． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的横坐标为 ∴ 移项得 解得 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若点在轴上，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴． 4．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】根据点在轴上纵坐标为0得出m的值，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 【答案】（1）①，②；（2）①，②；（3）①，② 【分析】本题考查了三角形的综合运算，新定义，解决最值问题，数形结合是解答关键． （1）①由线段长度的定义求解；②根据线段的长度的定义求解； （2）连接延长交轴于点，则此时的值最大，根据线段的长度的定义求解；②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小，根据线段的长度的定义求解； （3）①求代数式的最小值，相当于图2，点，点，点，则点，即可求解；②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点，即可求解． 【详解】解：（1）①线段； ②由题意得，线段． 故答案为：①，②； （2）①如图1，连接 延长交轴于点，则此时的值最大， 故的值最大； ②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， ． 故答案为：①，②； （3）①求代数式的最小值， 相当于图2，点，点，点，则点， 参照图2可知的最小值， 则的最小值为； ②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点， 则代数式的最大值为：． 故答案为：①，②． 建立平面直角坐标系表示坐标题型06 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，将“数”“形”“结”“合”四个字写在正方形网格纸中，若建立平面直角坐标系，使“数”“合”的坐标分别是、，则“形”所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：坐标系如图所示：则“形”所在的象限为第四象限． 2．（24-25八年级上·河南·月考）如图，长方形的两条边的长分别为4，6，建立直角坐标系，若使其中三个顶点在坐标轴上，且点C的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查根据坐标画直角坐标系，然后根据坐标系就能得出相应的坐标． 【详解】解：根据坐标，长方形的两条边长分别为4、6 ， 作图如下： ∴点坐标为． 故答案为： 3．同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②的位置是，画出平面直角坐标系，现轮到黑棋走，你认为黑棋放在图中什么位置就获得胜利了？ 【答案】 根据题意，建立直角坐标系，坐标原点如图所示： 则黑棋放在或的位置就获得胜利了． 【分析】根据①②两棋的位置可确定坐标轴的位置，根据比赛规则，黑棋只要在虚圆处就是胜利了；根据所建立的坐标系即可确定两个虚圆的坐标． 【详解】略 【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． 4．下图是北京冬奥会三个比赛场馆位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，其中首都体育馆的坐标为（0，－2），国家速滑馆的坐标为（6，7）． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并写出冰立方的坐标：______________； (2)若五棵松体育中心的坐标为（－4，－6），请在坐标系中用点表示它的位置． 【答案】(1) 画出平面直角坐标系如下： (2) 在坐标系中用点表示五棵松体育中心的位置如下： 【分析】（1）先根据首都体育馆的坐标和国家速滑馆的坐标画出平面直角坐标系，再根据冰立方的位置确定坐标即可； （2）在平面直角坐标系中，根据五棵松体育中心的坐标，将其描出来即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了画平面直角坐标系、坐标系中描点，熟练掌握平面直角坐标系的画法是解题关键． 5．图中标明了小英家附近的一些地方，已知游乐场的坐标为(3，2)． (1)在图中建立平面直角坐标系，并写出汽车站和消防站的坐标； (2)某星期日早晨，小英同学从家里出发，沿(3，2)，(3，－1)，(1，－1)，(－1，－2)，(－3，－1)的路线转了一下，又回到家里，写出路上她经过的地方． 【答案】（1）根据点的坐标，可得点表示的地方，可得路线图． 汽车站的坐标为(1，1)，消防站的坐标为(2，－2)； （2）家→游乐场→公园→姥姥家→宠物店→邮局→家 【详解】试题分析：（1）根据点的坐标规律：横前纵后，中逗，可得答案； （2）根据点的坐标，可得点表示的地方，可得路线图． 略 试题解析： 实际问题中的坐标模型题型07 1．某地的平面示意图如图所示，如果医院所在位置的坐标为，汽车站所在位置的坐标为，则所在的位置是（    ） A．公园 B．学校 C．宠物店 D．水果店 【答案】B 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据已有点的坐标，确定原点的位置，建立直角坐标系，再进行判断即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示的坐标系： 由图可知：所在的位置是学校， 故选B． 2．（25-26七年级下·河南商丘·期末）数学之美无处不在．如图，这是杨桃的横截面图，形状是“五角星”．将其放在平面直角坐标系中，若其横截面端点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ________． 【答案】 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系， 由图可知，点的坐标为. 3．（25-26七年级·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点______． 【答案】 【分析】根据“帅”位于点，“相”位于点，建立平面直角坐标系，再结合坐标系即可解答． 【详解】解：∵“帅”位于点，“相”位于点， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴“炮”位于点． 4．（25-26七年级·吉林四平·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图（如图），并告知大学城的坐标是，河南博物院的坐标是．他们相约在二七纪念塔会合，在这张简图上二七纪念塔的坐标为________． 【答案】 【分析】根据大学城坐标确定坐标原点，河南博物院的坐标验证坐标规律，观察二七纪念塔的位置写出坐标即可． 【详解】解：根据已知：大学城坐标，说明它的位置是，； 河南博物院坐标，说明它的位置是，， 由此可推出原点在大学城右1格、向下4格处，符合坐标规律， ∴二七纪念塔位于原点向右2格、向下2格处， ∴坐标为． 5．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图，在平面直角坐标系中，火车站的坐标为，写出文化宫、体育馆、市场、超市的坐标． 【答案】文化宫，体育馆，市场，超市 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．根据坐标系确定文化宫、体育馆、市场、超市的坐标即可． 【详解】解：根据题意可得：文化宫，体育馆，市场，超市． 已知点所在象限求参数题型01 1．已知点在第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征．由第四象限的点的特点，可得，解之可得的取值范围． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：， 故答案为：． 2．若点在第二象限，则的取值范围是________. 【答案】-1＜m＜2 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可． 【详解】∵点P（m-2，m+1）在第二象限， ∴， 解得-1＜m＜2． 故答案为-1＜m＜2． 【点睛】此题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为___________． 【答案】0 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行于轴的直线上点的横坐标相等．熟练掌握平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的特征是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的横坐标相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：直线轴， 点和点的横坐标相等， ， 解得， 故答案为：0． 4．在平面直角坐标系中，已知两点，若轴，点在第一象限，求的值，并确定的取值范围． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平面内点的坐标特点，根据在平面直角坐标系中与x轴平行的直线上的点，纵坐标相等，得出，求出；根据第一象限内点的坐标特点得出，求出． 【详解】解：∵轴， ， 解得：， 点在第一象限， ， 解得． 5．已知点到轴的距离与到轴的距离相等，且位于第二象限，求代数式的值的平方根． 【答案】 【分析】根据点到轴的距离与到轴的距离相等，且位于第二象限，得出，求出，再代入求出代数式的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵点到轴的距离与到轴的距离相等，且位于第二象限， ∴， 解得：， 把代入得： ， 1的平方根为， ∴代数式的值的平方根为． 已知两点坐标求两点距离题型02 1．下列各点中，与点距离最近的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，正确在坐标系中描出各点是解题的关键． 在坐标系中描出各点,根据垂线段最短和坐标系中各点位置即可比较距离，得出结论． 【详解】解：如图, 由图可知：与点距离最近的是距离是2， 故选：B. 2．（25-26八年级·上海·期中）点和点之间的距离是______． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，两点之间的距离公式为． 【详解】解：． 3．点P（﹣5，12）到原点的距离是_____． 【答案】13 【分析】直接根据勾股定理进行解答即可． 【详解】∵点P（-5，12）， ∴点P到原点的距离==13． 故答案为13． 【点睛】本题考查的是坐标与图形及勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点是轴上一点，且点到、两点距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中描点，两点间距离公式的应用，解题的关键是数形结合． （1）先描点，再依次连接即可； （2）作出边的垂直平分线与轴交点即为，求出点坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图： 由题意可得为的垂直平分线与轴的交点，设． ， ． 5．（25-26八年级上·山西运城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，点的坐标是描述位置的重要工具．我们可以通过坐标来探究两点之间的距离公式． 如图1，在平面直角坐标系中，已知，则两点之间的距离，下面是此公式的推导过程： 如图2，分别过点作轴、轴的平行线交于点，则． 所以． 由轴，轴，可得，所以（依据）． 所以． 任务： (1)材料中的“依据”是指___________． (2)①已知，求两点间的距离． ②已知平面内三点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)勾股定理 (2)①； ②是直角三角形，理由如下： 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以是直角三角形． 【分析】本题考查勾股定理运用、勾股定理的逆定理． （1）结合阅读材料即可得到答案 （2）①直接由材料中的公式，将坐标代入求解即可得到答案； ②直接由材料中的公式，将代入求解，得出的三边长度，结合勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据阅读材料做法，， 材料中的“依据”是指勾股定理， 故答案为：勾股定理； （2）解：①由题意，得两点间的距离． ②略 中点坐标问题题型03 1．（2025·广东佛山·一模）如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则图中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点的坐标为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·月考）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了线段中点的坐标计算，正确理解线段中点的坐标计算是解题的关键．利用线段中点的计算公式计算，即得答案． 【详解】解：是线段的中点， ， 解得， ． 故答案为：10． 3．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，连接BF，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为________． 【答案】 【详解】通过建立平面直角坐标系，利用坐标确定各点位置，再结合中点坐标公式和两点间距离公式来求解的长度． 解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系： 由坐标系可知： ，，，，，，． ∵为的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为： ． 再根据两点间距离公式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用、中点坐标公式和两点间距离公式，解题关键是通过建立坐标系将几何问题代数化，准确计算各点坐标并运用公式求解． 4．已知长方形的长为2，宽为1．以所在的直线为x轴，的中点为原点，建立直角坐标系，如图．求长方形各个顶点的坐标． 【答案】， 【分析】根据长方形的长为2，宽为1，为的中点，求出，即可得到各个顶点的坐标． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵长方形的宽为：1， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形．根据图形的位置，确定点的坐标，是解题的关键． 5．如图，A，B，C，D四个点将数轴上与4两点间的线段五等分． (1)点A表示的数是___________，其相反数是___________，绝对值是___________，倒数是___________； (2)这四个等分点中，原点是点___________，表示的数互为相反数的是点___________和点___________； (3)线段的中点表示的数是___________； (4)若点E也在该数轴上，且，则点E表示的数是___________． 【答案】(1)；4；4； (2)C；B；D (3) (4)或 【分析】（1）要解决点A的相关数，需先确定点A表示的数，再根据相反数、绝对值、倒数的定义计算． （2）要确定原点和互为相反数的点，需先明确各等分点表示的数，再根据原点和相反数的定义判断． （3）求线段的中点表示的数，需利用中点公式，所以要先确定表示的数． （4）已知，求点E表示的数，需考虑点E在点A左侧或右侧两种情况，根据数轴上两点间距离计算． 【详解】（1）首先计算与4两点间的距离：，将其五等分，每一份的长度为， ∴点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为；点D表示的数为， 点A表示的数是， 根据相反数的定义，的相反数是4， 根据绝对值的定义，， 根据倒数的定义，的倒数是． （2）∵点C表示的数是0， ∴原点是点C． 点B表示的数是，点D表示的数是和2互为相反数，所以表示的数互为相反数的是点和点． （3）点A表示，点B表示，根据中点公式，线段的中点表示的数为． （4）点A表示，， 当点E在点A左侧时，点E表示的数为； 当点E在点A右侧时，点E表示的数为． 故点表示的数为：或． 【点睛】本题考查了数轴的相关知识，包括线段等分、数的表示、相反数、绝对值、倒数、中点以及两点间距离等，掌握数轴上数的分布规律以及相关数学概念的定义是解题的关键． 求平移前或平移后的点的坐标题型04 1．如图为一坐标平面，若从平面上的点出发，向下移动再向左移动，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从平面上的点出发，向下移动再向左移动， 则移动后的点横坐标，纵坐标， 只有符合题意． 2．将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为______． 【答案】1 【解析】略 3．三角形的三个顶点的坐标分别为．若将三角形平移，使点A平移到点处，写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点B和点C的对应点的坐标． 【答案】平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度；点对应点的坐标，点对应点的坐标． 【分析】本题考查了平移的性质、图形与坐标等知识点．根据点A平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点B和点C的对应点的坐标． 【详解】解：由题可知平移后得到点； ∴平移方式是先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度； ∴点先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到； ∴点先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到． 4．如图，四边形各顶点的坐标分别为，将四边形先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形． （1）四边形与四边形对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出点的坐标； （2）如果将四边形看成是由四边形经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【答案】（1）四边形与四边形相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了3；；（2）平移方向是由A到的方向，平移距离是5个单位长度 【分析】（1）根据图形在坐标中的位置可直接读出，，，的坐标，然后与原坐标对比即可得出对应点之间的横坐标和纵坐标之间的关系； （2）连接平移前后的对应点，即可得出平移方向，然后利用勾股定理，即可得出平移距离． 【详解】解：（1）四边形与四边形相比，对应点的横坐标分别增加了4，纵坐标分别增加了3；； （2）如图，连接，由图可知，．因此，如果将四边形看成是由四边形经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到的方向，平移距离是5个单位长度． 【点睛】题目主要考查了平移变换，掌握平移变换的作图和性质是解题的关键． 5．（24-25七年级下·广东韶关·月考）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)C (3)①能，②能，需要走1352步． 【分析】本题考查新定义，平面内点的坐标，实数的运算；能够准确理解题意，找到马移动的向量规律，利用实数的运算进行求解是解题的关键． （1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【详解】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”坐标为； 故答案为：． （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 故答案为：能； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 如图马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）. 图形与坐标——图形的面积题型05 1．（25-26七年级·云南曲靖·月考）已知点，，，则三角形的面积为（    ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】观察三个点坐标可得B和C纵坐标相同，平行于x轴，可直接求出长度作为底，再求出A到的距离作为高，代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵点，，两点纵坐标相等， ∴轴，的长度为， ∴． 2．（25-26七年级·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，则三角形的面积为__________． 【答案】6 【分析】先求出的长度，再确定边上的高，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点，， ∴，且在轴上， 点到边的距离为边上的高，高为， ∴． 3．如图，描出，，，四个点，连接，，，．求所连线段围成图形的面积．    【答案】如图，为所求作，面积为．    【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平面直角坐标系描出各点，然后根据面积公式列式计算即可得解，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出四个点是解题的关键． 【详解】所连线段围成图形的面积为． 4．（25-26八年级·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，若学校的坐标为，图书馆的坐标为，解答以下问题： (1)在图中标出直角坐标系． (2)若体育馆的坐标为，请在坐标系中标出体育馆的位置． (3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到 求 的面积． 【答案】(1) 如图所示建立平面直角坐标系； (2) 体育馆的位置如图所示； (3)如图：即为所求作， 【分析】本题考查了用坐标表示地理位置，关键是建立符合题意的直角坐标系； （1）根据题中所给点的坐标确定原点的位置建立直角坐标系； （2）根据坐标标出位置即可； （3）利用矩形的面积减去三个三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： ． 5．如图1，A（，0），B（0，）分别是轴和轴上的点，BD∥OA． （1）若、满足，点C的坐标为（3，2），求点A、B的坐标和四边形OACB的面积； （2）如图2，已知BE平分∠DBC，AE平分∠CAF，BG平分∠DBE，AG平分∠EAF．请猜想∠BCA与∠G 的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，； （2）∠BCA=4∠G，理由如下： 如图，过点C作CM∥OA，过点G作GN∥OA， ∵BD∥OA， ∴BD∥CM∥OA，BD∥GN∥OA． ∴∠BCM =∠DBC, ∠MCA=∠CAF，∠BGN =∠DBG, ∠NGA=∠GAF． ∴∠BCA=∠DBC+∠CAF，∠BGA=∠DBG+∠GAF． ∵BE平分∠DBC,AE平分∠CAF， ∴∠DBC=2∠DBE, ∠CAF=2∠EAF． 又∵BG平分∠DBE，AG平分∠EAF， ∴∠DBE=2∠DBG, ∠EAF=2∠GAF． ∴∠BCA=∠DBC+∠CAF=2∠DBE+2∠EAF=4∠DBG+4∠GAF =4∠BGN+4∠NGA=4（∠BGN+∠NGA）=4∠BGA． ∴∠BCA=4∠G． 【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性可以得到a和b的值，从而求得A、B的坐标和四边形OACB的面积； （2）过点C作CM∥OA，过点G作GN∥OA，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可以得到∠BCA=4∠G. 【详解】解：（1）∵,且≥0，≥0， ∴，． 解得：=2，=4． ∴A(2，0)，B(0，4)． 连接OC，如图： 则： ，， ∴． （2）略 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质、非负数的应用、点坐标的意义和三角形面积的求法是解题关键． 根据两点间的距离分类讨论点的坐标题型06 1．（24-25八年级上·广西贺州·期中）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且点到轴的距离为4，那么点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标．根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，可得点N的纵坐标为2，再分点N在y轴的左边和右边两种情况求出点N的横坐标，然后解答即可． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴点N的纵坐标为2． ∵点N到y轴的距离为4， ∴点N的横坐标为4或， ∴点N的坐标为或； 故选：B． 2．已知点M坐标为，且M点到两坐标轴的距离相等，则a的值为____________． 【答案】1或3 【分析】根据点到两坐标轴距离相等，点M的横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程求出a的值即可． 【详解】解：∵点M的坐标为，且点M到两坐标轴的距离相等， ∴，或， 解得，或， 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查了点的坐标，理解点到两坐标轴距离相等，点M的横坐标与纵坐标相等或互为相反数两种情况是解题的关键． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点坐标满足． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，将线段平移至处（A点对应C点），使点C在坐标轴上，且点D到x轴的距离与点D到y轴的距离相等，求C点坐标； (3)如图二，在y轴正半轴上找一点C，使得，将线段平移至，点A和点C对应，点是第二象限内一点，且在直线之间，，求m，n的数量关系式． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或或 (3) 【分析】（1）由非负数的性质即可求解； （2）分点C在x轴上与在y轴上两种情况考虑，利用平移的性质即可求解； （3）连接，过点P作于G，交y轴于点E，求得点C、D的坐标，利用割补关系表示出，利用即可得m与n的关系． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点C在x轴上时， 则点A肯定向上平移4个单位长度，此时点B向上平移4个单位长度后变为； ∵点D到x轴的距离与点D到y轴的距离相等， ∴当点向左平移1个单位长度或5个单位长度时，满足条件， 此时或，则点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， 此时只能沿着y轴平移，点D的横坐标始终为3，即点D到y轴的距离为3， ∵点D到x轴的距离与点D到y轴的距离相等， ∴当点向上平移3个单位长度或9个单位长度时，或，则点C的坐标为或； 综上，点C的坐标为或或或； （3）解：如图，连接，过点P作于G，交y轴于点E， ∵， ∴， ∵点C在y轴正半轴上，， ∴， 由平移知，， ∵在第二象限，， ∴，，，， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴． 4．已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得，，，然后进行分类讨论，列式作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， ∴当时，即， 则， 解得， 此时，， ∴， ∴共线，不构成三角形，舍去； 当时，即， 因为， 所以， 此种情况不存在； 当时，即， 则， 即， 那么， 综上所述，． 坐标与图形——构造全等解决问题题型07 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·联考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在轴和轴正半轴上，，则等于（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造矩形和全等三角形，将和的长度关系转化为可计算． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点．    ∵ 点，， ∴ ，，． ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：． 2．如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将平移，使点C与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质；过作轴于，轴于，推出证，推出，即可求解． 【详解】解：过作轴于，轴于，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．在数学实践活动中，同学们将直尺和直角三角板放置在平面直角坐标系中进行探究． (1)如图1，点，在坐标轴上，点在的平分线上，连接，，用直尺量得，过点向坐标轴作垂线，，垂足分别为点，．求证：； (2)如图2，为等腰直角三角形，点在第二象限，，，求点的坐标； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点在轴上，点在第四象限且纵坐标为，交轴于点，若平分，探究、之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：点在的平分线上，、， ， 在和中， ， ∴ ， ； ； (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关判定定理的内容推出全等三角形即可； （1）证得，即可； （2）过点作轴于点，证即可； （3）过点作轴，分别过点，作，，交轴于点，设交轴于点，连接，证推出，再证推出；在轴上取点，使，证即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作轴，分别过点，作， ，交轴于点，设交轴于点，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点在第四象限且纵坐标为， ， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， 在轴上取点，使， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图在平面直角坐标系中点，点 (1)若满足，，直接写出的面积为_____； (2)如图1，若上一点满足，且．求证； (3)如图2，若上一点满足．且，，求的值． 【答案】(1)4 (2) 证明：如图，在上取点D，连接使得，过点D作于点E， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； (3) 【分析】本题考查完全平方公式，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的构造是解题关键． （1）根据完全平方公式的定义，对公式展开即可求得，从而求得面积； （2）通过在上取点D构造等腰三角形，利用三线合一得出，再通过得到，从而证得； （3）根据得出，从而证得，得出， 结合题干中的即可得出． 【详解】（1）解：，， ∴ ∴ ， ， 故答案为：4； （2）略． （3）解：如图，过点O作于点E，过点D作于点F， ，， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 坐标系点的规律探究题型01 1．（24-25七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，嘉琪玩走棋游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位；第2步继续向右走2个单位；第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位……．随后，以每3步为一组的规律不断重复．当走完92步时，棋子所处位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，棋子每3步为一组，每组向右移动3个单位，向上移动1个单位，计算92步中包含的完整组数和剩余步数，累加各组及剩余步的移动量即可确定坐标． 【详解】解：根据题意得：每3步为一组，走法依次为右1、右2、上1，每组向右共移动3个单位，向上移动1个单位， 总步数92步，每3步一组，得完整组数30组（步），剩余2步（第91、92步）， 30组共向右移动个单位，向上移动个单位， 剩余2步为第31组的前两步，即右1和右2，再向右移动个单位，纵向不动， 向右总计，向上30，故坐标为． 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点，，，，…，用你发现的规律确定点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出，再根据所给的坐标，找出规律的坐标是，再把代入即可． 【详解】解：设， 当时，，即，， 当时，，即，； 当时，，即，； 当时，，即，； 的坐标是， 点的坐标为，， 点的坐标为，． 故选B． 【点睛】此题考查了点的坐标，通过观察找出点的横坐标和纵坐标与的关系，的坐标是是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”，已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次下去得到，，…，．若点的坐标为，则点在第一、第三象限角平分线上的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，由题意得出，，，得到点在第一、第三象限角平分线上，4个点为一个循环，由此即可得出答案，理解题意，正确求出点的坐标是解此题的关键． 【详解】解：对于点，我们把叫做点P的“伴随点”， 已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…， 当时，，，， ∴点在第一、第三象限角平分线上，4个点为一个循环， ，，， 在点中，点在第一、第三象限角平分线上． 故选C． 4．在平面直角坐标系中，有一系列点、、 ……按照如下规律排列：的坐标为，对于任意，点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3．例如，的坐标为，的坐标为，依此类推．则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键． 根据题意，计算出各点的坐标，找出规律，由此得出结果． 【详解】解：∵的坐标为，的坐标为，的坐标为，且点的横坐标是的横坐标加2，纵坐标是的纵坐标加3， ∴的横坐标为：， 的纵坐标为：， ∴当时，，， 故点的坐标为， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，对点进行如下规则的操作：横坐标乘以再减1，纵坐标加1，得到点．第一次操作得到的点记为，对点坐标继续进行一次相同规则的操作，得到的点记为，对点再进行相同操作得到的点记为，…，以此类推，第n次操作得到的点记为．现有点，对进行2026次这样的操作后得到的点的坐标为______． 【答案】 【分析】先计算前几次操作后的点坐标，归纳坐标变化规律，再根据规律确定第2026次操作后的坐标． 【详解】解：已知初始点为，按照操作规则依次计算得： 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即； 第次操作后，横坐标： ，纵坐标：，即． 归纳规律： 1. 纵坐标：每次操作纵坐标加，第次操作后纵坐标为； 2. 横坐标：操作次后，若为偶数，横坐标为；若为奇数，横坐标为； 因为是偶数，因此的横坐标为，纵坐标为． 坐标与图形——点的存在性问题题型02 1．平面直角坐标系中，每个小网格是长度为1个单位的小正方形，已知点，点． 完成下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)在图中画出关于x轴的对称图形； (3)在x轴上存在一点P，使得的值最小，请在图中画出点P（不必写过程，但要保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2) 如图所示，即为所求， (3) 如图所示，点P即为所求， 【分析】（1）根据点的坐标，在平面直角坐标系中分别描出点A、B，再连接、、即可； （2）分别画出点A、B关于x轴的对称点、，再连接，，即可； （3）画出点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点p，则点P即为所要求画的． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵点B与点关于x轴的对称点， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，此时，值最小，最小值等于线段长度． 【点睛】本题考查根据坐标画点，作轴对称图形，最短距离问题，熟练掌握利用轴对称性质求最小值的作图是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得（△表示三角形）面积等于1（即），则称点M为线段PQ的“单位面积点”． 解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为． (1)在点，，中，线段OP的“单位面积点”是______； (2)已知点，，将线段OP沿y轴方向向上平移个单位长度，使得线段DE上存在线段OP的“单位面积点”，求t的取值范围； (3)已知点，点M在第一象限且M的纵坐标是3，点M，N是线段PF的两个“单位面积点”，若，且，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)B (2)3≤t≤4或5≤t≤6 (3)（1，-3）或（1，9）或（3，1）或（3，5） 【分析】（1）根据“单位面积点”的定义判断即可． （2）当点D为线段的“单位面积点”时，|4-t|=1．当点E为线段的“单位面积点”时，|5-t|=1，解方程即可解决问题． （3）由点M是线段PF的“单位面积点”，且点M的纵坐标为3，推出M点坐标，分两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1） 如图1中， ∵，，，P（2，0）， ∴S△AOP=×2×2=2，S△OPB=×2×1=1，S△OPC=×2×4=4， ∴点B是线段OP的“单位面积点”， 故答案为B． （2） 如图2中， 当点D为线段的“单位面积点”时， |4-t|=1， 解得：t=3或t=5， 当点E为线段的“单位面积点”时， |5-t|=1， 解得：t=4或t=6， ∴线段DE上存在线段O′P′的“单位面积点”，t的取值范围为3≤t≤4或5≤t≤6． （3） 如图3中， ∵P（2，0），F（2，-2）， ∴PF=2，PF∥y轴， ∵点M是线段PF的“单位面积点”，且点M的纵坐标为3， ∴M（1，3）或（3，3）， 当M（1，3）时，设N（1，t）， 由题意，×1×|3-t|=3， 解得t=-3或9， ∴N（1，-3）或（1，9）， 当M（3，3）时，设N（3，n）， 由题意，×3×|3-n|=3， 解得n=1和5， ∴N（3，1）或（3，5）， 综上所述，满足条件的点N的坐标为（1，-3）或（1，9）或（3，1）或（3，5）． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键． 4．如图1，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段AB水平向右平移7个单位长度到DC，连接AD，BC，得到四边形ABCD．已知a和b满足． (1)则点C的坐标为______，则点D的坐标为______，_______； (2)在y轴上是否存在一点P，使？若存在这样的点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，E为x轴上一点，若DE平分，且于E，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，，14 (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）首先根据求出a和b的值，然后根据平移的性质求出点C和点D的坐标，进而求出四边形ABCD的面积； （2）设点P的坐标为（0，y），则P点到BC的距离为，首先求出BC=7，然后列出方程求解即可； （3）首先根据三角形内角和得到，然后由DE平分，和于E，表示出，根据和，表示出，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴a=1，b=－4， ∴，， ∵将线段AB水平向右平移7个单位长度到DC， ∴，， ∴S四边形ABCD=2×7=14； （2）存在．设点P的坐标为（0，y），则P点到BC的距离为，由平移的性质知， ， ，解得：或， ∴点P的坐标为（0，3）或． （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于E，DE平分， ∴， ∴， ∵线段AB水平向右平移7个单位长度到DC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平移的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为． (1)将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为．则点的坐标为 ； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积． (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点和点的坐标确定平移过程，再求出点的坐标； （2）利用割补法计算三角形的面积即可； （3）设点，则，利用三角形的面积构造方程，求解出的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移过程为向右3个单位，向上5个单位， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：如图， 由图可知，； （3）解：假设存在，设点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， ∴假设成立，点的坐标为或． 根据图形规律求坐标题型03 1．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置． 【详解】解：由图可得， 点第一次碰撞后的点的坐标为， 第二次碰撞后的点的坐标为， 第三次碰撞后的点的坐标为， 第四次碰撞后的点的坐标为， 第五次碰撞后的点的坐标为， 第六次碰撞后的点的坐标为， …， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：C． 2．（24-25九年级下·广东茂名高州·月考）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质得出点A的坐标以每6秒为一个周期依次循环，确定第2025秒时，点A的对应点的坐标与相同，且与点A关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴点A的坐标以每6秒为一个周期依次循环， ， ∴第2025秒时，点A的对应点的坐标与相同，且与点A关于原点对称，为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，…按此规律，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象与点坐标可知，每跳动次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，，，，，，， …… 依此类推，每跳动次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）； (2)写出点的坐标； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；5，1；7，0 (2) (3)蚂蚁从点到点的移动方向是向下 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为0，横坐标为。据此可得答案； （3）由可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上 ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，，， ∴，，， 故答案为：2，0；5，1；7，0 （2）解：观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现， ∵， ∴的纵坐标为0，横坐标为， ∴ （3）解：∵， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向下． 5．综合与实践： 问题背景： （1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【答案】（1）如图所示，的坐标为，的坐标为， （2）， （3）或或 【分析】本题主要考查了在坐标系中描点，两点中点坐标公式，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是关键． （1）在坐标系中描出A、B、C、D然后找到线段和中点P1、P2即可； （2）根据（1）所求即可得到中点坐标公式； （3）分当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，当线段HE的中点与线段FG的中点坐标重合时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为； （3）解：∵，，， ∴线段EF的中点坐标为（1，），线段EG的中点坐标为（0，3），线段的中点坐标为（2，）， 当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，则， ∴， ∴点H的坐标为； 同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为；当线段的中点与线段的中点坐标重合时，点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或或 图形与坐标——动点问题题型04 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度，则第秒时，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型∶点的坐标，解题关键是求出运动后的坐标，找出坐标规律． 先求出点P每秒走的路程，由此计算P运动后的各点坐标，观察坐标得出∶点P运动n秒后的横坐标为n，纵坐标依次按照的顺序循环，按照此规律进行解答即可． 【详解】解∶半径为1个单位长度的半圆的周长为， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，每秒运动的路程为个单位长度， ∴点P每秒走个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为． 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为， ．．．．．． 点P运动n秒后的横坐标为n，纵坐标依次按照的顺序循环， ， 的坐标是， 故选∶B． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，经过点A的直线轴，点C是直线L上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为_______． 【答案】 【分析】直线轴且过点，可得直线上所有点的横坐标均为，根据点到直线的距离公式，当线段的长度最短时，点是点在直线上的垂足，即，结合轴可得轴，点的纵坐标与点的纵坐标相等，即可求解点的坐标. 【详解】解：直线轴，且经过点， 直线上所有点的横坐标均为，设点， 根据垂线段最短，当长度最短时，， 又轴， 轴， 点与点纵坐标相同，即， 点的坐标为. 3．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． (1)点B的坐标为__________； (2)当P点移动了4秒时，点P的坐标为多少？ (3)在移动过程中，当点P到轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移、直角坐标系中点的性质，熟练掌握坐标系中点的平移性质是解题关键． （1）直接利用坐标系中点的性质得出； （2）先确定移动后点的位置，即可确定坐标； （3）分两种情况讨论：点P在上和点P在上，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵长方形中，，， ∴点和点横坐标相同，点和点纵坐标相同， ∵，， ∴； （2）∵P点移动了4秒，速度为每秒2个单位长度， ∴点P移动的距离为：， ∵， ∴点P在上，且， ∴； （3）①当点P在上时，则点P移动的距离为， ∴点P移动的时间为， ②当点P在上时，点P移动的距离为， ∴点P移动的时间为， 综上所述，点P移动的时间为或． 4．（24-25七年级下·江西·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 【答案】(1)，， (2)12 (3) 【分析】本题考查了坐标系点的坐标，坐标系点的动点问题，坐标系点坐标到坐标轴的距离，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）根据题意，先求得和，再写出点的坐标即可； （2）先判断点和所在位置，写出两个点的坐标，然后求出三角形的面积即可； （3）分4种情况①时，点在线段时，②，点在线段时，③，点在线段时，④，点在线段时，依次讨论即可． 【详解】（1）解：轴，轴，，， ，， ，，； （2）解：当秒时，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动， 点走了6个单位长度，点走了6个单位长度， 点在线段上，此时，点在线段上， 的纵坐标为，， ， ； （3）解：①时，点在线段时，到轴距离为6，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，但，不符合点在线段上的条件，舍去； ②，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，，符合条件； ③，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，即，不符合的条件，舍去； ④，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上，到轴距离为8，不符合题意； 综上，． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．    (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，使的面积是面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3) 或， 理由如下： 过点作， ， ，， ， 分以下两种情况讨论： ①如图，当点在点上方时，有，   ； ②如图，当点在点下方时，有，   ， ， 综上所述，或． 【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理、非负数的性质以及一元一次方程的几何应用，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想是解答的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标； （2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标； （3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， 则，，， 故答案为：，，； （2）解：如图1，过点作于点， 设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，， 三角形PAB的面积是：， 分以下两种情况： ①如图，当点在点上方时，则，   三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为； ②如图，当点在点下方时，则，   三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）略 新定义坐标关系题型05 1．如果点的坐标满足，那么称点P为“平等点”．若第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3，则点P的坐标为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据题意可得，再由“平等点”的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵第一象限内的某个“平等点”P到x轴的距离为3， ∴， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为． 故答案为： 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点为“新奇点”．若点是“新奇点”，则点在第________象限． 【答案】三##3 【分析】本题考查新定义．根据新定义确定m的值．解题关键是理解新定义． 根据“新奇点”的定义，得方程．求解得出的值，从而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点是“新奇点”， ∴． 解得：． ∴． ∴点M的坐标为． ∵， ∴点在第三象限， 故答案为：三． 3．（24-25八年级下·吉林长春·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点是“角平分线点”． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为6，到轴的距离为4， ∴点的“长距”为6． 故答案为：6； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M，N，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M，N互为“美点”． 例如：点，互为“美点”；点，互为“美点”，已知点 (1)在点，，中，点P的“美点”是___________ (2)若点与点P互为“美点”，求m的值 (3)若点与点P互为“美点”，求n的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“美点”的定义解答即可； （2）根据“美点”的定义，解即可； （3）分情况讨论，进而求得符合条件的n的值． 【详解】（1）解：∵点到x轴，y轴的距离的较大值为4， 点到x轴，y轴的距离的较大值为6， 点到x轴，y轴的距离的较大值为2， 点到x轴，y轴的距离的较大值为4， ∴点与点互为“美点”． 故答案为：． （2）解∶若点与点P互为“美点”． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或； （3）解∶ 若点与点P互为“美点”，则 ①，． ∴， ∴或． 当时，（舍去）； 当时，． ∴． ②，． ∴， ∴或． 当时，； 当时，（舍去）． ∴． ③，． ∴或，且或． ∴n无解． 综上，或． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 5．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“方田点”的定义即可得出结论； （2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“方田点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“方田点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，轴， 由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段， ∴，， 画图如下： 由图可知，点和是线段的“方田点”； 故答案为：，； （2）解：∵点， ∴点在直线上，点在直线上， ∴线段介于直线和直线之间， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在线段上，则， 当点恰好落在线段上，则， ∴由图可得，当时，线段与正方形有交点， ∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：∵点， ∴，轴， 由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴线段的“方田点”在正方形的边上， ∵点是线段的“方田点”， ∴点在正方形的边上， 将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形， ∵点向下平移个单位长度，得到点， ∴点落在正方形的边上， 将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形， 由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段， ∴点和点分别落在正方形和正方形的边上， ∴由图可得，线段的“方田点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； ∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，则的取值范围为或． 图形与坐标（综合性强）题型06 1．在方格图中画出、、、四个点，顺次连接A、B、C、D，再以线段所在的直线为对称轴，画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形． 【答案】如图即为所求． 【分析】先根据题意画出四边形，再以为对称轴画的轴对称图形即可． 【详解】略 2．（25-26八年级·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．画出关于轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点），并写出点的坐标． 【答案】 如图即为所求， 点的坐标为． 【分析】本题考查在直角坐标系中画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标；找出对应点连接即可；根据图形写出点的坐标即可． 【详解】略 3．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）小明设计了一款程序，可以用程序命令绘制出对应的图形及变换后的图形．如图①，是一个正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动． (1)请在图①中画出程序生成的三角形及经过变换后的三角形； (2)小明想用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，，请写出需要输入的点A，B，C的坐标． 【答案】(1) 如图，，即为所求； (2)，， 【分析】本题考查的是根据点的坐标描点画图，新定义的含义； （1）根据，，先描点，再连接得到，根据程序可得，，，再描点画图即可； （2）根据程序特点可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：小明用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，， ∴，，. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $